Aylanma harakat kinematikasi va dinamikasi

3-Misol. Massasi m va uzunligi l bo’lgan bir jinsli ingichka sterjenning o'rtasidan o'tgan o’qqanisbatan inertsiya momenti. Sterjenni fikran kichik bo'lakchalarga bo'lamiz. Aytaylik x - bunday bo'laklardan birining aylanish o’qigacha bo'lgan masofasi, dx-bo'lakchaning uzunligi. U holda bu elementning inertsiya momenti.

вО₀ = х² вғ = х² ВҚвч (35)

bo'ladi.Bu yyerda S- sterjenning ko'ndalang kesim yuzasi ( ); D- uning zichligi. Sterjenning bitta yarmining inertsiya momentini (35) ifodani 6-rasm. x bo'yicha 0 dan 1/2 gacha integrallab topamiz, butun sterjenning inersiya momenti ikki marta katta:
, (36)
chunki sterjenning massasi m=DlS. Pirovardida m massali va R radiusli bir jinsli sharning uning markazidan o'tgan o’qqanisbatan inertsiya momentini tayyor xolda keltiramiz:
(37)
Jism qo’zg’almas o’q atrofida aylanganda unga ta'cir etayotgan kuchning faqat bir tashkil etuvchisi, aynan trayektoriyaga urinma holda qo’yilgan tashkil etuvchisi bu o’qqanisbatan moment hosil qiladi. Aslida, aylanayotgan jismning N nuqtasiga qo’yilgan F kuchni 8- rasmda ko'rsatilgandek oldin ikki tashkil etuvchiga
a jratamiz: 0Z aylanish o’qiga parallel (F_//) va unga tik (F _^). O'z navbatida F kuchni ham ikki tashkil etuvchiga ajratamiz: F_t - markazi 0¢ nuqtada bo'lgan aylanaga urinma bo'lgan N nuqta harakatlanuvchi va F_n - 0¢N radius bo'ylab yo'nalgan normal, ya'ni jismning aylanish o’qiga tik bo'lgan. Koordinata boshi 0 ga nisbatan F kuch momenti
М=хк Аҳ = хк (А_Т+А_т+А_tҳ
bo'ladi. Chunki va F_// , va F_n vektorlar o'zaro kollineardir, shunday ekan ularning vektor ko'paytmalari nolga teng, unda
7-rasm.
bo'ladi. Bu tenglikning o'ng tomonidagi birinchi uchta had jismning aylanish o’qiga tik yo'nalgan vektorlardan iborat, to'rtinchisi esa bu o’q bo'yicha yo'nalgan vektor. Demak, 0Z o’qqa nisbatan F kuch momenti
(38)
ifodaga teng. Bu yerda r - kuch qo’yilgan nuqtadan o’qqacha bo'lgan masofa, F_t - F kuchning vektor yo'nalishidagi proeksiyasi, bu yyerda V - aylanuvchi jism N nuqtasining chiziqli tezligi. Kichik dt vaqt ichida N nuqtaning siljishi

ifoda bilan aniqlanadi. Bu yerda - jismning dt vaqt ichidagi elementar burilishi. Bunda jismga qo’yilgan F kuch elementar
dА = Fdr = F_t ½dr|
ish bajaradi. Bunda va o'zaro ortogonal bo'lgani uchun ½dr½= r dj va
dА = r F_t dj = М_z dj =М (39)
bo'ladi.
6. Qo’zg’almas OZ o’q atrofida aylanuvchi jismning kinetik energiyasi uchun ifoda topaylik. Aylanish o’qidan masofada turuvchi jismning dm massaga ega bo'lgan kichik elementining dW_k kinetik energiyasi
dW_к = 1/2u² dm = 1/2wr²dm
ifodaga teng bo'ladi.
Butun jismning kinetik energiyasi
(40)
formula bilan aniqlanadi.
Ko'rsatish mumkinki (3.2 dagi Kyoning teoremasiga qarang), qattiq jismning erkin harakatida uning kinetik energiyasi V_c tezlik bilan ilgarilanma harakat qilayotgan massa uning markazining kinetik energiyasi ( , m - jism massasi) bilan massa markazidan o'tgan oniy o’q atrofida burchakli tezlik aylanayotgan jismning aylanish kinetik energiyasi ( , J_c -oniy o’qqa nisbatan jismning inersiya momenti) yig’indisiga teng:
. (41)
Shuni nazarda tutish kerakki, umumiy holda bu jismning massa markazi atrofida oniy aylanish o’qining jismga nisbatan holati vaqt o'tishi bilan o'zgaradi, bunda J_c¹ const. Ammo ko'p hollarda (masalan bir jinsli silindr yoki sharning tekislikda tebranishida) J_c =const.
7. Agar qattiqjism qo’zg’almas o’q atrofida burchakli tezlik bilan aylanayotgan bo'lsa, uning kinetik energiyasi
W_к =1/2 L (42)
bo'ladi. Bu yerda - koordinata boshi uchun qabul qilingan O nuqtaga nisbatan jismning impuls momenti. Aslida, jism kichik elementining tezligi bo'ladi. Shuning uchun uning kinetik energiyasi
dW_к = 1/2 VV dm=1/2dmV[w r]=1/2 [r V] dm,
chunki uch vektorning aralash ko'paytmasi hamma ko'paytuvchilarning siklik almashtirishda o'zgarmaydi. Bu ifodani integrallab butun jismning kinetik energiyasini topamiz: