Abstract: I



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#68643


On Black-Scholes Equation, Black-

Scholes Formula and Binary Option 

Price 

Chi Gao 


12/15/2013 

Abstract:  

I.

 

Black-Scholes Equation is derived using two methods: (1) risk-neutral measure; (2) 



 -

hedge. 


II.

 

The Black-Scholes Formula (the price of European call option is calculated) is calculated 



using two methods: (1) risk-neutral pricing formula (expected discounted payoff) (2) 

directly solving the Black-Scholes equation with boundary conditions 

III.

 

The two methods in II are proved to be essentially equivalent. The Black-Scholes formula 



for European call option is tested to be the solution of Black-Scholes equation. 

IV.


 

The value of digital options and share digitals are calculated. The European call and put 

options are be replicated by digital options and share digitals, thus the prices of call and 

put options can be derived from the values of digitals. The put-call parity relation is given. 



1.

 

The derivation(s) of Black-Scholes Equation 

 

Black Scholes model has several assumptions: 



1.

 

Constant risk-free interest rate: r 



2.

 

Constant drift and volatility of stock price: 



  

 

    



 

       


 

  

 



 

3.

 



The stock doesn’t pay dividend 

4.

 



No arbitrage 

5.

 



No transaction fee or cost 

6.

 



Possible to borrow and lend any amount (even fractional) of cash at the riskless rate 

7.

 



Possible to buy and sell any amount (even fractional) of stock 

A typical way to derive the Black-Scholes equation is to claim that under the measure that no 

arbitrage is allowed (risk-neutral measure), the drift of stock price equal to the risk-free interest 

rate 


     . That is (usually under risk-neutral measure, we write Brownian motion as   

 

 



, here 

we remove Q subscript for convenience ) 

  

 

    



 

       


 

  

 



 

(1) 



Then apply Ito’s lemma to the discounted price of derivatives  

   


      

 

 , we get 



   

   


      

   


[       

  

  



     

  

  



 

  

 



 

 

 



 

 

 



  

 

 



   

 

 



 

]

   



   

[(

  



  

    


 

  

  



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



  

 

 



    )        

 

  



  

 

  



 

]  


(2) 

Still, under risk-neutral measure we can argue that 

 

   


      

 

  is martingale. It should have zero 



drift. So 

  

  



    

 

  



  

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

  

 



 

     


(3) 

This is the Black-Scholes equation for the price of any derivatives on the underlying 

 

 

, under the 



Black-Scholes model. 

Now I am going to use another method (

 -hedge method) to derive the Black-Scholes equation. 

This method avoids to directly use the claim (1). 

The price of stock 

  follows 

  

 

    



 

       


 

  

 



 

(4) 


Apply Ito’s lemma to derivative on  : 

    


  

  

     



  

  

 



  

 

 



 

 

 



 

 

  



 

 

   



 

 

 



  (

  

  



    

 

  



  

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

  

 



 

)        

 

  

  



 

  

 



 

(5) 


Now construct a portfolio called 

 -hedge portfolio, which shorts one derivative above and holds 

   

  

  



 

 shares of stock at time 

 . The value of this portfolio at time   is 

        


  

  

 



 

 

 



(6) 

Before applying Ito’s lemma on (6), there is one thing that needs to be emphasized:    

  

  

 



 is 

considered to be constant, that is 

  

  

    and 



  

  

 



   , although   varies with time  . This result 

comes from the fact that 

  is determined by  

 

 at time 



  and thus should not be considered to be a 


time-dependent variable when we calculate the change/differential of our portfolio. The 

differential of our portfolio at time 

  is 

          



  

  

 



  

 

    (



  

  

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

  

 



 

)    


(7) 

The Brownian motion term has vanished! This is a portfolio with riskless return rate of 

  (

  

  



 

 

 



 

 

 



 

   


 

 

  



 

 

)    . Now we use the assumption of no arbitrage, which requires 



          

(8) 


This yields 

  (


  

  

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

  

 



 

)          (    

  

  

 



 

 



(9) 

Here comes the conclusion of Black-Scholes equation 

  

  

    



 

  

  



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



  

 

 



     

(10) 


Note that (10) doesn’t use the risk-neutral measure. Because (10) (or (3)) is a deterministic PDE, 

it will hold regardless of which measure is used. However, we can see that the use of risk-neutral 

measure does greatly simplify the derivation. 

