Beleška o piscu

da  se  prave  na  osnovu  jednog  određenog  primera,  pri  čemu  se  upo­
trebljavaju  neke  njegove  odlike  dok  se  druge  ostavljaju  neiskoriš- 
ćene,  te  da  možemo  biti  sigurni  da  će  zapažanja  važiti  za  sve  poje­
dinačne  slučajeve  koji  poseduju  te  kritične  odlike  bez  obzira  da  li 
imaju  i  ostale.  Na  primer,  ako  utvrdimo  da  je  zbir  uglova  jednog 
određenog  trougla  jednak  zbiru  dva  prava,  možemo  sa  poverenjem 
smatrati  da  to  otkriće  važi  za  sve  druge  trouglove  zato  što  naš  dokaz 
ne  mora  uopšte  da  ukazuje  na  veličinu  uglova.  Berkli  se  ovde 
koristi  sredstvom  za  nuždu  koje  nalazimo  još  u  Aristotelovom  trak­
tatu  o  pamćenju  i  sećanju.  Aristotel  kaže  tamo  o  geometrijskim 
demonstracijama  da  »iako  se  u  svrhu  dokaza  uopšte  ne  koristimo 
činjenicom  što  je  kvantitet  u  trouglu  određen,  mi  mu  ipak  u  crtežu 
dajemo  određen  kvalitet.«  Slično  se  događa  kada  se  intelekat  bavi 
nečim  što  nije  kvantitativno:  »On  ga  predočava  kao  kvantitativno 
iako  ga  pri  razmišljanju  apstrahuje  od  kvantiteta.«
Možemo  ovaj  opšti  pojam  trougla  da  zamenimo  njegovim  struk­
turalnim  tipom,  pa  opet  da  budemo  nezadovoljni  njegovim  statičnim 
karakterom.  Za  istinsko  razumevanje  potrebno  je  nešto  bolje.  Ako 
Euklidovu  trideset  drugu  teoremu  demonstriram  na  taj  način  što  ću 
da  povučem  paralelu  sa  jednom  stranom  nekog  trougla  (si.  149a)  i 
što  ću  da  pokažem  da  ekvivalenat  ta  tri  ugla  kao  zbir  daje  polo­
vinu  kruga,  mogu  da  istaknem,  zajedno  sa  Berklijem,  da  veličinu 
uglova  ne  treba  uzimati  u  obzir,  te  da  time  dokažem  da  ova  teorema 
važi  za  svaki  trougao.  Dokazivanje  tačnosti  jedne  teoreme  ima  prak­
tičnu  vrednost;  ali,  za  mišljenje  je  važno  da  opseg  teoreme  postane 
očigledan.  Slika  koju  sam  upotrebio  pokazuje  da  tri  ugla  kao  zbir 
daju  180°  u  ovom  slučaju.  Ali,  da  bi  se  odista  razumelo  da  je  to 
tako  u  svim  trouglovima  i  zbog  čega  je  tako,  moram  da  preko  ove 
određene  slike  pređem  na  celokupnu  oblast  trouglova.  Ako  dve 
strane  trouglova  zamislim  kao  krakove  neograničene  dužine  koji 
mogu  da  se  okreću  u  tački  osovine,  nezavisno  preko  čitave  polovine 
kruga  (si.  149b),  videću  da  će  oni,  bez  obzira  na  svoje  položaje,  obra­
zovati  tri  odseka  koji  kao  zbir  daju  istu  polukružnu  celinu.  Kada 
se  jedan  ugao  povećava,  njegov  sused  se  automatski  u  odgovarajućoj 
meri  smanjuje.  Na  taj  način,  ne  zanemarujemo  veličinu  uglova  — 
kako  to  od  nas  traži  Berkli,  po  cenu  da  gubimo  vizuelno  poimanje 
situacije  —  nego  je  opažamo  u  čitavom  njenom  opsegu.  Statičan 
pojam  zamenili  smo  dinamičnim.  Teorema  nije  samo  zamišljena  kao 
opšta,  nego  se  sada  kao  opšta  i  opaža.
Drugi  jedan  primer  ove  vrste  daje  Žan  Viktor  Ponsle  (Jean 
Victor  Poncelet)  u  svojoj  raspravi  o  projektivnim  svojstvima  geomet­
rijskih  slika.  Neko  dokazuje  da  su  dva  trougla  geometrijski  slična
149

---

kada  se  tri  para  odgovarajućih  strana  ukrštaju  pod  pravim  uglom 
(si.  150a).  Ovaj  dokaz  može  da  se  uopšti  kako  bi  pokazao  da  uglovi 
na  mestima  ukrštanja  ne  moraju  da  budu  90°;  oni  mogu  da  budu 
bilo  koje  veličine,  samo  moraju  da  su  jednaki.  Možemo  to  sebi  da 
predočimo,  kaže  Ponsle,  ako  jedan  od  trouglova  obrćemo.  Ugao  na 
sva  tri  mesta  ukrštanja  menjaće  se  istom  merom.  U  stvari,  sada 
shvatamo  da  ako  teoremu  okrenemo  i  počnemo  sa  dva  slična  trougla 
u  istom  položaju  (si.  150b),  lako  ćemo  sebi  da  predstavimo  kako  se 
ta  tri  para  strana  uvek  seku  pod  istim  uglovima  za  vreme  dok  tro- 
uglovi  menjaju  svoj  položaj  jedan  prema  drugom.
Uobičajene  ilustracije  po  udžbenicima  i  na  školskoj  tabli  omo­
gućuju  nam  doduše  da  ovaj  problem  učinimo  vidljivim,  ali  ga  one 
isto  tako  okamenjuju  u  jednoj  fazi  od  bezbroj  mogućnih  na  koje  se 
teorema  u  stvarnosti  odnosi.  Stoga,  one  navode  učenika  da  slučajne 
okolnosti  pogrešno  prihvati  kao  suštinske.  Rešenje  nije  u  tome  da 
se  ilustracije  izostave,  nego  da  se,  recimo  pomoću  filmske  animacije, 
načine  pokretni  modeli,  ili  bar  da  se  nepokretne  ilustracije  tako  cr­
taju  da  učenik  shvati  koje  su  njihove  dimenzije  varijabilne.
Kada  se  radi  o  definiciji  ili  klasifikaciji,  možda  je  dovoljno  da 
se  jedan  pojam  svede  na  najmanji  broj  odlika  potrebnih  da  se  odredi 
kom  rodu  on  pripada  i  po  kom  obeležju  može  da  se  razlikuje  od 
drugih  članova  u  grupi.  Ali,  ako  pojmovi  treba  da  se  upotrebe  za 
produktivno  mišljenje,  onda  treba  da  se  predstavi  pun  opseg  njiho­
vog  sadržaja.  U  nastavi,  ovaj  drugi  pristup  zaslužuje  prevashodnu 
pažnju  zato  što  je  za  učenike  mnogo  važnije  da  se  vežbaju  u  pro­
duktivnom  mišljenju  nego  da  poseduju  sposobnost  za  obavljanje  logič­
kih  operacija.
150

---