Akademik darajasini olish uchun bitiruv malakaviy ishi

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
ALISHER NAVOIY NOMIDAGI SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI

FIZIKA FAKULTETI

QATTIQ JISMLAR FIZIKASI KAFEDRASI
5440100-“FIZIKA” YO’NALISHI BO’YICHA BAKALAVR

AKADEMIK DARAJASINI OLISH UCHUN

BITIRUV MALAKAVIY ISHI
MAVZU: Kristallar simmrtriyasini uslubiyati”o’rganish

Himoyaga tavsiya etildi Bajardi: 4 - kurs kunduzgi

bo’lim talabasi Xudoyberdiyeva
Gulshoda

Kafedramudiri

____________dots. Axrorov S.Q. Ilmiy rahbar:

“____” _______________2012 y. _____dots. S.N. Sirajev

S A M A R Q A N D - 2012

MUNDARIJA

Kirish…………………………………………………………………. 3

I-BOB. KRISTALLAR SIMMETRIYASI ELEMENTLARI.........................4

1.1 Oddiy simmetriya elementlari……………………………………….… 4

1.2 Murakkab simmetriya elementlari………………………………….… .. 8

1.3 Simmetriya sinflarini belgilash……………………………………… . 15

II-BOB. KRISTALLOGRAFIYA ASOSLARIGA OID MASALALAR.. ...22.

2.1. Kristallografiyaga asoslariga oid masalalar va ularning yechimlari… …22

Xulosa…………………………………………………………….… 56

Adabiyotlar ro’yxati……………………………………………… …. 57

KIRISH

Biz xilma-xil, lekin go’zal tabiat qo’ynida yashaymiz. Tabiatning go’zalligi uning simmetrikligi bilan aniqlanadi. Tabiatdagi moddalarning aksariyati bir-birini takrorlovchi va bir-biriga nisbatan ma’lum qonuniyat asosida joylashgan qismlardan iborat bo’ladi. Buni o’simliklar dunyosida ham (daraxt shoxi va bargi, turli xil gullar va boshqalar), hayvonot dunyosida ham (kapalaklar, hayvonlar va boshqalar), minerallar dunyosida ham ko’rish mumkin. Bularning hammasi ikki yoki undan ko’p bir-birini takrorlovchi teng qismlardan iborat bo’ladi. Masalan, kapalaklar, ikkita qanotlaridagi dog’largacha bir xil bo’lgan ikki teng qismdan iborat. Bu qismlar ko’zguli tekislikning ikki tomonida joylashgandek bo’ladi. Agar kapalakni uning o’rtasidan o’tgan ko’zguli tekislikda qaytarsak, uning qismlari bir-biri bilan o’zaro ustma-ust tushadi va kapalakning holatida o’zgarish sezilmaydi. Ana shunday teng va ma’lum qonuniyat asosida joylashuvchi qismlardan iborat bo’lgan moddalarga simmetrik moddalar deyiladi. Barcha simmetrik moddalar go’zal va nosimmetrik bo’lgan moddalar esa xunuk ko’rinishda bo’ladi.

Simmetriya grekcha so’z bo’lib, teng o’lchamli demakdir. Ikkita modda (jism yoki biror modda bo’laklarining) o’zaro simmetrik bo’lishi uchun u moddalarning har ikkalasida bir xil qism bo’lishi, har bir moddaning ikki nuqtasi orasidagi masofalar bir-biriga teng bo’lishi kerak. Bunday ikkita moddalar biron geometrik amallar bajarilganda to’la ustma-ust tushishi kerak. Geometrik amallar bajarilganda to’la ustma-ust tushuvchi moddalar o’zaro simmetrik moddalar deyiladi. Moddalar yoki biror modda qismlarining o’zaro ustma-ust tushishiga olib keluvchi geometrik amallar simmetriya amallari deyiladi. Simmetriya amallariga tekislikda qaytarish, biror yo’nalish atrofida burash, nuqtada qaytarish (inversiya) va parallel siljitish amallari kiradi. Simmetriya amallarini bajarishga imkoniyat beruvchi geometrik tasvirlar simmetriya elementlari deyiladi.

