Aniq integralning geometriyaga tadbiqi

2. Figuralar yuzlarini qutb koordinatalarida hisoblash.


AB egri chiziq qutb koordinatalarida formula bilan berilgan va funksiya kesmada uzluksiz bo’lsin (4-rasm)

B
A

0

Ushbu egri chiziq va qutb o’qlari bilan va burchak hosil qiluvchi 2 ta nurlar bilan chegaralangan egri chiziqli sektorning yuzini aniqlaymiz.

Buning uchun berilgan yuzani
nurlar bilan n ta ixtiyoriy qismlarga bo’lamiz. O’tkazilgan nurlar orasidagi burchaklarni bilan belgilaymiz.
bilan orasidagi biror burchakka mos nurning uzunligini orqali belgilaymiz. Radiusi va markaziy burchagi bo’lgan doiraviy sektorni qaraymiz. Uning yuzi gat eng bo’ladi.
Ushbu yig’indi

Zinapoyasimon sektorning yuzini beradi.
Bu yig’indi kesmada funksiyaning integral yig’indisi bo’lgani sababli uning limiti da aniq integralga teng. Bu burchak ichida qanday ning olishimizga bog’liq emas. Demak, OAV sektorning yuzi:
(7)

4-misol. kardioida bilan chegaralangan figuraning yuzini hisoblang.

S₁
2a

5-rasm

(kv. birlik)


3. Egri chiziq yoyining uzunligi.


3.1. Dekart koordinatalar sistemasida egri chiziq yoyining uzunligi hisoblash.

Tekislikda to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasida egri chiziq tenglama bilan berilgan bo’lsin.

Bu egri chiziqning x=a va x=b vertical to’g’ri chiziqlar orasidagi AV yoyining uzunligini topamiz (6-rasm)

y
B

M₁

A

0 a x₁ x₂ x_i-1 x_i b x

6-rasm

AB yoyda abstsissalari bo’lgan A, M₁, M₂,…,M_i,…B nuqtalarni olamiz va AM_1, M₁M₂,…M_n-1 B vatarlarni o’tkazamiz, ularning uzunliklarini mos ravishda bilan belgilaymiz.
AB yoy ichiga chizilgan aniq chiziqning uzunligi
bo’lgani uchun AB yoyning uzunligi
(1)
bo’ladi.
Faraz qilaylik, funksiya va uning hosilasi [a, b] kesmada uzluksiz bo’lsin.
U holda

Yoki Lagranj teoremasiga asosan
bunda
bo’lgani uchun
bo’ladi
Ichki chizilgan siniq chiziqning uzunligi esa
bo’ladi
Shartga ko’ra funksiya uzluksiz. Demak, funksiya ham uzluksizdir. Shuning uchun integral yig’indining limiti mavjud va u qo’yidagi aniq integralga teng.

Demak, yoy uzunligini hisoblash formulasi:
(2)
ekan.
Endi egri chiziq tenglamasi
(3)
Parametric ko’rinishda berilgan bo’lsin, bunda uzluksiz hosilali uzluksiz funksiyalar va berilgan oraliqda nolga aylanmaydi.
Bu holda (3) tenglama biror funksiyani aniqlaydi.
Bu funksiya uzluksiz bo’lib uzluksiz hosilaga ega, bo’lsin (6) integralda almashtirish bajaramiz. U holda
(4)
Agar egri chiziq fazoda
(5)
Parametric tenglamalar bilan berilgan va funksiyalar [a, b] kesmada uzluksiz hamda uzluksiz hosilalarga ega bo’lsa, egri chiziq aniq limitlarga ega bo’ladi va u
(6)
Formula bilan aniqlanadi.