Aniq integralning geometriyaga tadbiqi

3.2. Qutb koordinatalar sistemasida egri chiziq yoyining uzunligi.
Qutb koordinatalar sistemasida egri chiziqning tenglamasi
(7)
Bo’lsin. Qutb koordinatalaridan Dekart koordinatalariga o’tish formulasi: yoki (7) dan foydalansak:

Bu tenglamalarga egri chiziqning parametric tenglamalari deb qarab, yoy uzunligini hisoblash uchun (4) formulani tatbiq qilamiz.

U holda:

Demak,
(8)
Misollar.

1. 
   x²+u²=r² aylana uzunligi hisoblansin.
   

Yechish. Dastlab aylananing 1-kvad rantda yotgan to’trdan bir qismining uzunligini hisoblaymiz. U holda AB yoyning


Butun aylananing uzunligi:
2) kardioidaning uzunligi topilsin. Kardioida qutb o’qiga nisbatan simmaetrikdir. qutb burchagini 0 dan gacha o’zgartirib, izlanayotgan uzunlikning yarmini topamiz. (5-rasm)
(8) formuladan foydalanamiz, bunda



3) elllipsning uzunligi hisoblansib, bunda a>b
Yechish. (4) formuladan foydalanamiz. Avval yoy uzunligining ¼ qismini hisoblaymiz.


bunda
Demak,
4. Jism hajmini parallel kesimlsrning yuzalari bo’yicha hisoblash

Biror T jism berilgan bo’lsin. Bu jismni OX o’qqa perpendikulyar tekislik bilankesiashdan hosil bo’lgan har qanday kesimning yuzi ma’lum deb faraz qilamiz. Bu holda yuza kesuvchi tekislikning vaziyatiga bog’liq, ya’ni x ning funksiyasi bo’ladi:

T Q(x_i)

a x_i-1 x_i b x

7-rasm
ni uzluksiz funksiya deb faraz qilib, berilgan jism hajmini aniqlaymiz.

tekisliklarni o’tkazamiz. Har bir qismiy oraliqda ixtiyoriy nuqta tanlab olamiz va i ning har bir qiymati uchun yasovchisi x lar o’qiga parallel bo’lib, yo’naltiruvchisi T jismni tekislik bilan kesishdan hosil bo’lgan kesimning knturidan iborat bo’lgan silindrik jism yasaymiz. Asosining yuzi va balandligi bo’lgan bunday elementar silindrning hajmi gat eng. Hamma silindrlarning hajmi bo’ladi. Bu yig’indining max dagi limiti berilgan jismning hajmi deyiladi:
V_n miqdor [a, b] kesmada uzluksiz Q(x) funksiyaning integral yig’indisidir, shuning uchun limit mavjud va u
(9)
aniq integral bilan ifodalanadi.
Misol. ellipsoidning hajmi hisoblansin.
Yechish. Ellipsoidni OYZ tekislikka parallel bo’lib undan x masofa uzoqlikdan o’tgan tekislik bilan kesganda yarim o’qlari
bo’lgan
ellips hosil bo’ladi.
Bu ellipsning yuzi: .
Ellipsoidning hajmi: