Barrati non fanno parte del programma 2016-2017 Gli esercizi marcati in giallo



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Gli esercizi marcati in azzurro o barrati NON fanno parte del programma 2016-2017

Gli esercizi marcati in giallo sono facoltativi per l’AA 2016-2017

Le unità di misura si intendono nel SI m Kg s, se non altrimenti indicato



Spinta Idrodinamica

Un getto d’acqua proveniente da un tubo di diametro D = 30 cm con un condotto convergente di diametro d= 10 cm colpisce la piastra curva, che lo devia di 90°.

L’allievo determini la spinta F esercitate del getto sulla piastra curva nelle ipotesi di fluido perfetto ed effetti di gravità trascurabili. La pressione p* misurata dal manometro è pari 2 a atmosfere relative. h= 0.8 m. Coefficiente di contrazione Cc = 0,7.

Il problema si puo’ immaginare diviso in due parti:



  1. La determinazione della velocità sezione contratta Vc

  2. Il calcolo della spinta, una volta noti i parametri di cui sopra




  1. Si scrive la relazione di bernouilli tra la sezione A dove c’è il manometro e la sezione contratta, con le incognite Vc e VA: Le sezioni si ottengono facilmente dai dati forniti. Si impiega poi la relazione di continuità per eliminare una delle due velocità. La pressione in A si ottiene applicando la legge di Stevino tra il manometro e la sezione centrale: pA = P* + hγ

  2. Il volume di controllo è quello indicato in rosso. Si dividono le Π e le M in 4 parti, relative alle superfici 1 (di ingresso) 2 (di uscita) 0 (di contatto con la piastra 3 (in contatto con l’atmosfera). SI vede facilmente che Πo è l’incognita, mentre Π1 2 e Π3 sono sulle.: Analogamente M0 e M3 sono nulli. I moduli di M1 ed M2 sono: β1 ρ S1 V12 e β2ρ S2 V22 Inoltre : V1=V2 =Vc . per il teorema di Bernouilli (ricordare che gli effetti della gravità, dunque la variazioni di z sono trascurabili, e le pressioni sono costanti ed eguali all’atmosferica). S1 = S2 ( ed ancora S1 = S2 = Sc , per la continuità) Assumendo, come si fa sempre in mancanza di meglio, che i coefficienti di ragguaglio siano tutti =1, si calcolano facilmente M1 ed M2. Le direzioni ed i versi sono ovvi (normali alle superfici ed entranti). Si costruisce il consueto diagramma vettoriale, in questo caso particolarmente semplice perché l’angolo è di 90 gradi.

NB NON è un errore . ma è uno sforzo inutile, assumere come volume di controllo quello composto dalla parte rossa e da quella verde considerate insieme. Il risultato è identico.

NB2 Il disegno è fuorviante, perché nelle ipotesi assunte la sezione del getto dovrebbe mantenersi più o meno costante dalla sezione contratta a quelle lungo la piasta




Spinta Idrodinamica

p1

h1



p0
D

d

Una tubazione D=400 mm termina con un convergente a tronco di cono con diametro di uscita d= 224 mm; il getto d’acqua scarica in un ambiente a p0= 1,5 Atmosfere assolute. Il coefficiente di contrazione è 0.8 ; la pressione letta al manometro atmosfere assolute a quota h1 = 5 metri rispetto all’asse centrale della tubazione. è : p1=2,5 Atmosfere assolute. Si cerca la spinta idrodinamica esercitata dall’acqua sul convergente. ;



Si puo’ considerare il fluido perfetto e trascurare l’azione della gravità all’ interno della tubazione.

Calcolare le velocità nella sezione contratta all’ uscita dall’ugello applicando il teorema di Bernoulli, ( si trascura la variazione di z e la pressione è costante...) tra la sezione D e la sezione contratta; si introduce poi la continuità tra le stesse due sezioni, e si ricavano sia Vd che Vc . Si individua il volume di controllo (sezione contratta, tubazione conica, sezione D di ingresso), e si procede come negli appunti.

Fare ATTENZIONE alla pressione in D; in questo esercizio, come in molti simili, la pressione non è data sulla sezione, ma sul manometro che è collocato ad una certa quota hl rispetto alla sezione. In questi casi si applica la legge di Stevino (idrostatica) tra il manometro e il centro della sezione. Rivedere sulla dimostrazione del teorema di Bernoulli il motivo per cui sulla sezione trasversale vale la legge idrostatica. (queste ultime considerazioni sono irrilevanti nel caso di gas = peso trascurabile)



Spinta idrodinamica
Per il sistema rappresentato in figura l’allievo determini la forza da applicare nel punto C per l’equilibrio della parete verticale incernierata in A; Il diametro della condotta è D; quello della sezione di sbocco è d; è nota la pressione PD nella sezione D; il getto sbocca in atmosfera con coefficiente di contrazione Cc; il fluido è acqua. Si trascuri l’effetto della gravità.

Assumere i seguenti valori



D=200

d=50 mm ;

Coefficienti

di ragguaglio = 1

Cc = 0.75;

L= 1.5m;


PD= 1,4 Atmosfere assolute

Attenzione come sempre alle unità di misura!

Individuare il volume di controllo compreso tra la sezione contratta Sc=Sd2 *Cc, le sezioni di uscita SA ed SC perpendicolari alla piastra, l’interfaccia con la piastra So. Con il teorema di Bernoulli calcolare le velocità nella sezione contratta all’ uscita dall’ugello ( e quindi di ingresso nel volume di controllo ) utilizzando anche la continuità tra la sezione D e la sezione contratta. Il teorema di Bernoulli, (banalizzato perché si trascura la variazione di z e la pressione è costante...) serve anche a calcolare le velocità in SA ed SC; calcolare quindi la spinta -o sulla piastra secondo quanto illustrato negli appunti. Si assume la spinta applicata sul centro della piastra e si fa l’equilibrio dei momenti rispetto ad A (-o * L/2 = F* L)



Spinta idrodinamica
Per il sistema rappresentato in figura l’allievo determini la forza da applicare nel punto C per l’equilibrio della parete verticale incernierata in A; Il diametro della sezione di sbocco è d; la portata, nota, è Q; il getto sbocca in atmosfera con coefficiente di contrazione Cc; il fluido è acqua. Si trascuri l’effetto della gravità.