Simmetriya elementlari bo’lib, moddadagi tekisliklar, yo’nalishlar va nuqtalar xizmat qiladi. Bunday elementlarga mos ravishda simmetriya tekisligi, simmetriya o’qi, simmetriya markazi deyiladi. Simmetriya elementlari oddiy va murakkab bo’ladi. Oddiy simmetriya elementlari deb, bitta simmetriya amalini bajarishni talab qiluvchi simmetriya elementlariga aytiladi. Bunday simmetriya elementlariga simmetriya tekisligi, simmetriya markazi va burama simmetriya o’qlari kiradi. Murakkab simmetriya elementlari deb, birdaniga ikkita burash va siljitish amalini bajarishni talab qiluvchi simmetriya elementlariga aytiladi. Murakkab simmetriya elementlariga ko’zguli, burama va inversion simmetriya o’qlari kiradi. Simmetriya elementlari uchun ikki xil belgi: xalqaro va Shenflis belgilari ishlatiladi. Xalqaro belgilashda simmetriya o’qlari 1,2,3..., simmetriya tekisligi m, simmetriya markazi C orqali, Shenflis belgisi bo’yicha simmetriya o’qlari C, simmetriya tekisligi P va simmetriya markazi C harfi bilan belgilanadi. Simmetriya o’qlari uchun belgi ham ishlatiladi. Bu belgi simmetriya formulalarini belgilashda qo’llaniladi.

I-BOB. KRISTALLAR SIMMETRIYASI ELEMENTLARI

1.1 ODDIY SIMMETRIYA ELEMENTLARI

Yuqorida ta’kidlanganidek, oddiy simmetriya elementlariga: simmetriya tekisligi, simmetriya o’qi va inversiya (simmetriya) markazi kiradi. Simmetriya tekisligi deb, modda yoki jismlardagi shunday tekislikka aytiladiki, bu tekislik moddani ikkita bir-biriga nisbatan ko’zguli teng bo’lakka bo’ladi. Yoki aksincha, agar jismda bir-biriga nisbatan ko’zguli teng bo’laklar bo’lsa, bu bo’laklar o’rtasidan simmetriya tekisligi o’tkazish mumkin. Demak, agar biror jism yoki geometrik shakl simmetriya tekisligiga ega deyilsa, u jism yoki geometrik shakl shu tekislikning ikki tomonida yotuvchi ikkita ko’zguli teng bo’laklardan iborat bo’ladi. Masalan, daraxt bargi, kapalak, teng yonli uchburchaklar (balandligiga nisbatan) ikkita teng qismlardan iborat bo’lib, ularning har birining o’rtasidan simmetriya tekisligi o’tkazish mumkin. Simmetriya tekisligi P yoki m harfi bilan belgilanadi.

Agar jism bir necha teng bo’laklardan iborat bo’lsa, unga mos holda jism bir necha simmetriya tekisliklariga ega bo’lishi mumkin. Masalan, teng yonli uchburchak-1 ta, kvadrat-4 ta, gul (gulning turiga qarab) - 2 ta, 6 ta, 24 ta va undan ko’p simmetriya tekisliklariga ega bo’lishi mumkin. 1-rasmda ba’zi bir geometrik shakllarning simmetriya tekisligi parallel chiziq bilan ko’rsatilgan.



1-rasm. Ikki o’lchamli ba’zi geometrik shakllarda simmetriya tekisliklarining soni va joylashishi.

Simmetriya o’qi deb, modda orqali o’tuvchi shunday yo’nalishga aytiladiki, modda bu yo’nalish atrofida ixtiyoriy a burchakka buralganda, u burashdan avvalgi boshlang’ich holatini to’la egallaydi. Demak, moddada simmetriya o’qining bo’lishi uchun uning teng qismlari bu o’q atrofida ma’lum qonuniyat asosida joylashishi kerak. a burchakning qiymati 0-360⁰ oralig’ida bo’lishi kerak. Modda qismlarining fazoda joylashishiga qarab, modda simmetriya o’qi atrofida to’la aylantirilganda bir yoki bir necha marta boshlang’ich holatini egallashi (ustma-ust tushishi) mumkin. Moddani biror yo’nalish atrofida a burchakka burganda moddaning boshlang’ich holatini to’la egallashlari (ustma-ust tushishlari) soni -n ga simmetriya o’qining tartibi deyiladi va u quyidagicha aniqlanadi:

Kuzatishlarning ko’rsatishicha, moddalarning tashqi shakliga qarab, ustma-ust tushishlari soni, yani simmetriya o’qining tartibi har xil bo’ladi. Ularning tartibi 1 dan ¥ gacha bo’ladi (2-rasm).

