 # A simple "filón-trapezoidal," rule

Yüklə 28,45 Kb.

 tarix 29.09.2018 ölçüsü 28,45 Kb.
 A   SIMPLE    "FILÓN-TRAPEZOIDAL,"    RULE 239 A  Simple  "Filon-Trapezoidal"  Rule By E.  O. Tuck Filon's  quadrature  is  a  formula  for  the  approximate  evaluation  of  Fourier integrals  such  as (1)  F(o)  =  f  dte^fit), J-T which  retains  uniform  accuracy  even  when  u  is so large  that  many  oscillations  of  the integrand  occur  within  a  given  element  oí of  the  range  of  integration.  The  original Filon  formula   was  derived  on  the  assumption  that/(f),  rather  than  the  complete integrand,  may  be  approximated  stepwise  by  parabolas,  so  that  it  may  be  called  a 'Filon-Simpson'  rule.  More  sophisticated  'Filon'  rules  have  appeared  (e.g.  , and the  references  quoted  in   ),  but  in  fact  with  fast  computers  it  is more  useful  to  go in  the  other  direction,  towards  the  least  sophisticated  integration  formula  of  all. The  ordinary  trapezoidal  rule  gives  as  an  approximation (2)  FM  =  St  E  wneianHfinU) (Not  =  T),  with weights Wn =  1,        n  5¿  ±JV, (3) w±N =  J. The  simplicity  of the  weights  makes  this  the  most  desirable  formula  to  use  when  the number  2JV 4-  1 of given  data  values  f(nôt)  is large;  for  instance  the  trapezoidal  rule is  invariably  used  in  power  spectral  analyses  . However,  formula  (2)  cannot  be used  unless  wSt <5C  1,  since  the  whole  integrand  is  supposed  to  vary  linearly  over  an element  St. But  it  is  an  exceedingly  simple  task  to  derive  a  modification  to  (2)  by assuming  only  that/(£)  itself  varies  linearly  over  the  element  5t.  The  analysis  is similar  to  that  used  to  derive  the  Filon-Simpson  rule,  and  will  not  be  given  here.  The resulting  integration  formula  is  of  the  same  form  as  (2),  but  the  weights  are  now functions  of  wot, namely 10-N  =  ( 1  +  iuôt  —  e""  ' ) /to  b% , (A)  iv„  =  ((sin|coS¿)/2^02,        n  ^  ±JV, wN  =  ( 1  —  iu8t  —  e~lu    )/oi  5t. Note  that  the  new  weights  tend  to  the  trapezoidal-rule  values  (3)  as  wSt —> 0. A  particular  case  of  interest  is  when  the  range  of  integration  2T  is  infinite. Suppose  we  define (5)  FTRAF =  St  E  e^'finbt) as  the  ordinary  trapezoidal-rule  approximation  for  this  case.  Then  the  Filon- Received  August  3,  1966. 240  E.   O.  TUCK 1.2 1.0 08 2   0.6 0.4 0.2 0  2  4  6  8  10 Fig.  1.  Exact  and  approximate  values  for  the  Fourier  integral  F(u)  =  /"w  dt  exp  (—  |  t  \  +  tat) trapezoidal  rule  states  that  an  approximation  with  uniform  validity  with  respect to  oí is (6)  FFILOn  =  ((sin^wiO/MO^TRAp. That  is,  the  Filon  modification  is  nothing  more  than  a  simple  multiplicative  factor applied  to  the  results  of  the  crude  trapezoidal  rule. For  example,  suppose  fit)  =  eH"  and  T  =  ».  Then  the  exact  Fourier  transform is (7)  FM  =  2/(1  4-  co2). The  series  (5)  resulting  from  the  application  of  the  ordinary  trapezoidal  rule  maybe summed  to  give (8)  Ftrap  =  «(1  -  «""')/(  1  -  2e~Íl  cos"5i  +  e_25')' whence  the  Filon-modified  result  follows  immediately  from  (6).  Fig.  1  shows  the exact,  trapezoidal,  and  Filon-trapezoidal  results.  In  order  to  exaggerate  the  differ- ences  between  the  three  curves,  an  absurdly  large  value  U  =  1.0  has  been  used  for the  interval  of  integration,  but  even  with  this  coarse  subdivision  the  low-frequency (co <  1 say)  error  in  the  two  trapezoidal-rule  approximations  is less  than  8%  . Above co =  1 the  trapezoidal  rule  begins  to  give  ever-decreasing  accuracy.  Indeed,  it  is  clear from  Eq.  (5)  that  the  trapezoidal  approximation  to  any  Fourier  integral  is  periodic in  to, with  period  2ír/áí  (twice  the  "Nyquist  frequency"  )  so  that  the  monotone A   SIMPLE    "FILÓN-TRAPEZOIDAL"    RULE 241 decreasing  nature  of  the  true  integral  (7)  cannot  be  achieved.  On  the  other  hand, except  for  a  relatively  narrow  "dropout"  region  near  co =  2x/5£,  the  Filon-modified result  retains  approximately  the  same  8%  accuracy  over  the  whole  frequency  range shown. It  is  clear  that  the  use  of  the  simple  factor  (6)  results  in  a  profound  improvement in  the  approximation  for  relatively  high  frequencies.  The  modification  can  hardly  do harm,  and  there  seems  no  reason  why  it  could  not  be employed  every  time  a  Fourier integral  is  to  be  computed  by  the  trapezoidal  rule.  If,  as  in  the  example  given,  the function  f(t)  is  mathematically  defined,  the  benefits  are  immediately  obvious,  and are  available  no  matter  how  high  the  frequency.  On  the  other  hand,  when/(  t)  is (say) the  autocorrelation  function  of  an  experimental  record,  there  are  other  factors   which  limit  consideration  to  relatively  low  frequencies;  nevertheless  it  may  well  be that  if Eq.  (6)  were  used,  one  could  approach  a little  closer  to  the  Nyquist  frequency than  has  been  customary. Hydromechanics  Laboratory David  Taylor  Model  Basin Washington,  D.  C. 1.  L.  N.  G.  Filon,  "On  a  quadrature  formula  for  trigonometric  integrals,"  Proc  Roy.  Soc Edinburgh,  v.  49, 1929, pp.  38-47. 2.  A.  I.  van  de  Vooren  &  H.  J.  Van  Linde,  "Numerical  calculations  of  integrals  with strongly  oscillating  integrand,"  Math.  Comp.,  v.  20,  1966, pp.  232-245. 3.  R.  B.  Blackman  &  J.  W.  Tukey,  The  Measurement  of  Power  Spectra,  Dover  Publica- tions,  New York,  1959. MR  21  * 1684. * The  width  of  this  region  decreases  markedly  if  more  realistic  small  values  of  U  are  used. Dostları ilə paylaş:

Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2019
rəhbərliyinə müraciət Ana səhifə