 

2.



 

The European vanilla call/put option price 

 

The typical way to derive the European (vanilla) call/put option in many textbook is to calculate 



the expected discounted payoff of option, in other words to integrate the discounted payoff the 

risk-neutral measure. This procedure has nothing to do with the Black-Scholes equation we got in 

(3) or (10). Below I will follow this procedure to get the price 

      


 

  of a call option on stock   

at time 

 . The call option will mature at time       with striking price  . 

The price of stock 

  at time   will be 

 

 

   



 

 

 (    



 

 

 



 

)   


   

 



(11) 

The expected discounted payoff of the call option (which is also the price of the call option, from 

the assumption of no arbitrage) is  

      


 

     


       

 

 



[     

 

       ]    



       

∫   


 

      


 

 

 



  

   


 

   


 

 

(12) 



Let 

         . Here     

 

√   


 

 

 



  

 



 

   )


 

  

 



 

, where 


 

 

 



         is a normal distribution 

with zero mean and variance 

         . So 

 

 



   

       


∫  

 

  



 

 

 



  

       


       

∫  


 

 

 (    



 

 

 



 

)   


 

 

 



√   

 

 



 

  



 

 

   )



 

  

 



 

 

 



 

  

     



 

  

 



 

(13.a) 


       ∫

 

  



 

 

 



 

 

  



 

  

 



(13.b) 

 

 



 

  

 



 

    (   


 

   


 

)  


 √ 

 

(13.c) 



 

 

   



       

∫    


 

 

 



  

       


       

∫   


 (    

 

 



 

 

)   



 

 

 



√   

 

 



 

  



 

 

   )



 

  

 



 

 

 



 

  

     



 

   


       

 

(13.d) 



 

 

 



  

 

 



    (   

 

   



 

)  


 √ 

 

(13.e) 



So the price of call option at time 

  is 


      

 

       



 

  

 



     

 

   



       

 



(14) 

Equation (14) is also called Black-Scholes formula for vanilla call option, because it can also be 

derived from Black-Scholes equation (10) with appreciated boundary conditions: 

                

   

   


            

                        

(15.a, 15.b, 15.c) 

By the change of variable transformation: 

          

      


  

 

            (   



 

 

 



 

)   


(16.a, 16.b, 16.c) 

The Black-Scholes equation (10) becomes the diffusion equation with initial condition 

  

  

 



 

 

 



 

 

 



 

  

 



 

           

 

       ( 



   {        }

   ) 


(17.a, 17.b) 

The solution for diffusion equation is  

         

 

 √   



∫  

 

[ ]     [ 



       

 

  



 

 

]   



 

  

 



(18) 

After some math, we have 

            

       


 

 

 



 

 

   



 

        


 

  

(19) 



Changing the variables of 

{       } back to {       } yields the Black-Scholes formula (14). 

 

3. Does the Black-Scholes formula satisfy Black-Scholes equation? 

 



The first method used to derive Black-Scholes formula (14) doesn’t use the Black-Scholes 

equation (10). But it so “happens” to give the solution of Black-Scholes equation (10). This is 

the “good” property of call/put options: the expected discounted payoff of option is exactly the 

solution of the Black-Scholes equation.  

This property 

can be 


extended to other derivatives with different forms of payoffs. For example, 

if you have a call option on the square of a log-normal asset (like stock price), 

          

 

 



 . 

What equation does the price satisfy? The answer is still Black-Scholes equation, as long as the 

derivative price is a function of the current time 

  and stock price  

 

. If we derive the price using 



expected discounted payoff, this price will also satisfy the Black-Scholes equation, i.e. the price 

from expected discounted payoff is also a solution of Black-Scholes equation. 