1-chi tartibli simmetriya o’qiga ega bo’lgan jismga ixtiyoriy simmetrik yoki asimmetrik bo’lgan jismlarni misol qilib keltirish mumkin. Tabiatdagi har qanday jism cheksizta 1-tartibli simmetriya o’qiga ega bo’ladi.



2-rasm. 1 dan gacha tartibdagi simmetriya o’qlariga ega bo’lgan geometrik shakllar qatori.

2-rasmlarda simmetriya o’qlari kitob tekisligiga tik yo’nalgan. Aniq tashqi ko’rinishga ega bo’lgan geometrik shakllar va kristall ko’pyoqlilarning simmetriya o’qlarini keyingi paragrafda ko’ramiz. Hozircha kubda 3 ta 4-tartibli, 4 ta 3- tartibli va 6 ta 2- tartibli simmetriya o’qlari, sharda esa cheksizta cheksizinchi tartibli simmetriya o’qlari mavjud bo’lishini ta’kidlaymiz. Simmetriya o’qlari ularning tartibini ko’rsatuvchi sonlar 1,2,3……. yoki, har xil harflar C, L, L bilan belgilanadi. Agar simmetriya o’qlari harflar bilan belgilansa, unda o’qning tartibi harfning o’ng tomonida indeks yoki daraja ko’rinishida yoziladi. Masalan, to’rtinchi tartibli simmetriya o’qi , yoki g⁴ kabi belgilanadi. Rasmda ko’rsatiladigan simmetriya o’qlari to’g’ri chiziqlar bilan ifodalanadi. Ularning tartibi esa, to’g’ri chiziq uchida joylashgan tegishli ko’p burchaklar bilan ko’rsatiladi.

3-rasmda 2, 3, 4, 6,…tartibli o’qlarga ega bo’lgan jismlarda zarrachalar (jism qismlari) ning joylashish qonuniyati ko’rsatilgan.



3-rasm. 2, 3, 4, 6…tartibli simmetriya o’qiga ega bo’lgan jismlarda jism qismlarining joylashish qonuniyati.



4-rasm. Kubda 4-chi (a), 3-chi (b), va 2-chi (c) tartibli o’qlarning joylashishi.

Simmetriya (inversiya) markazi deb, modda ichidagi shunday nuqtaga aytiladiki, modda ichida bu nuqtadan hamma yo’nalishlar bo’yicha bir xil uzoqlikda bir xil nuqtalar yoki moddaning bir xil qismlari joylashgan bo’ladi. Sharning markazi, aylananing markazi, kubning hajmiy markazi, romashka gulining markazi bu jismlar uchun simmetriya markazi bo’ladi. Bu jismlarning ixtiyoriy nuqtasini (qismini) simmetriya markaziga nisbatan aks ettirsak, jismning ikkinchi tomonidagi xuddi shunday nuqta (qism) bilan ustma-ust tushadi. Shuning uchun ba’zi hollarda simmetriya markazi aks ettirish markazi yoki inversiya markazi deb ham ataladi. Simmetriya markazi C yoki i harfi bilan belgilanadi va 5-rasmdagidek nuqta shaklida belgilanadi. Quyida aylana va parallelogramning simmetriya markazlari ko’rsatilgan (5-rasm).



5-rasm. Parallelogram va aylanada simmetriya markazining joylashishi.

Aylana diametrining qarama-qarshi uchlarida joylashgan A va D nuqtalar, parallelogramning diagonallari uchlarida joylashgan A va B nuqtalar, hamda K va L nuqtalar C nuqtadan bir xil uzoqlikda joylashgan va bir xil nuqtalar hisoblanadi. D va E nuqtalar ham shunday kuchga ega. Demak, aylana va parallelogram uchun C nuqta simmetriya markazi bo’ladi.