Assumere i seguenti valori





d=50 mm ;

Q1 = 100 l/s ;

Coefficienti

di ragguaglio = 1

Cc = 0.75;

L= 1.5m;




Identico al caso precedente, tranne che la velocità nella sezione contratta è piu facilmnete calcolabile con la sola equazione di continuità., di uscita


Spinta Idrodinamica
In un serbatoio (H=10m) contenente acqua è praticato un foro ad una profondità h=6 m avente un diametro di 200 mm.

Nell'ipotesi che la superficie libera sia a livello praticamente invariabile l'allievo determini la spinta sulla piastra inclinata (°) posta in prossimità della luce.

Calcolare la velocità nella sezione contratta con la formula di Torricelli (ovvero col teorma di Bernouilli tra il piano dei carichi idrostatici e la sezione contratta.

Definire un volume di controllo compreso tra la piastra, la sezione contratta, la sezione di uscita Applicare l’eq. Globale al volume e proiettare sulla normale alla piastra. Per il resto, riferirsi agli appunti





Spinta idrodinamica







Sc

A

Il problema si puo’ immaginare diviso in due parti:

E’ necessario come sempre prima riportare le pressioni in termini di pressione relativa.
Determinare la velocità sezione contratta Vc: Si scrive la relazione di bernouilli tra la sezione A dove c’è il manometro e la sezione contratta, con le
Calcolare la spinta sul manufatto conoscendo i diametri D e d, e la pressione letta sul manometro, che è situato ad una quota h rispetto al centro della sezione. Il fluido è acqua.

Il problema è sostanzialmente identico a quello riportato sugli appunti (Turbina Pelton), anzi è più semplice. Si puo’ immaginare diviso in due parti:



  1. Determinare la velocità sezione contratta Vc: Si scrive la relazione di bernouilli tra la sezione A, dove c’è il manometro e la sezione contratta Sc, con le incognite Vc e VA: Le sezioni si ottengono facilmente dai dati forniti. Si impiega poi la relazione di continuità per eliminare una delle due velocità. La pressione in A si ottiene applicando la legge di Stevino tra il manometro e la sezione centrale: pA = P* + hγ .(E’ necessario come sempre riportare le pressioni in termini di pressione relativa).

Individuare il volume di controllo (Sezione contratta, sezioni di uscita in rosso, interfaccia con la piastra).. Si dividono le Π e le M in 4 parti, relative alle superfici Sc (contratta, di ingresso), 2 e 3 (di uscita), 0 (di contatto con la piastra), 3 (in contatto con l’atmosfera). Si vede facilmente che Πo è l’incognita, mentre Πc , Π2 e Π3 sono sulle. Analogamente M0 è nulla. I moduli di M3 ed M2 sono: β3 ρ S3 V32 e β2 ρ S2 V22 Inoltre : V2=V3 =Vc per il teorema di Bernouilli (siamo su in piano orizzontale, dunque la variazioni di z sono trascurabili, e le pressioni sono costanti ed eguali all’atmosferica). S2 = S3 ( ed ancora S1 + S2 = Sc , per la continuità). Assumendo, come si fa sempre in mancanza di meglio, che i coefficienti di ragguaglio siano tutti =1, si calcolano facilmente M2 ed M2. Le direzioni ed i versi sono ovvi (normali alle superfici ed entranti). Si può costruisce il consueto diagramma vettoriale, in questo caso banale perché i vettori sono allineati e di verso opposto, ma è utile farlo per non confondersi con i segni.




Spinta idrodinamica

Nel serbatoio in pressione rappresentato in figura è contenuto un liquido di peso specifico γ fino ad un’altezza H; a profondità h dal pelo libero è posizionato un tappo circolare AB di diametro L che esternamente è colpito da un getto d’acqua proveniente dall’ugello conico di un idrante, che ritorna indietro dopo essere stato deviato dio 180°. Si assuma che la spinta idrodinamica sia valutabile nelle ipotesi di fluido perfetto e che la variazione tra l’ingresso e l’uscita del tratto a contatto con il tappo di quota del getto sia trascurabile. E’ nota la portata Q nel tratto di diametro D dell’idrante, ed il coefficiente di contrazione Coefc. L’allievo determini la posizione del piano dei carichi idrostatici del serbatoio e la pressione del gas affinché si verifichi l’equilibrio del tappo.

Le dimensioni sono:

γ = 8950 N/m3 + (120 * ultimo numero matricola) N/m3

H = 3.9 m + (0.5 * penultimo numero matricola) = m (altezza del liquido nel serbatoio)

h =1.1 m + (0.3 * penultimo numero matricola) = m (affondamento di A dal pelo libero del serbatoio)

L =0.57 m + (penultimo numero matricola) = m (diametro tappo)

D =0.80 m + (0.15 * penultimo numero matricola) = m (diametro tubo idrante)

d =0.29 m + (0.1 * penultimo numero matricola) = m (diametro sezione uscita idrante)

Coefc = 0.71 + (0.01 * terzultimo numero matricola) = (coefficiente sezione contratta)

Q = 2.5 mc/s + (0.025 * terzultimo numero matricola) = mc/s (portata idrante)

Note: scegliere bene il volume di controllo: ingresso ed uscita in corrispondenza delle sezioni rosse.

L'ipotesi di tracurare la gravità fa sì che il teorema di bernouilli tra la sezione contratta di ingresso e quella di uscita si banalizza nel fatto che le velocità sono eguali


Spinta idrodinamica

La superficie rappresentata in figura è sottoposta all’azione di un getto d’acqua in pressione proveniente da una tubazione dal diametro D (sez. corrente) - d (sez. foro uscita) e lunghezza L=350cm.





Sapendo che tra il punto marcato C nel serbatoio e la sezione contratta B si determina una variazione di pressione P=(Pa-Pb), con una variazione di quota pari a Z=(Zb-Za), l’allievo determini la spinta esercitata dal getto sulla superficie.

Si assuma valida l’ipotesi di fluido perfetto e si trascurino gli effetti della forza di gravità..
Z = 3.5 m m P =0.50 atm

D =0.50 m m

d =0.10 m m (sez. uscita)

Cc = 0.9
Prima si ricava facilmente il valore nella velocità in B attraverso il teorema di Bernouilli tra il punto C e la sezione B.