That is, the solution of Black-Scholes equation for the price any derivative 

      


 

  is: 


      

 

     



       

 

 



[      

 

 ] 



(20) 

The mathematical reason behind this is, 

      

 

  first of all needs to satisfy the Black-Scholes 



equation (10): 

  

  



    

 

  



  

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

  

 



 

     


We can transform this equation into typical diffusion equation  

  

  



 

 

 



 

 

 



 

 

  



 

 

with change of variables 



          

      


  

 

            (   



 

 

 



 

)   


The solution of this diffusion equation with initial boundary condition 

           

 

    is 


given in (18): 

         

 

 √   


∫  

 

[ ]     [ 



       

 

  



 

 

]   



 

  

 



Changing the variables of 

{       } back to {       } yields 




      

 

     



       

∫       


 

 

 



 √         

    [ 


       

 

  



 

       


]   

 

  



   

       


∫       

 

 



 

 √         

    [ 

 

  



  

 

       



]    

 

  



   

       


∫       

 

   



 

  

 



(21) 

This is exactly the expected discounted payoff as defined in (20)! 

So the price of any derivative 

on 


  will satisfy Black-Scholes equation, and the solution (Black-Scholes formula) can be 

calculated from expected discounted payoff (with much easy math). 

Now I am going to show in straightforward method that Black-Scholes formula of the price of 

vanilla call option really satisfies Black-Scholes equation. Recall the price of such call option 

is  

      


 

       


 

  

 



     

 

   



       

 

Define  



     

  

 



 

√  


 

 

 



 

 

       



(22.a) 

Then 


     

  

         



(22.b) 

Also we have 

  

 

  



 

 

 



        

 

 



√     

(

 



 

 

 



 

  



 

  

 



 

 

        



 

 

√     



(

 

 



 

 

 



  

 



  

 

 



  

 

  



 

 

 



 √       

 

  



(22.c, 22.d, 22.e) 

Calculate 

  

  

     



 

 

  



 

  

 



 

     


 

 

  



 

  

  



       

      


 

   


       

 



  

  

 



     

 

       



 

 

  



 

  

 



 

 

     



 

 

  



 

  

 



  

       


     

 

       



 

 

 



 √     

     


 

   


       

 

 √       



 

 

 



 

 

  



 

 

     



 

 

  



 

  

 



   

 

   



 

 

  



 

  

 



 

 √     


   

 

   



 

 

  



 

  

 



  

       


 

 √       

 

     


 

   


       

 

 √       



 

 

 



   

 

 



 √       

 

 



 

 

   



 

 

 



 

         

 

 

 



 

 

   



 

   


       

 

 



         

 

 



 

   


 

   


       

 √        

 

 

 



(22.f, 22.g, 22.h) 

After some math, we have 

  

  

    



 

  

  



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



  

 

 



     

4. Binary option (also called Digital option) 

 

A binary option pays a fixed amount ($1 for example) in a certain event and zero otherwise. 



Consider a digital that pays $1at time 

  if         . The payoff of such a option is 

    {

              



              

 

(23) 



Using risk-neutral pricing formula 

      


 

     


       

 

 



[ ]    

       


    

 

              



       

   


 

  

(24) 



here 

     and  

 

 are same as defined in (13.b, 13.e). 



It is not difficult to check that (24) satisfies Black-Scholes equation (10).  

There are 4 kinds of digitals (if we consider dividend 

     ) 

Name 


Definition 

Value 


digit call 

Option that pays $1 when 

         

 

       



   

 

  



digit put 

Option that pays $1 when 

         

 

       



    

 

  



share call 

Option that pays 1 share when 

         

 

       



 

 

   



 

  

share put 



Option that pays 1 share when 

         

 

       


 

 

    



 

  

 




For non-zero dividend, 

 

   



 are slightly different from previous definition (13.c, 13.e) 

 

 



 

  

 



 

    (       

 

   


 

)  


 √ 

 

 



 

 

  



 

 

    (       



 

   


 

)  


 √ 

 

(25.a, 25.b) 



With these four digitals, we can easily recover the price of European call and put options. For 

European call option, use the definition of 

  in (23), the payoff of this call can be written as 

      


 

               

(26) 

This is equivalent to one share call minus K digital call. The combined price of this call option 



will be 

      


 

     


       

 

 



   

 

      



       

   


 

  

(27) 



Similarly, a European put option is equivalent to K digital put minus one share put. The price 

of the European put option is 

      

 

      



       

    


 

     


       

 

 



    

 

  



(28) 

The put-call parity is 

  

       


        

 

     



       

 

 



        

 

  



(29) 

This parity follows from the fact that both the left and the right-hand sides are the prices of 

portfolios that have value 

              at the maturity of the option. 

 

5. Greeks;   hedging;   hedging 

 

 



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