A simple "filón-trapezoidal," rule



Yüklə 28,45 Kb.

tarix29.09.2018
ölçüsü28,45 Kb.


A   SIMPLE    "FILÓN-TRAPEZOIDAL,"    RULE

239


A  Simple  "Filon-Trapezoidal" 

Rule


By E.  O. Tuck

Filon's  quadrature 

is  a  formula  for  the  approximate 

evaluation 

of  Fourier

integrals  such  as

(1) 

F(o)  =  f  dte^fit),



J-T

which  retains  uniform  accuracy  even  when  u  is so large  that  many  oscillations  of  the

integrand  occur  within  a  given  element  oí of  the  range  of  integration. 

The  original

Filon  formula  [1] was  derived  on  the  assumption  that/(f), 

rather  than  the  complete

integrand,  may  be  approximated 

stepwise  by  parabolas,  so  that  it  may  be  called  a

'Filon-Simpson' 

rule.  More  sophisticated 

'Filon'  rules  have  appeared  (e.g.  [2], and

the  references  quoted  in  [2] ),  but  in  fact  with  fast  computers  it  is more  useful  to  go

in  the  other  direction,  towards  the  least  sophisticated  integration  formula  of  all.

The  ordinary  trapezoidal  rule  gives  as  an  approximation

(2) 

FM 


=  St  E  wneianHfinU)

(Not  =  T),  with weights

Wn =  1,        n  5¿  ±JV,

(3)


w±N =  J.

The  simplicity  of the  weights  makes  this  the  most  desirable  formula  to  use  when  the

number  2JV 4-  1 of given  data  values  f(nôt)  is large;  for  instance  the  trapezoidal  rule

is  invariably  used  in  power  spectral  analyses  [3]. However,  formula  (2)  cannot  be

used  unless  wSt <5C 

1,  since  the  whole  integrand  is  supposed  to  vary  linearly  over  an

element  St. But  it  is  an  exceedingly  simple  task  to  derive  a  modification  to  (2)  by

assuming  only  that/(£) 

itself  varies  linearly  over  the  element  5t.  The  analysis  is

similar  to  that  used  to  derive  the  Filon-Simpson  rule,  and  will  not  be  given  here.  The

resulting  integration 

formula  is  of  the  same  form  as  (2),  but  the  weights  are  now

functions  of  wot, namely

10-N  =  ( 1  +  iuôt  —  e""  ' ) /to  b% ,

(A) 

iv„  =  ((sin|coS¿)/2^02, 



      n  ^  ±JV,

wN  =  ( 1  —  iu8t  —  e~lu    )/oi  5t.

Note  that  the  new  weights  tend  to  the  trapezoidal-rule 

values  (3)  as  wSt —> 0.

A  particular 

case  of  interest  is  when  the  range  of  integration 

2T  is  infinite.

Suppose  we  define

(5) 

FTRAF =  St  E 



e^'finbt)

as  the  ordinary 

trapezoidal-rule 

approximation 

for  this  case.  Then  the  Filon-

Received  August  3,  1966.




240 

E.   O.  TUCK

1.2

1.0


08

2   0.6


0.4

0.2




10



Fig.  1.  Exact  and  approximate 

values  for  the  Fourier  integral  F(u)  =  /"w  dt  exp  (—  |  t  \  +  tat)

trapezoidal 

rule  states  that  an  approximation 

with  uniform  validity  with  respect

to  oí is

(6) 

FFILOn  =  ((sin^wiO/MO^TRAp.



That  is,  the  Filon  modification  is  nothing  more  than  a  simple  multiplicative  factor

applied  to  the  results  of  the  crude  trapezoidal  rule.

For  example,  suppose  fit)  =  eH"  and  T  =  ».  Then  the  exact  Fourier  transform

is

(7) 



FM 

=  2/(1  4-  co2).

The  series  (5)  resulting  from  the  application  of  the  ordinary  trapezoidal  rule  maybe

summed  to  give

(8) 

Ftrap 


=  «(1  -  «""')/( 

1  -  2e~Íl  cos"5i  +  e_25')'

whence  the  Filon-modified  result  follows  immediately 

from  (6).  Fig.  1  shows  the

exact,  trapezoidal, 

and  Filon-trapezoidal 

results.  In  order  to  exaggerate 

the  differ-

ences  between  the  three  curves,  an  absurdly  large  value  U  =  1.0  has  been  used  for

the  interval  of  integration, 

but  even  with  this  coarse  subdivision  the  low-frequency

(co <  1 say)  error  in  the  two  trapezoidal-rule 

approximations 

is less  than  8%  . Above

co =  1 the  trapezoidal 

rule  begins  to  give  ever-decreasing 

accuracy.  Indeed,  it  is  clear

from  Eq.  (5)  that  the  trapezoidal 

approximation 

to  any  Fourier  integral  is  periodic

in  to, with  period  2ír/áí  (twice  the  "Nyquist 

frequency" 

[3])  so  that  the  monotone



A   SIMPLE    "FILÓN-TRAPEZOIDAL" 

  RULE


241

decreasing  nature  of  the  true  integral  (7)  cannot  be  achieved.  On  the  other  hand,

except  for  a  relatively  narrow  "dropout" 

region 


near  co =  2x/5£,  the  Filon-modified

result  retains  approximately 

the  same  8%  accuracy  over  the  whole  frequency  range

shown.


It  is  clear  that  the  use  of  the  simple  factor  (6)  results  in  a  profound  improvement

in  the  approximation 

for  relatively  high  frequencies.  The  modification  can  hardly  do

harm,  and  there  seems  no  reason  why  it  could  not  be employed  every  time  a  Fourier

integral  is  to  be  computed  by  the  trapezoidal  rule.  If,  as  in  the  example  given,  the

function  f(t)  is  mathematically 

defined,  the  benefits  are  immediately 

obvious,  and

are  available  no  matter  how  high  the  frequency.  On  the  other  hand,  when/(  t)  is (say)

the  autocorrelation 

function  of  an  experimental 

record,  there  are  other  factors  [3]

which  limit  consideration  to  relatively  low  frequencies;  nevertheless  it  may  well  be

that  if Eq.  (6)  were  used,  one  could  approach  a little  closer  to  the  Nyquist  frequency

than  has  been  customary.

Hydromechanics 

Laboratory

David  Taylor  Model  Basin

Washington,  D.  C.

1.  L.  N.  G.  Filon, 

"On  a  quadrature 

formula  for  trigonometric 

integrals," 

Proc  Roy.  Soc

Edinburgh,  v.  49, 1929, pp.  38-47.

2.  A.  I.  van  de  Vooren 

&  H.  J.  Van  Linde,  "Numerical 

calculations 

of  integrals  with

strongly  oscillating  integrand," 

Math.  Comp.,  v.  20,  1966, pp.  232-245.

3.  R.  B.  Blackman 

&  J.  W.  Tukey, 

The  Measurement  of  Power  Spectra,  Dover  Publica-

tions,  New York,  1959. MR  21  * 1684.

* The  width  of  this  region  decreases  markedly  if  more  realistic  small  values  of  U  are  used.




Dostları ilə paylaş:


Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2019
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə