Atomska fizika

Izvođenje obrazaca za brzinu, poluprečnik orbite i ukupnu energiju elektrona u atomu

Borova atomska teorija se odnosi na atome vodonikovog tipa. U jezgru takvog atoma se nalazi Z protona, dok u omotaču orbitira samo jedan elektron. Za atom vodonika Z = 1, dok za ostale elemente izvođenje važi samo ako je nihov atom toliko jonizovan da mu je preostao samo jedan elektron, a on se može nalaziti na ma kojoj orbiti, pri čemu je redni broj te orbite označen sa n.

Zbog kretanja po n – toj orbiti brzinom ovaj elektron ima kinetičku energiju:

( 4 )

gde je m_e masa elektrona.

Zbog privlačne Kulonove sile sa jezgrom atoma:

( 5 )

gde je količina elektriciteta i u jednom protonu i u jednom elektronu, elektron ima potencijalnu energiju:

( 6 )

Potencijalna energija elektrona je negativna zato što nastaje od dejstva privlačne Kulonove sile.

Da bismo dobili odnos kinetičke i potencijalne energije ovog elektrona potrebno je izraz za Kulonovu silu ( 5 ) izjednačiti sa izrazom za centripetalnu silu , zato što Kulonova sila i jeste uzrok orbitiranja elektrona. Dakle:

( 7 )

odakle je: /

.

Upoređivanjem sa izrazima ( 4 ) i ( 6 ) dobili smo traženi odnos kinetičke i potencijalne energije:

( 8 )

Ukupna energija elektrona je jednaka zbiru kinetičke i potencijalne energije:

. ( 9 )

III Borov postulat glasi je izraz ( 2 ). Množenjem i leve i desne strane sa dobija se:

( 10 )

Kako su leve strane izraza ( 10 ) i ( 7 ) jednake, moraju biti jednake i njihove desne strane:

odakle je brzina elektrona:

tj. ( 11 )

Izraz za poluprečnik orbite elektrona dobijamo iz izraza ( 7 )

kada u njemu zamenimo vrednost iz izraza ( 11 )

Posle sređivanja dobija se konačno:

( 12 )

Traženi izraz za ukupnu energiju elektrona dobija se kada se u izrazu ( 9 ) zameni vrednost uzeta iz izraza ( 12 ):

odakle se sređivanjem dobija konačno:

. ( 13 ) = ( 1 )

Spektar atoma vodonika
E _f,min E <sub>f,max

max min</sub> n = 7

E₇ = - 0.277 eV n = 6

E₆ = - 0.378 eV

n = 5

E₅ = - 0.544 eV

Fundova serija

n = 4

E₄ = - 0.85 eV

Breketova serija

n = 3

E₃ = -1.511 eV

Pašenova serija

n = 2

E₂ = - 3.4 eV

Balmerova serija

n = 1

E₁ = - 13.6 eV

sl. 5. Limanova serija

Emisioni spektar atoma vodonika nastaje prelascima elektrona sa viših na niže orbite. Ako, radi jednostavnosti, uzmemo da je u elektronskom omotaču 7 umesto beskonačno mnogo orbita, tada postoji ukupno 21 mogući prelazak sa viših na niže orbite, što je prikazano na sl. 5. Ovi prelasci su grupisani u serije prelazaka, koje nose imena po naučnicima koji su ih eksperimentalno proučavali uglavnom u XIX veku.

Pri svakom od ovih prelazaka elektron emituje jedan foton čija se talasna dužina može izračunati iz Ridbergovog obrasca. Ovaj obrazac važi samo za atome vodonikovog tipa:

( 14 )

gde je Z redni broj datog elementa, tj. broj protona u jezgru njegovog atoma. Za vodonik Z = 1, pa je Ridbergov obrazac za vodonikov atom:

( 15 )

je Ridbergova konstanta, dok je talasna dužina fotona elektromagnetnog zračenja koji elektron emituje pri prelasku sa m – te na n – tu orbitu.

Energiju emitovanog fotona možemo izračunati iz Plankovog obrasca:

( 16 )

gde je: Plankova univerzalna konstanta, a brzina svetlosti.

Energiju emitovanog fotona možemo izračunati i iz II Borovog postulata kao razliku energija dva energetska nivoa ( uostalom, iz II Borovog postulata se može i izvesti Ridbergov obrazac, što je i prikazano na kraju ove lekcije ): jednog iz koga je elektron prešao i drugog u koji je na kraju stigao:

( 17 )

što je svakako lakši način u odnosu na obrazac ( 16 ) posebno zato što su energije svih 7 energetskih nivoa u atomu vodonika prikazane na sl. 5.

Pomoću Ridbergovog obrasca možemo izračunati talasne dužine fotona koje elektron emituje pri svakom od 21 prelaska. Na taj način možemo ustanoviti tačna mesta svih njegovih emisionih linija u spektru elektromagnetnih talasa. Međutim postoji i lakši način, ali tada možemo samo postaviti granice vodonikovog spektra u spektru elektromagnetnih talasa.

Dugotalasna granica spektra atoma vodonika

Pri prelasku sa 7. na 6. orbitu elektron emituje foton najmanje energije, a najveće talasne dužine i ova talasna dužina predstavlja dugotalasnu granicu vodonikovog emisionog spektra. Drugim rečima, elektron ne može emitovati veću talasnu dužinu nekim drugim prelaskom. Ako sada u Ridbergov obrazac zamenimo: m = 7 i n = 6 dobićemo:

300 nm

što pripada infracrvenom zračenju, koje se inače prostire od 100 000 nm ( 0.1 mm ) do 750 nm.

Kratkotalasna granica spektra atoma vodonika

Pri prelasku sa 7. na 1. orbitu elektron emituje foton najveće energije, a najkraće talasne dužine i ova talasna dužina predstavlja kratkotalasnu granicu vodonikovog emisionog spektra. Drugim rečima, elektron ne može emitovati kraću talasnu dužinu nekim drugim prelaskom. Ako sada u Ridbergov obrazac zamenimo: m = 7 i n = 1 dobićemo:

nm

što pripada ultraljubičastom zračenju, koje se inače prostire od 390 nm do 10 nm

Evo kako to izgleda prikazano na spektru elektromagnetnih talasa:
radio talasi mikro talasi infracrveni talasi svetlost ultraljubičasti zraci rentgenski zraci gama zraci kosmički zraci

spektar atoma vodonika

12300 nm 92.3 nm

100 000 nm 750 nm 390 nm 10nm

Pošto su utvrđene dve granice, jasno je da se ostalih 19 prelazaka nalazi između njih.

Računanjem pomoću Ridbergovog obrasca mogu se utvrditi podaci koji slede.

Dugotalasna granica ( 1 ), Fundova ( 2 prelaska ), Breketova ( 3 ) i Pašenova serija ( 4 ) nalaze se u infracrvenom delu spektra.

Cela Balmerova serija ( 5 ) se nalazi u području svetlosti.

Cela Limanova serija ( 6 ) pripada ultraljubičastom delu spektra.

Dakle, spektar atoma vodonika ima 10 linija u infracrvenom području, 5 raznobojnih linija u području svetlosti i 6 linija u ultraljubičastom delu spektra elektromagnetnih talasa.

Zaključak je da atom vodonika ne može emitovati – zbog prelaska elektrona sa viših na niže orbite nijedno zračenje koje se nalazi van granica njegovog spektra, a to su; radio talasi, mikro talasi, dugotalasni deo infracrvenog zračenja, kratkotalasni deo ultraljubičastog zračenja, X – zrake, – zrake i kosmičke zrake.

Crne Fraunhoferove linije ( 21 ) apsorpcionog spektra vodonika nalaze se tačno na istim mestima gde su i njegove emisione linije jer nastaju obrnutim prelascima elektrona, tj. prelascima sa nižih na više orbite.

Izvođenje Ridbergovog obrasca

Kada elektron skoči sa m – te na n – tu orbitu on u stvari prelazi iz energetskog nivoa u kome je njegova energija: ( 18 )

na energetski nivo u kome je njegova energija:

. ( 19 )

Energija emitovanog fotona po II Borovom postulatu je:

Zamenom iz izraza ( 18 ) i ( 19 ) dobija se:

.

Ako uzmemo da je Ridbergova konstanta:

( 20 )

=

sledi: .

Pomoću Plankovog obrasca:

konačno se dobija:

što je obrazac ( 14 ), tj. traženi Ridbergov obrazac.


Kvantni brojevi. Paulijev princip isključenja
U atomskoj fizici se, za određivanje mesta elektrona u elektronskom omotaču, koriste četiri kvantna broja, a to su:

n – glavni kvantni broj koji određuje redni broj orbite ( energetskog nivoa ) u kojoj se dati elektron nalazi.

– orbitalni kvantni broj

– magnetni kvantni broj i

– spinski kvantni broj ili skraćeno samo »spin«.

Glavni kvantni broj uzima vrednosti samo do 7 zato što ponovo uzimamo da u elektronskom omotaču ima samo 7 orbita.

Prva tri kvantna broja su celobrojni parametri koji se javljaju pri rešavanju Šredingerove jednačine koja opisuje elektron u atomu kao de Broljev stojeći talas. Vrednosti u zagradama pokazuju ograničenja ovih kvantnih brojeva, a ta ograničenja su posledica uslova pod kojima se Šredingerova jednačina rešava.

Orbitalni kvantni broj l je povezan sa orbitalnim momentom impulsa elektrona tako što je:

( 21 )

Ako elektron u atomu unesemo u spoljašnje magnetno polje, pa z – osu usmerimo u smer tog polja, tada magnetni kvantni broj određuje z – projekciju orbitalnog momenta impulsa:

( 22 )

Spin ( spinski kvantni broj ) određuje sopstveni moment impulsa elektrona:

( 23 )

Zanimljivost u vezi sa spinom je da on ima veze sa rotacionom simetrijom elektrona, tj. bilo koga tela koja ima spin.

Pravilo je sledeće: kada se 360^o podeli vrednošću spina date mikročestice dobija se najmanji ugao za koji treba zarotirati tu česticu da bi izgledala isto kao na početku obrtanja:

( 24 )

Izuzetak je telo koje sa svih strana izgleda jednako – za takvo telo spin je jednak nuli.

Ovo pravilo se može i okrenuti. Ako znamo najmanji ugao za koji moramo okrenuti dato telo da bi izgledalo isto kao na početku obrtanja, tada 360^o treba podeliti tim uglom da bi saznali koliki je spin tog tela. Tako i nastaje nekoliko sledećih primera.

.


ma koji ugao = 360^o = 180^o = 120^o

sl. 6.
Sada možemo pogledati šta znači to što elektron ima spin ½.

obrtaja.

Dakle, elektron moramo okrenuti dva puta da bi izgledao isto kao na početku obrtanja. Ja ne znam nijedno makro-telo koje bi imalo ovakvu osobinu. Svako telo, ma kakav oblik ono imalo, »mora« da izgleda isto kada se okrene za pun krug. Međutim, elektron izgleda isto tek kada se okrene još jednom. Ako ste negde u glavi do sada imali sličicu elektrona kao male kuglice ( ili možda nekog drugog oblika ) zaboravite tu sliku. Pored svih čudnih ponašanja elektrona, kao uostalom i čitavog kvantnog sveta, koja smo do sada razmatrali, elektron još i ne izgleda kao ni jedno nama poznato telo i niko od nas ne može da zamisli njegov oblik. Mikrosvet nam ovde još jednom pokazuje svoje neobično lice. Nije ni čudo što je Bor jednom prilikom rekao da »onaj koji se ne zaprepasti kada čuje kvantnu teoriju verovatno uopšte nije ni razumeo šta mu je rečeno«.

Kvantni brojevi određuju i koliko jedna orbita ima orbitala. Pogledajmo sada tu analizu.

Prva orbita

Prva orbita ima glavni kvantni broj s = – ½

. Orbitalni kvantni broj l čije 1 s ²

ograničenje kaže da on može uzima- s = + ½

ti sve celobrojne vrednosti od 0 do

n – 1, može uzeti samo jednu vred- sl. 7.

nost i to . Magnetni kvantni

broj m, čije ograničenje kaže da može uzeti sve celobrojne vrednosti od – l do + l uključujući i nulu, može uzeti samo jednu vrednost . Spinski kvantni broj može uvek, nezavisno od vrednosti ostala tri kvantna broja da uzme obe svoje vrednosti i s = – ½ i s = + ½ .

Dakle, prva orbita se sastoji od dve orbitale, a obe se nalaze u podnivou koji je označen ( hemija ) sa 1 s ². Jedinica pokazuje redni broj orbite, a dvojka koliko je orbitala u s podnivou. Elektron koji bi se nalazio u gornjoj orbitali imao bi sledeće vrednosti kvantnih brojeva: , , i s = – ½ . Elektron u donjoj orbitali bi imao različit samo spin: , , i s = + ½ .

Druga orbita

s = – ½

2 s ²

s = + ½





s = – ½



s = + ½



s = – ½



s = + ½ 2 p ⁶



s = – ½



s = + ½

sl. 8.

Na drugoj orbiti ima osam orbitala koje su grupisane u dva podnivoa 2 s ² i 2 p ⁶.

s ² podnivo ima vrednost orbitalnog kvantnog broja , p ⁶ ima , d ¹⁰ ima , itd.

Treću i ostale orbite neću da crtam, zato što je princip jasan. U trećoj orbiti ponavljaju se podnivoi s ² i p ⁶, ali pojavljuje se, u odnosu na drugu orbitu, novi podnivo d ¹⁰ sa , dok m uzima sve vrednosti od – 2 do + 2. Na svakom od tih pet m podnivoa su po dva spina, tako da se u d podnivou nalazi 10 orbitala. To znači da je u trećoj orbiti ukupno 18 orbitala, itd.

Značaj svega ovog postaje jasan kada uvedemo Paulijev princip isključenja.

Dva elektrona u istom atomu ne mogu imate jednaka sva četiri kvantna broja. A kada bi dva elektrona ipak imala jednaka sva četiri kvantna broja, tada bi se nalazila u istoj orbitali iste orbite. Ono što u stvari zabranjuje Paulijev princip jeste da se dva elektrona nikako ne mogu naći zajedno u istoj orbitali iste orbite. Ovo se može izreći i na sledeći način: Orbitala je popunjena ako se u njoj nalazi elektron.

Sada je jasno da se u prvoj orbiti mogu naći najviše 2 elektrona, u drugoj 8 elektrona, itd.

Pogledajmo sada sledeću tabelu:

redni br. orbite	l = 0 s ^2	l = 1 p ^6	l = 2 d ^10	l = 3 f ^14	l = 4	l = 5	l = 6	broj orbitala	max. broj elektrona
n = 1	2							2	2
n = 2	2	6						8	8
n = 3	2	6	10					18	8
n = 4	2	6	10	14				32	18
n = 5	2	6	10	14	18			50	18
n = 6	2	6	10	14	18	22		72	32
n = 7	2	6	10	14	18	22	26	98	32