Il volume di controllo è indicato in figura: ricavare l'espressione della componente della spinta lungo l'asse si simmetria: è facile perchè sono noti gli angoli di uscita. Sono anche note (bernouilli) le velocità di ingresso e di uscita (eguali perchè...)

Spinta Idrodinamica

Nel serbatoio rappresentato in figura sono contenuti due liquidi di densità 1 e 2 fino ad un’altezza H. A profondità h dal pelo libero è praticato un foro circolare di diametro D, dal quale fuoriesce un getto che colpisce una superficie piana ABC. L’allievo determini la spinta risultante esercitata sulla superficie ABC.
Le dimensioni sono:

1 = 700 Kg/m3 Kg/m3

2 = 1100 Kg/m3 Kg/m3

H = 3.5 m = m (altezza del piano dei carichi idrostatici dal fondo)

H 2 =2.2 m = m (altezza di riempimento dal fondo del liquido )

h =2.2 m = m (distanza del foro A dal pelo libero del serbatoio)

D =0.5 m = m (diametro foro parete serbatoio)

Coefc = 0.70 ) = (coefficiente d contrazione)


Facoltativo: l’allievo calcoli la spinta nel caso in cui la parete (punto B) sia inclinata rispetto all’orizzontale di 45°.

Calcolare la pressione (o la quota piezometrica del liquido) all’altezza dell’asse dell’ugello.

Quindi calcolare la velocità nella sezione contratta con la formula di torricelli (ovvero col teorma di bernouilli tra il piano dei carichi idrostatici e la sezione contratta.

Definire un volume di controllo compreso tra la piastra, la sezione contratta, la sezione di uscita, indicato con le linee tratteggiate.

Applicare l’eq. Globale al volume. Per il resto, riferirsi agli appunti
Spinta Idrodinamica
Si calcoli la spinta F (vettore, le due componenti, la direzione ed il modulo) di origine idrodinamica esercitata sul supporto quando la pompa è in moto.

La portata Q è 200 l/s; il diametro D1 = 200mm, D2 = 100mm , il coefficiente di contrazione è Cc=0,85. La portata nella sezione 1 proviene da una tubazione, e la pressione è di 1 atmosfera assoluta. Lo sbocco nella sezione 2 è a pressione atmosferica. Si possono trascurare gli effetti della gravità



L’esercizio si imposta come quello volto nel paragrafo “Macchinari, pompe, motori a getto” del blocco di appunti “GlobaleBernouilliAPPL”; il volume di controllo, interno alla pompa, deve comprendere anche le tubazioni (che essendo connesse rigidamente alla pompa, scaricano anch’esse le spinte sul corpo della pompa e quindi sul supporto.

Fare attenzione al fatto che la pressione nella sezione 1 è già assegnata (e, in termini relativi è 0)

Spinta Idrodinamica

A

B



La pompa dell’imbarcazione in figura (ferma) aspira acqua dal tubo anteriore 1 (diametro D1 = 200 mm) e la scarica dal condotto posteriore 2 che ha un ugello del diametro D2 100m , con coefficiente di contrazione Cc =0,8; le quote di aspirazione e di scarico sono eguali. La pompa esercita sullo scafo una spinta la cui componente orizzontale è pari a 2000 N. Determinare la portata Q, e la potenza W della pompa, trascurando tutte le perdite di carico ed assumendo pari ad uno i coefficienti di Coriolis
L’esercizio si imposta come quello volto nel paragrafo “Macchinari, pompe, motori a getto” del blocco di appunti “GlobaleBernouilliAPPL”

L’unica differenza è che la pressione ambiente non è quella atmosferica ma quella data dal carico idrostatico della quota di aspirazione e di scarico, che peraltro sono eguali e scompaiono dai calcoli. Si fa quindi riferimento a pressioni relative rispetto alla pressione circostante.

Con il volume dicontrollo indicato in blu, e ripercorrendo gli stessi ragionamenti, si ha

Anche qui si asumono coefficienti di ragguaglio  =1 , e l’accettabiltà di Bernouilli all’imbocco

Assumendo l’asse positivo x verso destra (il calcolo delle sezioni S2 ed S2 è ovvio)





(riordiamo che si puo’ assumere p2 = pressione ambiente e quindi p2 =0)

Ripetendo il ragionamento alla bernouilli tra la sezione 1 e un punto “lontano”, a pressione = 0 si ha

E quindi esprimendo le velocità in funzione della portata Q (ρ = 1000 kg / m3 )


Da cui si puo’ ricavare la portata Q.
Per calcolare la prevalenza e quindi la potenze si applica il teorema di Bernouilli sul circuito comprendente la pompa. La quota delle due sezioni è eguale Z1= Z2= Z0 dunque:
Z1+P1/ + V12 /2g = Z2+P2/ + V22 /2g - h

h = -(P1/ + V12 /2g) + P2/ + V22 /2g

Applicando di nuovo Bernouilli tra 1 ed un punto “lontano” a pressione ambiente p0 =0

h = +P0/ + P2/ +V22 /2g

h = Q2 / (2gS2)



(Variante) : Il condotto di uscita 2 ha diametro D2* di 50 mm , sempre con coefficiente di contrazione Cc =0,8. Anche in questo caso la pompa esercita sullo scafo una spinta la cui componente orizzontale è pari a 2000 N. Determinare la nuova portata Q*, e la potenza W della pompa, trascurando tutte le perdite di carico ed assumendo pari ad uno i coefficienti di Coriolis


Venturimetro
Nella sezione di gola di un tubo di Venturi riportato in figura è inserito un manometro differenziale, contenente un liquido di peso specifico m = 11500 N/m3.

Nell'ipotesi che il fluido defluente sia acqua, l'allievo determini al variare della velocità V in D1, i corrispondenti valori teorici di  e ne diagrammi l’andamento.

L’incremento di velocità deve essere pari a dV=0.5 m/s e sono richiesti almeno 6 punti.


Assumere i seguenti valori:


D1 = 0.30 m e D2 = 0.20 m,

Iniziare con V= 0.5 m/s.


Si ricordi (o si ricostruisca) la formula che lega il parametro  con la differenza di quota piezometrica tra 1 e 2.

Si applichi il teorema di Bernouilli tra 1 e 2, e si evidenzi la differenza di quota piezometrica tra 1 e 2; si eguagliano poi le espressioni,


Venturimetro- valori limite della pressione in gola

  1. Nell’ esercizio precedente,assumere nota la velocità in V= 2m/s, per vari valori della pressione in D1 (: ad es 1ata; 0.5 ata; 3ata;1,4 atm relativa;0,4 atm relativa …) calcolare il valore della pressione in D2.

È analogo al caso precedente,anzi più semplice; finchè non succede qualcosa…

  1. Determinare qual è il limite inferiore della pressione in D1 per garantire il funzionamento

Sempre il teorema di Bernouilli tra 1 e 2, però si assume noto il valore in D2, pari al valore di pressione assoluto P2=0 (ovvero di prrssione relativa P2r=-1atm), e ad questo si rcava P1. Attenzione: si puo’ svolgere sia usando le pressioni relativa che usando le pressioni assolute, ma in maniera coerente (= o sempre assolute, o sempre relative)
Venturimetro Sezione quadrata, aria

Ripetere l’esercizio “venturimetro” per una sezione quadrata, con gli stessi valori di D, dv = 2.5 m/s ,quando il fluido è aria




Turbolenza e sforzi alla parete
Una tubazione di sezione circolare e diametro D= 1, scorre acqua con velocità media V=1; la scabrezza eps= 0.1 mm.

Facendo uso dell’ abaco di Moody allegato calcolare: lo sforzo alla parete, lo spessore del substrato laminare, verificare se si è in regime a) di moto viscoso, b) di tubo liscio c) di tubo scabro




Determinare eps/D, ed il numero di Reynolds. Cercare lamda sull’ abaco; calcolare la J con J= lambda* V2 / (sgD); calcolare Ф0 con

Φ0 = /L Ri; Φ0 = γΔh/L Ri ; Φ0 = γJ Ri ; Ri=D/4

calcolare V* dalla definizione V*= √ (Ф 0 /ρ) ; calcolare  = 11.5 ν/V* ; paragonare  con ε: Se  è sensibilmente più piccolo di ε, vuol dire che si è in regime ti tubo liscio; altrimenti, in regime turbolento.

Altri valori:

D= 1, acqua con velocità media V=0.5; scabrezza eps= 1 mm.

D= .01, acqua con velocità media V=0.01; scabrezza eps= .001 mm.

D= .1, acqua con velocità media V=2; scabrezza eps= .1 mm.

In qualche caso è possibile che la soluzione sia in regime di moto viscoso

Sezione quadrata, aria

Ripetere l’esercizio precedente per una sezione quadrata, lato D, gli stessi valori di V, quando il fluido è aria


Moto laminare, sforzo alla parete

Il pistone di una siringa lunga 5 cm, del diametro interno di 6 mm, con un ago lungo 4 cm, diametro interno 0,5 mm, sbocco in atmosfera, si muove con la velocità di 0,3 cm/s . Calcolare lo sforzo da esercitare sul pistone. Se necessario, si assuma l’ipotesi di tubo liscio.



  1. Fluido: aria

  2. Fluido acqua

Non dimenticare di verificare le condizioni di moto (numero di Reynolds)



Canali
Qc(k), Q(h)
Per un canale avente sezione rettangolare larghezza di base B = 8 m - si tracci la curva delle altezze di stato critico in funzione di Q , per Q compreso tra 0 e 1 m3/s

Inoltre assumendo una scabrezza- λ = 0.01, pendenza i =1%,, si determini la curva di deflusso altezza/portata nell’ipotesi di moto uniforme e di canale largo

L’esercizio è facile, (percò puo’ creare confusione se uno non ha ben chiari i concetti di altezza critica e di moto uniforme (sono due cose diverse- ripassare)


H(h)

Si abbia un canale rettangolare con sezione S(h) = h * b e data portata Q, costruire il diagramma H(h) e cercare l'altezza critica k ed il carico critico Hk. Verificare quindi numericamente la formula analitica.
Q= 3 ; b=2,5 m


Q=1, b=12

E’ un esercizio classico, illustrato negli appunti. La tabella che segue riporta H in funzione di h, e si trova facilmente il minimo



Quando si svolgono senza computer, in tutti gli esercizi in cui si costruiscono tabelle e diagrammi, è bene provare con interevalli di h forti (25-50 cm) e poi infittire i punti di calcolo intorno alla zona di interesse.

La formula che da’ k per un rettangolo è:



, la verifica è facile: =0.527511, abastanza vicino al valore minimo della tabella 0.5


H(h)

Si abbia un canale trapezoidale con base minore B, angolo delle pareti laterali con la verticale alfa, portata Q, costruire il diagramma H(h) e cercare l'altezza critica k ed il carico critico Hk. .
Q= 3 ; B=2,5 m; alfa=30°


Q=.1; B=1; alfa=45°

E’ un esercizio classicosimile al precedente




Hc

L’allievo determini l’altezza di stato critico k ed il carico critico Hc per il canale rappresentato in figura (sezione).


a = 20°

b = 3.25 m

Q = 4 m3/s

 = 0.20

i = 0.001

NB: nella figura H NON è il carico totale, è semplicemente il massimo valore di h!


Anche questo è un esercizio classico, simile ai precedente, a parte la forma trapezioidale rovesciata; procedere come spiegato nel file “canali”.. I valori di e di i sono inutili!

iu

In un canale rettangolare di base b= 30 m scorre la portata Q = 70 m3 /s,  = 0.08 l’allievo ricavil’altezza di moto uniforme. Verifichi poi se sarebbe accettabile l’ipotesi di “Canale largo”



Q(h)

L’allievo calcoli e disegni la scala di deflusso Q(hu) per un canale rettangolare di larghezza B = 15m, pendenza

i= 1.2 % e scabrezza λ = 0,05 , per valori di hu a partire da hu =0

Si assumano:

  1. condizioni di moto uniforme

  2. passo di calcolo h = 20 cm

Sono richiesti almeno sei punti di calcolo.





Q


(mc/s)

h


(m)

Q(h)

In una sezione rettangolare di base b=3 scorre una portata con un carico totale H= 2

Calcolare per punti la curva Q(h), e determinare il massimo valore di Q per quel carico, e l’altezza h a cui si verifica. Paragonare il valore trovato con l’altezza critica della sezione ottenibile attraverso la formula nota
La procedura è descritta negli appunti: dalla:

Si ricava

Variando h da 0 a 2 si costruiscono in successione i valori di Q. Si puo’ operare con una tabella , cosa particolarmente facile se la sezione, come in in questo caso, è rettangolare.
Q(h)

Per un canale avente sezione trapezio - λ = 0.03, larghezza di base B = 2 m -, inclinazione delle sponde 45°; pendenza i = 0.002, l'allievo determini la curva di deflusso Q(h) nell’ipotesi di moto uniforme. Tracci inoltre la curva delle altezze di stato critico in funzione di Q(k).


Q(k)

Per un canale avente sezione trapezio - λ = 0.03, larghezza di base B = 3 m -, inclinazione delle sponde 45°; pendenza i = 0.004,si tracci per punti la curva Q(k), di per k da 0.1 a 1 m.



Usare la formula degli appunti, tabellare con un po’ di trigonometria b(k) larghezza della sezione, ed il cubo della sezione. I valori della pendenza e di lamda sono inutili!


k

b(k)

Sez^3




0.100

2.200

0.009261




0.200

2.400

0.085183




0.300

2.600

0.328503




0.400

2.800

0.884716




0.500

3.000

1.953071




0.600

3.200

3.796294




0.700

3.400

6.751026




0.800

3.600

11.238978




0.900

3.800

17.778814




1.000

4.000

26.998749





Q(h)

Per un canale avente sezione rettangolare λ = 0.03, larghezza di base B = 3 m - pendenza i = 0.07, l'allievo determini la curva di deflusso Q(hu) nell’ipotesi di moto uniforme, nel caso generale e nell’ipotesi di “canale largo”: e successivamente, verifichi la validità di questa ipotesi


Q(h) Q(k)

Per un canale avente sezione rettangolare - λ = 0.03, larghezza di base B = 3 m - pendenza i = 0.07, l'allievo determini la curva di deflusso


Q(h)

L’ allievo calcoli e disegni la scala di deflusso per un canale rettangolare di larghezza B = 20m, pendenza i= 1.5 % e scabrezza  = 10 mm, assumendo moto turbolento sviluppato. Si assumano:


  1. condizioni di moto uniforme

  2. passo di calcolo h = 25 cm

Sono richiesti almeno sei punti di calcolo.

L’unica difficoltà addizionale è il fatto che qui non è data  ma . Si ricorra all’abaco di Moody, valutando ./(4Ri)




Ic(h)

Per il canale rappresentato in figura, in cui scorre la portata Q, l’allievo ricavi, al variare di h, i valori di pendenza che soddisfano la condizione di moto uniforme. Non è possibile assumere l’ipotesi di B>>h

a = 1.15 b = 2.25 Q = 4.  = 0.06



L’esercizio è un po’ atipico, ma è simile a quello descritto negli appunti per il calcolo di hu. Si costruisce una tabella e uan curva iu (h) , usando la solita formula del moto uniforme. Poi si trova il valore di iu corrispondente alla Q assegnata


Canali

Un canale a sezione rettangolare è realizzato con due tratti L1=300m in pietrame naturale, ed L2=1000 m in cemento. Nota la portata
(h)

Per un canale avente sezione rettangolare - larghezza di base B = 5 m - pendenza i = 0.002, portata Q, l'allievo determini l’andamento di h (tirante idrico) in moto uniforme al variare del coefficiente di resistenza . Inoltre definisca se e per quali valori di quest’ultimo nel canale si determina una corrente veloce e per quali una corrente lenta.

(Si assuma un valore λ iniziale pari a 0.002 ed un λ massimo pari a 0.007, minimo 6 punti)

Q = 10 mc/s mc/s

Si può assumere valida l’ipotesi di canale molto largo (B>>h)

Q, e la pendenza i= 0,05 l’allievo:



Canali

Un canale a sezione rettangolare è realizzato con due tratti molto lunghi, uno in pietrame naturale, ed uno cemento. Nota la portata Q, e la pendenza i= 0,05 l’allievo:
- determini l’altezza di moto uniforme e la pendenza critica per entrambi i tratti del canale

- definisca la condizione di moto nella sezione di variazione della scabrezza

- tracci qualitativamente l’andamento del profilo di corrente





Si assuma valida l’ipotesi di canale largo (B>>h)
B = 5m (larghezza del canale)

Q = 2 mc/s 1 = 0.06 ( pietrame) 2= 0.03 ( cemento)


Cambiamento pendenza
Un canale di sezione rettangolare, ( larghezza b= 3 , LAMBDA = 0.08 ) e interrotto da un cambiamento di pendenza; la i varia da i1 = 0.1 a i2 =0.15 . La portata d’acqua è : Q=0.2.

Tracciare qualitativamente il profilo Indicare la procedura di calcolo numerico per la determinazione del profilo di corrente. Indicare da quale punto o da quali punti si deve effettuare l’integrazione. Si assuma valida l’ipotesi di “canale largo”,


Il canale è largo, dunque Ri = b. Le formule si semplicano e si possono calcolare le pendenze di moto uniforme senza diagrammi o procedure complesse ì. Si calcolano dunque le altezze di moto uniforme a monte ed a valle; risulta hu1 = 0.035 e hu2 = 0.085. Si calcola poi l’altezza critica: k= 0,077. La pendenza è supercritica in entrambi i tratti (k è maggire di hu). è dunque un esempio del caso b) degli appunti “canali”.

L’integrazione va fatta verso valle da monte; con l’equazione:






(che bisogna conoscere: ricordare o ricostruire rapidamente) c’è da aspettarsi che l’altezza d’acqua passi gradualmente da hu1 ad hu2. In linea di principio si potrebbe partire (dare le condizioni iniziali hu2 ) da qualunque punto nel tratto di monte; però, scendendo con il calcolo dal tratto di monte dove la pendenza è i1, l’equazione si limiterebbe a fornire costantemente il valore hu1 del moto uniforme. Conviene dunque iniziare il calcolo dal punto in cui cambia la pendenza e scenderelungo il tratto 2; la corrente – ritardata - tenderà asintoticamente a hu2

Cambiamento pendenza
Un canale di sezione rettangolare, ( larghezza b= 4 , LAMBDA = 0.03 ) e interrotto da un cambiamento di pendenza; la i varia da i1 = 1/1000 a i2 =5/10000 . La portata d’acqua è : Q=1.

Indicare la procedura di calcolo numerico per la determinazione del profilo di corrente. Indicare da quale punto o da quali punti si deve effettuare l’integrazione; tracciare qualitativamente il profilo. Si assuma valida l’ipotesi di “canale largo”,


E’ un esempio del caso a) degli appunti canali; il canale è largo, dunque Ri = b. Le formule si semplicano e si possono calcolare le pendenze di moto uniforme senza diagrammi o procedure complesse. Risulta: hu1= 0,288014, hu2=0,362875. Si calcola poi l’altezza critica: k= 0,185383

La pendenza è subcritica in entrambi i tratti (k è minore di hu). L’integrazione va fatta verso monte da valle; c’è da aspettarsi che l’altezza d’acqua passi gradualmente da hu2 ad hu1. In linea di principio si puo’ partire (dare le condizioni iniziali h0 ) da qualunque punto nel tratto di valle; però, risalendo con il calcolo dal tratto di valle dove la pendenza è i2, l’equazione si limiterebbe a fornire costantemente il valore hu2 del moto uniforme. Conviene dunque iniziare il calcolo dal punto in cui cambia la pendenza e risalire lungo il tratto 1; la linea di corrente tenderà asintoticamente a hu1. La corrente è riatardata


Cambiamento pendenza e salto di bidone

Un canale di sezione rettangolare, ( larghezza B= 5 , LAMBDA = 0.03 ) e interrotto da un cambiamento di pendenza; la i varia da i1 = 1/1000 a i2 =5/10000 . La portata d’acqua è : Q=1

Tipo “d” degli appunti

c:\users\eugenio\desktop\epcinuse\www.eugeniopc.it\idrfluidodmateriale\cci00003.jpg

Esercizio svolto da studenti- Ben impostato , ma la frase “la dissipazione energetica va verso monte” è sbagliata e inutile



c:\users\eugenio\desktop\epcinuse\www.eugeniopc.it\idrfluidodmateriale\cci00004.jpg

Cambiamento pendenza

Tipo “a” degli appunti




c:\users\eugenio\appdata\local\temp\cci00001.jpg

Cambiamento pendenza
Esercizi del tipo: In un canale rettangolare canale rettangolare di larghezza B in cui scorre la portata Q, si verifica un cambiamento di pendenza da i1 a i2. L’allievo determini le altezze di moto uniforme molto a monte e molto a valle del cambiamento di pendenza, verifichi se si forma il salto di Bidone, ed eventualmente calcoli il valore della spinta totale nel punto di cambiamento di pendenza, indicando in quale dei due tratti esso si forma; tracci in maniera qualitativa il profilo di corrente ; specifichi se la corrente è accelerata o ritardata

B = 8.0 m Q = 3.0 mc/s Si assuma l’ipotesi B>>h, ed i seguenti valori dei parametri


i1 = 1/1000 - i2 = 5/100; λ= 0.04- Calcolare k, e le altezze di moto uniforme hu1 ed hu2 nei due tratti; si ha che hu1 < k < hu2 ; dunque è il caso c del testo

i1 = 1/1000 - i2 = 5/100 λ =0,08 è il caso c del testo

i1 = 3/1000 - i2 = 5/1000 - λ =0.016; si ha hu1 > hu2 > k; dunque è il caso a del testo

i1 = 3/1000 - i2 = 5/1000 - λ =0,08 ; si ha k

i1 = 3/100 - i2 = 3/1000 - λ=0,08; si ha k >hu1 e k < hu2; dunque è il caso d del testo; c’è il salto di Bidone. Si svolge come descritto nel testo  

i1 = 5/1000 - i2 = 2/100 - λ1= λ2=0,08

i1 = 3/100 - i2 = 1/1000 - λ1= λ2=0,08

i1 = 3/100 - i2 = 5/100 - - λ1= λ2=0,08

i1 = 3/1000 - i2 = 5/1000 - - λ1= λ2=0,08
Filtrazione
Risoluzione numerica equazione di Laplace

Ricostruire l’equazione numerica che approssima l’equazione del moto di filtrazione nella geometria indicata nella figura, per il punto 14

Si scriva inoltre l’equazione numerica che approssima la condizione di “portata entrante nulla” per il punto 1217

Si scriva inoltre l’equazione numerica che esprime la condizione quota piezometrica = 35 per il punto 5234.

Sia hA=35 m


Pozzo artesiano


  1. Costruire la curva caratteristica Q (portata)-Δ (abbassamento piezometrica) di un pozzo artesiano, con i seguenti dati: Diametro del pozzo: 90 cm; permeabilità (f=k= 0,01 cm/s); spessore della falda: 10 m; Raggio di incidenza R=500 m; livello indisturbato della quota piezometrica rispetto alla superficie inferiore della falda Ho=18 m; quota del piano di campagna rispetto ralla superficie inferiore della falda l = 25m. Il fluido è acqua, con viscosità cinematica ν = 10^-6 m2/s . Riportare almeno cinque punti. Verificare il massimo valore di Δ oltre il quale non sono più ammissibili le ipotesi di pozzo artesiano.