1.2 MURAKKAB SIMMETRIYA ELEMENTLARI

Murakkab simmetriya elementlariga inversion va ko’zguli burama simmetriya o’qlari kiradi va ular ham oddiy simmetriya o’qlari kabi 1,2,3...¥ tartibli bo’ladi.

a) Inversion simmetriya o’qlari. n-chi tartibli inversion o’q deb, modda orqali o’tuvchi shunday chiziqqa aytiladiki, moddani bu chiziq atrofida a=360⁰/n burchakka burab, moddadagi simmetriya markaziga qaytarsak, modda o’zining boshlang’ich holiga n marta qaytadi. Inversion o’q yoki L_ni bilan belgilanadi. Masalan, 1-tartibli inversion o’q-, 2- tartiblisi - cheksiz tartiblisi esa - L_¥i ko’rinishida belgilanadi. Shuni alohida ta’kidlash kerakki, inversion o’qlardan ba’zilari oddiy simmetriya elementlari bilan teng kuchli bo’ladi. Masalan, L_1i = C, L_2i = P bo’ladi. Inversion o’qlardan birinchi beshtasining (L_1i, L_2i, L_3i, L_5i, L_6i) geometrik mohiyati bilan quyida tanishamiz.

Birinchi tartibli inversion o’q deb, modda yoki shakl orqali o’tuvchi shunday chiziqqa aytiladiki, moddani bu chiziq atrofida 360⁰ ga burab, simmetriya markazida qaytarsak, modda boshlang’ich holatiga qaytadi. Buni 6-rasmda yaqqol ko’rish mumkin. A va B nuqtalarda jismning bir xil elementlari nuqtalari mavjud bo’lsin. Bu nuqtalar jismni 360⁰ ga burab, C nuqtada qaytarganda avvalgi holatiga to’la qaytadi. Bu shaklning markazidan o’tgan o’q L_1i ekanligidan dalolat beradi.



6-rasm. Birinchi tartibli inversion o’qni ko’rsatuvchi shakl.

Ikkinchi tomondan A va B nuqtalar simmetriya markazida qaytarilganda ham avvalgi holatiga qaytadi. Demak, 1-tartibli inversion o’qning ta’siri oddiy simmetriya elementlaridan biri bo’lgan simmetriya markazi ta’siri kabi bo’lar ekan.

Demak,

= C

Bundan, -ni alohida simmetriya elementi sifatida qaramasa ham bo’lar ekan, degan xulosa kelib chiqadi.

Moddada ikkinchi tartibli inversiya o’qining bo’lishi uchun modda qismlari, nuqtalari 7-rasmda ko’rsatilgandek joylashishi kerak. Moddani 180⁰ ga buraganda A nuqta A¢ nuqtaga, B nuqta esa B¢ nuqtaga va shakl yangiholatga o’tadi. Lekin simmetriya markazida qaytarsak, A va B nuqtalar burashidan avvalgi o’rinlarini egallaydi va jism boshlang’ich holatiga qaytadi.



7-rasm. Ikkinchi tartibli inversion o’qni (L_2i) ko’rsatuvchi shakl.



8-rasm. Ikkinchi tartibli inversion o’qning (L_2i ) simmetriya tekisligiga (m) teng ekanligini

(L_2i = m) ko’rsatuvchi shakl.

A va B nuqtalarni ham simmetriya tekisligida qaytarsak, jism boshlang’ich holatiga qaytadi. Bundan ikkinchi tartibli inversion o’q o’z ta’siri bilan oddiy simmetriya tekisligiga teng kuchli ekan, degan xulosa kelib chiqadi (8-rasm).

