1. Qoldiqli bo’lish haqida teorema va isboti. Qoldiqli bo’lish haqidagi teoremadan kelib chiqadigan natijalar

Qoldiqli bo`lish
Reja:
1.Qoldiqli bo’lish haqida teorema va isboti.

2.Qoldiqli bo’lish haqidagi teoremadan kelib chiqadigan natijalar .

3.Kompleks sonlar maydonining izomorfligi haqidagi teorema.

5. 
   Теоrema. А- butunlik sohasi va g esa A[x] dagi bosh koeffisienti А da teskarilanuvchi bo`lgan ko`phad bo`lsin. U holda har bir fAx da shunday yagona juft q r  Ax ko`phadlar mos qo`yiladiki, ular uchun
   

f = q g + r degr < degg (1)

bo`ladi.

Isboti. f=a₀Xⁿ+a₁X^n-1+...+ a_n , g = b₀X^m+b₁X^m-1+...+ b_m bo`lsin, bunda a<sub>0</sub>b<sub>0</sub>0. n bo`yicha matematik induksiya metodini qo`llaymiz. Agar n = 0 va m = degg  degf = 0  u holda q = 0 va r = f deb olamiz agar n = m = 0 bo`lsa u holda r = 0 va q = a₀b₀ deb olamiz . Faraz qilaylik, teorema darajasi n dan kichik darajali ko`phadlar uchun isbitlangan bo`lsin (n  0) .Quyida m  n bo`lsin, aks holda q = 0 va r = f deb olamiz. Bu holda

f = a₀b₀^-1X^n-mg + f₁

deb olamiz bunda degf₁ < n bo`ladi.Induktiv farazimizga ko`ra shunday q₁

va r₁ topish mumkinki ular uchun f₁= q₁g + r₁ bunda degr₁ m, q = a₀b₀^-1x^n-m + q₁ deb olsak, biz f uchun (1) ifodaga kelamiz. Endi bo`linma q va qoldiq r ni yagona ekanligini isbotlaylik: Faraz qilaylik qg + r = f = q<sub>1</sub>g<sub>1</sub> + r<sub>1</sub> bo`lsin. U holda (q₁-q)g = r-r₁ bo`ladi. Ravshanki u holda deg(r-r<sub>1</sub>) = deg(q<sub>1</sub>-q) + degg bo`ladi. Bu esa faqat r va r₁ larni olishimizga ko`ra r<sub>1</sub> = r ва q<sub>1</sub>= q bo`lgandagina bo`lishi mumkin.

Demak  bo`linma q va qoldiq r larni koeffisientlari ham А butunlik sohasida yotadi , ya`ni fgA[x] ekanligidan qrА[x] bo`ladi.

Natija. .P maydon ustidagi ko`phadlar halqasini barcha idеallari bosh idеallardir .

Isboti . T-P[X] halqadagi noldan farqli idеali bo`lsin. T da yotuvch minimal darajali t = t(X) ko`phadni tanlab olamiz. Agar f Т dagi  kophad bo`lsa u holda t ga qoldiqli bo`lish bizga quyidagi tenglikni beradi: f = qt + r  degr  degt

Р ---maydon bo`lgani uchun t(X) ni bosh koeffitsеntini tеskarilanuvchi bo`lishligini talab qilish shart emas. Yuqoridagi tеnglikdan rT chunki ftqt-lar Т ideolning elementlaridir.

t ni tanlab olishimizga ko`ra r = 0 bo`ladi .Demak, f(X) t(X) gab o`linadi va Т= (t) = tP[X] ya`ni Т ideal t(X) gab o`linuvchi ko`phadlardan tuzilgan.

6- Теоrema . Kompleks sonlari maydoni C R[X]/(X²+1)R[X] factor halqaga isomorf bo`ladi.

Isboti. Ravshanki  C = R[i]  R[X]/I bunda I={fR[X]/f(i)=0} Agar (ab)(0,0) bo`lsa  a+bi0 bo`ladi va i²+1=0 ekanligidan X²+1  I u holda 5- теоrema natijasiga ko`ra I=(X<sup>2</sup>+1)R[X] kelib chiqadi. R[X]/I factor halqa elementlari (a+bX)+I qo`shni sinflar bo`ladi. аbR lar uchun a+bi(a+bX)+I moslik C va R[X]/I faktor halqalar o`rtasida isomorfzimni ifodalaydi.

Adabiyotlar
1.Кострикин А.И. Введение в алгебру.Учебник.М.Наука,1977г.

2.Ҳожиев Ж., Файнлейб.Ф.С. Алгебра ва сонлар назарияси курси. Т. 2001 й.

3.Курош Ф.Г. Олий алгебра курси. Т.Укитувчи . 1976 й..

4.Фадеев Д.К.,Соминский И.С.Сборник задач по высшей алгебре. М.Наука .1976 г.

5. Гелфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. http://www.mcmee.ru, http://lib.mexmat. ru.

6. Курош А.Г. Курс высшей алгебре http://www.mcmee.ru, http://lib.mexmat. ru.