  2. Costruire la stessa curva per un petrolio con ρ = 800 , ν = 4*10-6 m2/s



Darcy

In una esperienza alla Darcy su una tubazione circolare con D=1m, piena per un tratto A-B di lunghezza L= 2 m di limo con K = 10-8 metri/secondo, la lettura dei due piezometri è rispettivamente:

in A , h= 15m + (0,1 ultima cifra del numero di matricola) mentre in B, h= 5m - (0,1 ultima cifra del numero di matricola). L’allievo determini la portata Q.
Pozzo artesiano
In una falda artesiana di spessore b=30 m, da un pozzo di diametro D= 0,3 m, si estraggono 200 l/s di acqua (si assuma ν= 10-6 e conduttività idraulica K = 10-2 cm/s) con un abbassamento corrispondente della falda =40cm. , SI determini il raggio di influenza R)

In un pozzo in falda anch’essa artesiana, in situazioni del tutto identiche per dimensioni, raggio di influenza e granulometria, si estrae la stessa portata Q= 200 l/s di un petrolio con viscosità cinematica ν= 5 * 10-6 . Qual è l’abbassamento di falda in questo caso?





b = 10m + (0.05 * prima lettera nome) = m

R = 100m + (1.3 * prima lettera nome) = m

D = 1m + (0.02 * prima lettera nome) = m

H = 15m + (0.1 * prima lettera nome) = m




Q (mc/s) 0,00592641  (m) 1,00

0,01185282 2,00

0,01777923 3,00

0,02370564 4,00




Spinte idrodinamiche




graficobatchelorrp261

diagramma alti Reynolds diagramma bassi Reynolds



Cx

Un disco circolare dal diametro D = 3m è posizionato verticalmente in un flusso di vento avente velocità V = 100km/h. L’allievo sfruttando il diagramma Cx/Re allegato, determini la spinta esercitata al vento sul disco.

con A= Sezione esposta; a = raggio;

Cx

Calcolare la velocità terminale di caduta in olio di granelli di sabbia (forma sferica, ρ =2200 Kg/mc), per i seguenti diametri: D = 50 micrometri e D= 100 micrometri (un micrometro = 10-6 metri).

Si assuma per l’olio ρ =800 Kg/mc e ν = 8 * 10-5m2/s. Si può usare il diagramma bassi Reynolds

Se si ritiene invece di usare la formula per bassi Reynolds, se ne verifichi la correttezza a posteriori.



La verifica consiste semplicemente nel controllare che il Reynolds calcolato con la velocità trovata sia abbastanza basso. (al massimo dell’ordine di qualche unità)

Eguagliare il peso D/2)3 alla resistenza idrodinamica aria CxD/2)2 V2 =1,2

IN TUTTI GLI ESERCIZI IN CUI SI CHIEDE LA VELOCITA’ DI CADUTA BISOGNA RICORDARSI CHE LA FORZA DI ARCHIMEDE. E’ TRASCURABILE SOLO SE IL PESO SPECIFICO DELLA PARTICELLA E’ MOLTO PIU’ PICCOLO DI QUELLO DEL FLUIDO.

SE INVECE SI CERCA LA VELOCITA’ DI RISALITA BISOGNA SEMPRE TENER CONTO DELLA FORZA DI ARCHIMEDE.



SE IL CORPO HA UNA STRUTTURA COMPLESSA (AD ES UN AEROSTATO), NON SI DEVE RAGIONARE CON LA DENSITA’

DEL CORPO (CHE NON E’ OMOGENEA); MA COL PESO
Cx

Calcolare la velocità terminale di risalita in acqua di bolle d’aria sferiche con ρ =2.6 Kg/mc, per i seguenti diametri: D = 0.1 mm, D = 10 micrometri; D = 50 micrometri (un micrometro = 10^-6 metri). Si assuma che la viscosità cinematica dell’acqua sia ν= 10^-6 m2/s.



Si puo’ usare il diagramma bassi Reynolda allegato e verificarne a posteriori l’applicabilità

Per Reynolds Molto bassi, si può invece usare la formula Cx = 24/ Re-

Ricavare Cx da: Cx= 24/Re, con Re= V D/ ν


Cx

  1. Calcolare la velocità terminale di caduta in olio di granelli di sabbia (forma sferica, ρ =2200 Kg/mc), per i seguenti diametri: D = 50 micrometri e D= 100 micrometri (un micrometro = 10^-6 metri). Si assuma per l’olio ρ =800 Kg/mc e ν= 5^10-6m2/s. Si può usare il diagramma allegato o, alternativamente utilizzare la formula per bassi valori del numero di Reynolds.

  2. (Facoltativo) verificare a posteriori l’accettabilità della formula per bassi valori del numero di Reynolds rispetto al diagramma


Cx

Si calcoli la velocità limite di caduta di una goccia d’acqua sferica del diametro d= 0,001 mm in aria; di un granello di sabbia sferico del diametro d=0,0015 mm in acqua.


Si assumano i seguenti valori per la densità:

acqua=1000 Kg / m3

aria=1,2 Kg / m3

sabbia=2200 Kg / m3

e i seguenti valori per la viscosità cinematica:

aria = 1.4*10-5 m2/s

acqua = 10-6 m2/s
Si può assumere la seguente formula: Cd= 24/Re.

(facoltativo: si rifaccia l’esercizio usando il diagramma Cx(Re), e si paragoni il risultato con quello ottenuto attraverso la formula).



Cx
Si calcoli la velocità limite di caduta di una goccia d’acqua sferica del diametro d= 0,01 mm in aria; di un granello di sabbia sferico del diametro d=0,15 mm in acqua.
Si assumano i seguenti valori per la densità:

acqua=1000 Kg / m3

aria=1,2 Kg / m3

sabbia=2200 Kg / m3

e i seguenti valori per la viscosità cinematica

aria = 10-5 m2/s

acqua = 10-6 m2/s
Si può assumere la seguente formula: Cd= 24/Re.

(facoltativo: si rifaccia l’esercizio usando il diagramma Cx(Re), e si paragoni il risultato con quello ottenuto attraverso la formula).




Cx

Calcolare la velocità terminale di caduta in aria di granelli di sabbia (forma sferica, densità =2200 Kg /mc), per i seguenti diametri: D = 10 micrometri e D= 50 micrometri (un micrometro = 10-6 metri).

Si assuma che la viscosità cinematica sia ν= 10-5m2/s. Si può usare il diagramma bassi Reynolds allegato o la formula per bassi Reynolds.
Tutti questi ultimi esercizi sono sostanzialmente eguali. Quando si usa la procedura di iterazione non ci si può aspettare troppa precisione.

Ricordare la formula per bassi Reynolds: Cd=24/Re.