Endi uchinchi tartibli inversion o’qni qaraymiz. Bunda jism qismlari 120⁰ burchak hosil qilib joylashishi kerak. 9-rasmda ko’rsatilgan struktura L_3i ga ega

chunki, sistemani 120⁰ ga burab, C ga nisbatan qaytarsak, struktura avvalgi holatini egallaydi. Haqiqatdan ham strukturani 120⁰ ga burasak A nuqta C nuqta o’rnini, C nuqta B nuqta o’rnini va B nuqta A nuqta o’rnini oladi. Lekin bu nuqtalarni o’q ustida yotgan simmetriya markazi C ga nisbatan qaytarsak, ko’chgan nuqtalar tegishlicha D, L va E nuqtalarga o’tadi. Bu esa strukturaning burashdan oldingi boshlang’ich holatidir. Xuddi shunday o’tishlar D, L va E nuqtalar uchun ham o’rinli bo’ladi. Demak, strukturani 120⁰ ga burab o’q ustida yotgan simmetriya markaziga nisbatan qaytarsak, struktura avvalgi holatini egallaydi. Lekin bunday struktura mustaqil 2 ta oddiy simmetriya elementlari L₃ va C ga ega. Chunki sistemani 120⁰ ga burasak, struktura boshlang’ich holatini egallaydi. Xuddi shu kabi burash amalini bajarmasdan struktura qismlarini (nuqtalarini) simmetriya markazi C da qaytarsak ham struktura boshlang’ich holatiga keladi. Demak,

L_3i = L₃ + i

Amaliyotda ikkita simmetriya amalini bajarish o’rniga bitta L_3i ni bajarish qulay. Shuning uchun bunday struktura bitta L_3i ega deb aytiladi.

9-rasm. Uchinci tartibli inversion o’q.

To’rtinchi tartibli tartibli inversion o’qning geometrik mohiyatini 10- rasmdan yaqqol tushuntirib berish mumkin. Sistemani 90⁰ ga burasak nuqtalar

A^' B^' va D^' E^' holatga o’tadi (10 (a)-rasm). Bu holat sistemaning boshlang’ich holati bilan ustma-ust tushmaydi. Lekin uni simmetriya markazi C ga nisbatan qaytarsak, D^' E^' nuqtalar AB holatga, A^' B^' chiziq DE holatga o’tadi va sistema boshlang’ich holatiga qaytadi. Bu simmetriya amalini oldin qaralgan bironta simmetriya elementi yordamida bajarib bo’lmaydi. Demak, 4-tartibli inversion o’q, xuddi 3-tartibli inversion o’q kabi mustaqil simmetriya elementi bo’lar ekan. Shuni alohida ta’kidlash lozimki, 4-tartibli inversion o’q hamma vaqt ikkinchi tartibli oddiy o’qdan iborat bo’ladi. Ammo, ikkinchi tartibli oddiy o’q (L₂ ) 4-tartibli inversion o’qdan (L_4i ) iborat bo’lolmaydi.

6-tartibli inversion simmetriya o’qi va uning geometrik mohiyati.

Strukturaning zarrachalari boshlang’ich holatda ABD va mnk nuqtalarda joylashgan bo’ladi.Strukturani 60⁰ ga burasak (L₆ ga tegishli amal) u yangi holatga A¢B¢D¢ va m¢n¢k¢ ga o’tadi. Bu holat buralmasdan avvalgi holat bilan ustma–ust tushmaydi. Demak struktura L₆ ga ega emas. Endi yangi holatga ko’chgan zarrachalarning L₆ ustida joylashgan simmetriya markazi C ga nisbatan qaytaradi. Unda A¢ nuqtadagi zarracha buralgan avvalgi k nuqtadagi zarracha o’rnini, B¢- zarracha m zarracha, D¢- zarracha n zarracha o’rnini oladi va struktura boshlang’ich holatiga qaytadi.

10-rasm. To’rtinchi tartibli inversion o’qni tushuntirishga doir.

Shunday qilib,bu struktura uchun birdaniga L₆ va C amallarini bajarib,uni avvalgi holatiga qaytarish mumkin ekan. Demak,biz qarayotgan struktura 6-tartibli inversion o’qqa ega bo’lar ekan.

