Aniq integral yordamida teks figura va hajmlarni hisoblash

ANIQ INTEGRAL YORDAMIDA TEKS FIGURA VA HAJMLARNI HISOBLASH.
REJA:
2. Nyuton-Leybnits formulasi.
3. Aniq integralning tadbiqlari.
1. Aniq integralning fizik va mexanik tatbiqlari.
2. Aniq integral yordamida yassi figuralar yuzlarini hisoblash.
3. Egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash.
4. Aylanma jism hajmini hisoblash.
5. Aniq integralning iqtisodiyotga tatbiqlari.

Bir nechta funksiyalar algebraik yig‘indisining aniq integrali qo‘shiluvchilar aniq integrallarining yig‘indisiga teng:

O‘zgarmas ko‘paytuvchini aniq integral belgisidan tashqariga chiqarish mumkin:

Agar [a, b] kesmada funksiya o‘z ishorasini o‘zgartirmasa, u holda aniq integralning ishorasi funksiya ishorasi bilan bir xil bo‘ladi, ya’ni
a) agar [a, b] kesmada f(x) 0 bo‘lsa, u holda ;
b) agar [a, b] kesmada f(x)dx 0 bo‘lsa, u holda .
3.Nyuton-Leybnits formulasi.

Aniq integrallarni integral yig‘indining limiti sifatida bevosita hisoblash ko‘p hollarda juda qiyin, uzoq hisoblashlarni talab qiladi va amalda juda kam qo‘llaniladi. Integrallarni topish formulasi Nyuton-Leybnits teoremasi bilan beriladi.

Teorema: Agar F(x) funksiya f(x) funksiyaning [a; b] kesmadagi boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, u holda aniq integral boshlang‘ich funksiyaning integrallash oralig‘idagi orttirmasiga teng, ya’ni:

Bu tenglik aniq integralni hisoblashning asosiy formulasi (Nyuton-Leybnits formulasi) deyiladi.
1) Figuralar yuzlarini dekart koordinatalar sistemasida hisoblash
a) Avvalgi o’tilgan mavzulardan ma’lumki, agar [a, b] kesmada funksiya f(x)0 bo’lsa, u holda y=f(x) egri chiziq, OX o’qi va x=a hamda x=b to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi
(4)
ga teng bo’ladi. Agar [a, b] kesmada f(x)0 bo’lsa, u xolda aniq integral bo’ladi.
Absolyut qiymatiga ko’ra bu integralning qiymati ham tegishli egri chiziqli trapetsiyaning yuziga teng: (4^|)
1-rasm
Agar f(x) funksiya [a, b] kesmada ishorasini chekli son marta o’zgartirsa, u holda integralni butun [a, b] kesmada qismiy kesmachalar bo’yicha integrallar yig’indisiga ajratamiz. f(x)>0 bo’lgan kesmalarda integral musbat, f(x)<0 bo’lgan kesmalarda integral manfiy bo’ladi. Butun kesma bo’yicha olingan integral OX o’qidan yuqorida va pastda yotuvchi yuzlarning tegishli algebraik yig’indisini beradi (1-rasm). Yuzlar yig’indisini odatdagi ma’noda hosil qilish uchun yuqorida ko’rsatilgan kesmalar bo’yicha olingan integrallar absolyut qiymatlari yig’indisini topish yoki
(4^||)
integralni hisoblash kerak.

2. 
   Agar y₁=f₁(x) va y₂=f₂(x) egri chiziqlar hamda x=a va x=b to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzini hisoblash kerak bo’lsa, u holda f₁(x)f₂(x) shart bajarilgan figuraning yuzi qo’yidagiga teng:
   

(5)
1-misol. y=cosx, y=0 chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzi hisoblansin, bunda x[0, 2] (2-rasm).
2-rasm
Yechish. x[0, /2] va x[3/2, 2] da cosx0 hamda x[/2, 3/2] da cosx0 bo’lgani uchun

Demak, S = 4 (kv.birlik)