Cx

Calcolare la velocità terminale di salita in olio di bolle d’aria sferiche per i seguenti diametri: D = 50 micrometri e D= 100 micrometri (un micrometro = 10^-6 metri). Si assuma per l’olio ρ =800 Kg/ m3 e ν= 5*10-6 m2/s. Si può usare il diagramma Cx/Re o, alternativamente utilizzare la formula per bassi valori del numero di Reynolds. 2), (Facoltativo) In questo secondo caso verificare a posteriori l’accettabilità della formula per bassi valori del numero di Reynolds rispetto al diagramma


Anche questo esercizio è eguale ai precedenti, con la differenza che bisogna considerare la forza di Archimede (verso l'alto!) anzicchè il peso (che c'è, ma è trascurabile). Per orizzontarsi con i segni, conviene riscrivere l’equazione del moto : comunque sia l’orientazione dgli assi , la resistenza deve opporsi al moto
Cx
Un cavo metallico di massa trascurabile collega al terreno un sfera piena (D=300mm, = 150 kg/m3). Una corrente di aria investe la sfera dal basso verso l’alto con velocità V=70 m/s, sollevandola fino ad un’altezza H=10 m. L’allievo

determini la tensione a cui è sottoposto il cavo metallico. Usare il diagramma per alti Reynolds allegato





Calcolare la resistenza con la formula consueta, al differenza tra resistenza e peso è la trazione sul cavo. L'informazione H=10 è inutile ai fini del calcolo.

Cx



Lungo un’asta rigida AB, libera di ruotare intorno alla cerniera C, sono posizionati da un lato (tratto AC a distanza L1 da C) una che esplica una spinta F verso il basso, dall’altro (estremo B, tratto CB), mediante un cavo rigido di massa trascurabile un disco in plastica (D), di massa anch’essa trascurabile. L’allievo:

determini la velocità della corrente d’aria che investe il disco dall’alto verso il basso affinché il sistema rimanga in equilibrio;

riporti sul grafico Alti Reynolds vedi sopra il procedimento impiegato per la determinazione di Cx..
F= 20 N; D= .3m
Cx

Calcolare la velocità terminale di caduta in aria di granelli di sabbia (forma sferica,  =2200 Kgpeso/mc), per i seguenti diametri: D = 10 micrometri e D= 50 micrometri (un micrometro = 10-6 metri).

Si assuma che la viscosità cinematica sia ν= 10-5m2/s. Si può usare il diagramma bassi Reynolds allegato, oppure la formula valida per la resistenza nel moto viscoso.


Cx
Un cubo di calcare (ρ=2200) di lato l = 1 poggia sul fondo del mare su un letto di sabbia. Il Coefficiente d’attrito di primo distacco sabbia/cubo è f=0.1; il Cx è : 0.86. Calcolare la velocità della corrente Vo necessaria perché il cubo cominci a muoversi

Vo

La forza di attrito Ff è data dal (peso – la Forza di archimede ! )f. Si scrive poi la formula per la forza idrodinamica, e la si eguaglia a Ff


Teoria
L'allievo riporti l’equazione differenziale dell’equilibrio idrodinamico per fluidi reali con una breve descrizione dei termini che la compongono.

L’allievo descriva il regime di movimento di un fluido che investe un pilone circolare di un ponte.

L'allievo illustri i concetti di corrente lenta e veloce e di alveo a debole e forte pendenza.

L’allievo descriva brevemente il significato del coefficiente Cx utilizzato nell’equazione della resistenza aerodinamica

L’allievo descriva, brevemente, le condizioni di moto per un fluido in pressione all’interno di una tubazione scabra.

L’allievo descriva l’equazione della continuità per il moto di filtrazione e come viene definita la velocità.

L’allievo tracci qualitativamente il diagramma degli sforzi laminari e turbolenti in una tubazione.

Quando avviene il salto di Bidone (risalto idraulico) in un canale in moto permanente? E quando si verifica invece lo stato critico?

L’allievo descriva come si passa dall’equazione del moto non uniforme nei canali al suo schema risolutivo numerico

L’allievo descriva come si ricava l’equazione globale dell’idrodinamica a partire da quella indefinita. Non è necessario riportare i passaggi analitici: occorre però indicare la forma di partenza, quella finale e le corrispondenze tra i termini.

L’allievo illustri e disegni l’andamento degli sforzi tangenziali per un fluido in moto uniforme in regime turbolento all’interno di una tubazione.



Il movimento dell’acqua attorno alla pila di un ponte avviene in regime laminare o turbolento? E come facciamo ad accorgercene?

Come si trasforma l’equazione globale dell’equilibrio idrodinamico in regime turbolento?

L’Allievo illustri i concetti di “moto permanente” e “moto uniforme”.

Chiarisca se è possibile che una particella di fluido in condizioni di moto permanente possa subire un’accelerazione

L’allievo tracci qualitativamente il diagramma degli sforzi e quello della velocità in una tubazione in cui sia presente un fluido in moto laminare.

L'allievo illustri il significato dei due termini relativi all'accelerazione "locale" e "convettiva".

L'allievo illustri il significato dei coefficienti di ragguaglio a dell’equazione generalizzata di Bernoulli e b dell’equazione globale.

L'allievo illustri l’estensione del teorema di Bernoulli ad una corrente.

L’allievo illustri brevemente come si definisce la velocità nel moto di filtrazione e qual è la legge del moto in tale situazione.

I chicchi di una grandinata di diverse dimensioni cadono con la stessa velocità o con velocità diverse? E perché?

L’allievo illustri brevemente il concetto di “tubo liscio” e come viene rappresentato il suo comportamento nell’abaco di Moody.

L’allievo descriva come si ricavano le equazioni del moto di filtrazione.

L’allievo descriva come costruisce lo schema numerico per la risoluzione delle equazioni del moto di filtrazione

Una particella di fluido in condizioni di moto permanente può subire un’accelerazione?

Come è legato lo sforzo che agisce sulla superficie di normale n con i coseni direttori della direzione n stessa? Quando si verifica che lo sforzo è normale alla superficie su cui agisce?

L'allievo descriva i profili di corrente che possono verificarsi in un alveo a debole e forte pendenza

L’allievo illustri il significato ed un’applicazione del concetto di viscosità turbolenta.

L'allievo riporti l’equazione differenziale dell’equilibrio idrodinamico in assenza di forze viscose (per fluidi perfetti) con una breve descrizione dei termini che la compongono.




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