Bunday struktura oddiy L₃ ga ega bo’ladi. Demak, L_6i ni hamma vaqt L₃ deb qarash mumkin. Lekin L₃ hech qachon L_6i bo’laolmaydi. Chunki, strukturaning L₃ ega bo’lishi uchun unda simmetriya markazi bo’lishi shart emas. Lekin strukturaning L_6i ga ega bo’lishi uchun L₃ ga tegishli strukturadan tashqari, inversiya markazi ham bo’lishi kerak.

b) Ko’zguli burama simmetriya o’qlari. Ko’zguli burama simmetriya o’qlari deb, modda (shakl) orqali o’tgan shunday chiziqqa aytiladiki, moddani bu chiziq atrofida ixtiyoriy a burchakka burab, bu chiziqqa perpendikulyar ko’zguli tekislikda qaytarilsa, jism boshlang’ich holatiga qaytadi. Moddalarda bo’lishi mumkin bo’lgan ko’zguli burama o’qlar 1, 2,3…¥ tartibli bo’ladi. Ko’zguli burama o’qlar L harfi bilan belgilanadi. Demak, moddalarda L₁, L₂,…L_¥ tartibli o’qlar bo’ladi. Lekin, tekshirishlarning ko’rsatishicha bu o’qlarning jism elementiga ta’siri, xuddi inversion simmetriya o’qlari ta’siri kabi bo’ladi. Jumladan 1- tartibli ko’zguli burama simmetriya o’qining ta’siri ikkinchi tartibli inversion o’qi ta’siri kabi, ikkinchi tartibli ko’zguli burama simmetriya o’qining ta’siri birinchi tartibli inversion simmetriya o’qining ta’siri kabi bo’ladi.Umuman, bizga kristallar simmetriyasini o’rganish uchun birinchi 6 ta simmetriya o’qlari uchun quyidagi tengliklar bajarilishini ko’rsatish mumkin.

L₁ = L_2i = m; L₂ = L_2i = C; L₃ = L_6i = L₃P = L₃ +P; L₄ = 4_4i ; L₆ = L_3i = L₃C = L₃+C.

Shunday qilib, biz chekli jismlarning simmetriyasi quyidagi simmetriya elementlari bilan aniqlanar ekan, degan xulosaga kelamiz.

Oddiy o’qlar L₁, L₂, L₃, … ,L_¥, inversion o’qlar L_1i = C, L_2i = P= m; L_3i, L_4i,…,L_¥i. Shuni alohida qayd qilish lozimki, bu simmetriya elementlariga tegishli simmetriya amallari bajarilganda, jismda hech bo’lmaganda bitta nuqta o’z o’rnida qoladi. Masalan, simmetriya tekisligiga tegishli amal bajarilganda butun tekislik, simmetriya o’qiga tegishli amal bajarilganda o’qda yotuvchi nuqtalar va nihoyat, inversiya markaziga tegishli amal bajarilganda jismdagi inversiya markazi bilan ustma-ust tushuvchi bitta nuqta qo’zg’almasdan qoladi.

Shuning uchun bunday simmetriya elementlariga nuqtaviy simmetriya elementlari deyiladi. Nuqtaviy simmetriya elementlari har xil mualliflar tomonidan har xil belgilangan. Lekin ikki xil belgilash dunyo olimlari tomonidan qabul qilingan belgilar hisoblanadi.

1. Xalqaro belgilar. Xalqaro belgilashda oddiy o’qlar 1, 2,3,4,6,...¥ kabi, inversion o’qlar esa, ...; kabi belgilansa, simmetriya tekisligi m harfi bilan va inversiya markazi i harfi bilan belgilanadi.

2. Shenflis belgilari. Shenflis oddiy o’qlarni C₁,C₂ ,C₃ … kabi, inversion o’qlarni C_1i,C_2i ,C_3i … kabi, simmetriya tekisligini P harfi bilan va simmetriya markazini C_i harfi bilan belgilaydi.

Kristallar simmetriyasini qarayotganda simmetriya elementlarini belgilashga to’liqroq to’xtalamiz. Shunday qilib, cheklangan jismlarning simmetriya elementlari xalqaro belgilar bo’yicha quyidagilar bo’lar ekan, degan xulosaga kelamiz. 1, 2, 3, 4, 6,…¥, m, i, , , ...

Bu elementlarning sxemasi 1-jadvalda keltirilgan.

1-jadval. Simmetriya elementlarini sxemada belgilash.



