Beleška o piscu

istorija  o  presecima  kupe  pruža  nam  rečit  primer.  Kazni  oblici  koje 
danas  možemo  da  smatramo  za  članove  jedne  geometrijske  porodice 
prvobitno  nisu  pokazivali  takvo  sredstvo.  Zbog  svoje  velike  jedno­
stavnosti  i  samostalne  strukture,  krug,  elipsa,  parabola  itd.,  smatrani 
su  kao  nezavisni  entiteti  koji  podležu  sasvim  drukčijim  načelima 
konstrukcije.  Vilijem  M.  Ajvinz  (William  Ivins),  u  vrlo  živo  pisanoj 
iako  svojeglavoj  knjizi,  oštro  je  zamerio  starim  Grcima  što  su  tako 
postupili.  Pretpostavljajući  da  su  stari  Grci  po  duhu  bili  taktilno  a 
ne  vizuelno  usmereni,  on  je  njihov  geometrijski  postupak  smatrao  za 
manu,  umesto  da  shvati  da  je  istraživanje  osnovnih  oblika  pozitivan 
i  nužan  prvi  korak,  bez  koga  je  dalji  napredak  nemoguć.  Rano  opa­
žanje  jasno  određenih,  jednostavnih  oblika  isto  je  tako  potpuno  vizu­
elno  kao  i  poznije  gledište,  po  kome  se  oni  stapaju  jedan  u  drugi 
kao  faze  jednog  jedinstvenog  niza.
Ako,  s  druge  strane,  presecamo  kupu  tako  da  preseci  budu 
paralelni  ili  da  postepeno  men ja Ju  orijentaciju,  onda  ćemo  možda 
jedva  da  zapazimo  vrhunce  kruga,  elipse  itd.  kada  prolazimo  kroz 
njih.  Glatki  prelazi  prikrivaju  kvalitativne  promene.  Pretpostavimo 
da  presečena  ravan  prilazi  kupi  paralelno  sa  osovinom  kupe:  ovde 
presek  daje  najpre  jednu  hiperboličnu  krivu  koja  raste  i  postepeno 
biva  sve  šiljastija  dok  se  ne  preobrazi  u  dve  prave  linije  koje  se 
seku  u  vrhu  kupe.  Hiperbola  i  ovaj  ugao,  iako  su  deo  jednog  nepre­
kidnog  redosleda,  kvalitativno  se  razlikuju.  Slično  tome,  ako  presečna 
ravan  leži  vodoravno  i  spušta  se  odozgo  na  kupu,  preseci  će  početi 
tačkom,  koja  se  širi  u  krug,  koji,  opet,  sve  više  raste  ne  menjajući 
oblik.  Situacija  je  drukčija  ako  ravan  promeni  ugao  i  nagne  se.  Sada 
kružni  presek  počinje  da  se  širi,  postaje  elipsa,  koja  se  sve  više 
izdužuje,  dok  se  ne  otvori  na  jednoj  strani  da  bi  se  pojavila  kao 
parabola  čim  presečna  ravan  bude  paralelna  sa  jednom  konturom 
kupe.  I  ovde  su,  opet,  krug,  elipsa  i  parabola  samo  faze  jednog  ne­
prekidnog  redosleda,  i  pri  tom  samostalne,  kvalitativno  drukčije 
forme.
Pošto  su  ove  geometrijske  slike  najpre  bile  tretirane  kao  odvo­
jeni,  statični  pojmovi,  one  su  morale  da  se  restrukturišu  da  bi  se 
pojavile  kao  vidovi  jednog  jedinstvenog  dinamičnog  pojma.  To  opa- 
žajno  restrukturisanje,  obavljeno  nasuprot  prvobitnim  podacima,  dalo 
je  elipsu  kao  deformisan  krug,  a  pravu  liniju  kao  granični  slučaj 
parabole.  Ovo  otkriće  poslužilo  je,  kako  se  Ponsle  izrazio,  »da  se  pro­
šire  ideje,  da  se  neprekidnim  lancem  povežu  istine  koje  su  na  izgled 
bile  međusobno  udaljene  i  da  se  omogući  da  se  jednom  jedinstvenom 
teoremom  obuhvati  mnoštvo  pojedinačnih  istina.«
Priča  o  presecima  kupe  pokazuje  koliko  je  obrazovanje  pojmova 
blisko  povezano  sa  opažanjem  strukturalne  jednostavnosti.  Ponsle, 
matematičar  devetnaestog  veka,  sagledao  je  razliku  između  oblika 
koji  su  strukturalno  jasno  određeni  i  onih  koji  to  nisu.  U  pomenutoj 
raspravi  o  projektivnim  svojstvima  figura,  on  jasne  oblike  naziva 
»posebnim  stanjima«  za  razliku  od  »opštih  ili  neodređenih  stanja«. 
Jedina  teškoća,  kaže  on,  sastoji  se  očigledno  u  tome  da  se  razjasni 
šta  se  podrazumeva  pod  tim  nazivima.  »U  svakom  pojedinačnom  slu­
čaju,  razlučivanje  je  lako:  na  primer,  prava  linija  koja  se  sa  drugom 
seče  u  ravni  nalazi  se  u  opštem  stanju,  za  razliku  od  slučaja  u  kome 
obe  linije  stoje  okomito  jedna  prema  drugoj  ili  paralelno  teku.« 
Svojim  jezikom  i  za  svoje  svrhe  možemo  da  zaključimo  da  statični
153