1.3. SIMMETRIYA SINFLARINI BELGILASH

Simmetriya sinflari - turlarini belgilashning asosan shakli va turi mavjud: Xalqaro belgilar va Shenflis belgilari.

1. Xalqaro belgilar.

n – n- tartibli simmetriya o’qi.

- n- tartibli inversiya o’qi.

m - simmetriya tekisligi.

nm - n- tartibli simmetriya o’qi va bu o’q bo’ylab yo’nalgan simmetriya tekisliklari (tekisliklar soni n - ta bo’ladi).

yoki n / m - n-tartibli simmetriya o’qi va unga tik joylashgan simmetriya tekisligi.

n2 – n- tartibli simmetriya o’qi va unga perpendikulyar yo’nalgan ikkinchi tartibli simmetriya o’qlari (n - ta).

, n/mm – n- tartibli simmetriya o’qi va bu o’qqa paralllel (n - ta) va perpendikulyar (bitta) joylashgan simmetriya tekisliklari.

va n oldin ta’kidlanganidek 1, 2, 3, 4 va 6 qiymatlar qabul qiladi.

Simmetriya sinflarini xalqaro belgilashda simmetriya elementlarini yozish tartibi ham katta rol uynaydi. Simmetriya elementini ifodalovchi son yoki harfning ma’nosi uning yozuvda tutgan o’rniga qarab aniqlanadi. Kristallografik sinfni ifodalovchi belgi - simvolda bir xil simmetriya elementlari albatta birinchi o’rinda, boshqalari ikkinchi o’rinda, uchinchi o’rinda yozilishlari kerak. Masalan: o’rta kategoriyaga kiruvchi sinflarda birinchi o’rinda albatta bosh o’q joylashtirilishi kerak. Ikkinchi va uchinchi o’rinlarda boshqa simmetriya elementlari joylashtiriladi. Kubik kristallarda koordinata o’qlari bo’ylab yo’nalgan simmetriya elementlari (3 ta va ) birinchi o’rinda, uchinchi tartibli simmetriya o’qlari istisno sifatida ikkinchi o’rinda va diagonal simmetriya elementlari uchinchi o’rinda joylashtiriladi. Masalan: kubik kristallografik singoniyaga kiruvchi belgi bilan trigonal kristallografik singoniyaga kiruvchi 3m belgi bir - biridan tubdan farq qiladi. m3 sinfda birinchi o’rinda koordinata o’qlari bo’ylab joylashgan simmetriya elementi m turishi kerak. Belgida birinchi o’rinda m turibdi. Bunday tekisliklar soni 3 ta bo’lishi kerak (chunki o’qlar soni 3 ta x,y,z). Demak, 3m sinfda 3 ta simmetriya tekisligi bo’lishi kerak. Ikkinchi o’rinda 3-tartibli simmetriya o’qlari turishi kerak. Ular soni 4 ta. Keyin boshqa simmetriya elementlari turadi. Sinfda yana qanday simmetriya elementlari bo’ladi? Buni yuqorida keltirilgan teoremalar asosida aniqlash mumkin.

1-teoremaga ko’ra tekisliklarining kesishish chizig’i 3 ta dan iborat. Demak, sinfda 3 bo’ladi. 2-teoremaga ko’ra, bilan m ning kesishish nuqtasida simmetriya markazi C bo’ladi. Demak, kubik singoniyadagi sinfda 3 ta , 4 ta L₃, 3 ta P va C bo’lar ekan.

m3 ® 34 3PC

Lekin trigonal singoniyaga kiruvchi 3m sinfda , va 3P bo’ladi. Chunki, qoidaga ko’ra, bunday singoniyadagi xalqaro belgisida birinchi o’rinda yagona bosh o’q turadi. Ikkinchi o’rinda esa simmetriya tekisligi turadi. Bu tekislik belgiga ko’ra, ga parallel bo’lib, 4-teoremaga ko’ra, ularning soni 3 ta bo’lishi kerak. Demak,

3m ® 3P

Bu m3 dan tubdan farq qiladi. Simmetriya sinflarining xalqaro yozuvini tushunish uchun bu qoidalarni albatta bilish kerak.