---

pojam  nastaje  kada  se  strukturalno  jednostavni  sklopovi  izdvajaju 
iz  kontinuuma  preobražaja,  a  da  dinamični  pojmovi,  kada  hoće  da 
obuhvate  čitavu  oblast  kontinuuma,  često  moraju  da  savladaju  kon­
zervativnu  moć  jednostavnih  oblika.
0   UOPŠTAVANJU
Otkriće  teorije  o  presecima  kupe  lep  je  primer  uopštavanja  u 
produktivnom  mišljenju.  Dosad  je  uopštavanje  slabo  prolazilo  u  ono­
me  što  sam  govorio  o  obrazovanju  pojmova.  Pokazao  sam  da  se  ne 
može  reći  da  primarna  apstrakcija  pretpostavlja  čin  uopštavanja. 
Naprotiv,  opažaji  su  opštosti  od  samog  početka,  a  mišljenje  se  istan- 
čava  postepenim  diferentovanjem  tih  ranih  opažajnih  pojmova.  Me­
đutim,  sada  je  vreme  da  se  ukaže  na  to  da  je  mišljenju  isto  toliko 
potrebna  obrnuta  radnja.  U  aktivneme  mišljenju,  naročito  kod  umet- 
nika  ili  naučnika,  mudrost  stalno  napreduje  krećući  se  od  pojedinač­
ni j eg  ka  opštijem.
Do  takvog  uopštavanja  dolazilo  je  u  Keplerovom,  Desargovom
1  Ponsleovom  matematičkom  razmišljanju  dok  su  razrađivali  teoriju 
o  presecima  kupe.  Oni  su  otkrili  da  čitava  grupa  posebnih  geometrij­
skih  oblika  može  da  se  podvede  pod  zajednički  imenitelj.  Ali,  kako 
su  oni  pri  tom  postupali?  Da  li  su  se  poslužili  indukcijom?  Da  li  su 
tražili  zajedničke  crte  kod  kruga,  elipse,  hiperbole;  i,  da  li  se  novi, 
opštiji  pojam  sastojao  od  tih  zajedničkih  crta?
Ne,  dogodilo  se  nešto  sasvim  drukčije.  Te  osnovne  geometrijske 
slike  još  od  drevnih  vremena  služe  na  zadovoljavajući  način  kao 
samostalne  jedinice.  Sada  se  jedna  nova  opažajna  jedinica,  kupa  sa 
svojim  presecima,  ponudila  kao  nova  celina  u  koju  dotad  nepovezane 
slike  mogu  da  se  uklope  kao  delovi.  Jedno  novo  razumevanje  za 
strukturalnu  prirodu  tih  geometrijskih  slika  dobiveno  je  iz  odnosa 
koje  su  imale  prema,  kako  se  sad  otkrilo,  svojim  susedima  u  nepre­
kidnom  nizu  oblika,  kao  i  iz  njihovog  položaja  u  celokupnom  opa- 
žajnom  sistemu  kupe.  Uopštavanje  se,  dakle,  sastojalo  u  restrukturi- 
sanju  proizašlom  iz  otkrića  jedne  obuhvatnije  celine.
Ti  strukturalni  procesi  nisu  uvek  tako  dramatični.  Oni  su  često 
baš  postepeni.  U  ljudskom  mišljenju,  svaki  pojam  je  privremen,  i  na 
taj  način  se  razvija.  Ovo  može  da  se,  recimo,  vidi  po  tome  kako  se 
nečije  mišljenje  o  nekom  drugom,  ili  psihološka  teorija  o  tipu  lič­
nosti,  menja  na  osnovu  novih  podataka.  Petar  je  stekao  neku  pred­
stavu  o  tome  kakav  je  Pavle  čovek.  To  ubeđenje  ne  potvrđuje  se 
automatski,  niti  se  menja  prosto  time  koliko  puta  je  Petar  imao  pri­
like  da  posmatra  Pavla.  Izvesne  situacije,  međutim,  poslužiće  kao 
provera  koja  će  ili  da  potvrdi  pojam  u  njegovom  sadašnjem  obliku 
ili  će  zahtevati  promenu.  Ponekad  predstava  usled  toga  biva  bogatija, 
ili  se,  pak,  ispostavi  da  su  neke  odlike  prosto  obmane.  Novi  podaci 
mogu  da  utiču  na  celokupnu  strukturu  pojma  na  taj  način  što  raz- 
meštaju  akcente,  otkrivaju  kao  bitno  ono  što  je  bilo  slučajno,  ili, 
pak,  menjaju  izvesne  odnose  snaga.  Događa  se,  takođe,  da  se  neki 
prvobitno  jedinstven  pojam  čepa  na  dva  ili  tri.
Uopštavanje  nije  stvar  prikupljanja  jednog  beskonačnog,  ili 
velikog,  ili  potpunog  ili  proizvoljnog  broja  slučajeva.  Naprotiv,  mis­
lilac  —  naučnik,  umetnik,  običan  čovek  —  pristupa  zadatku  sa  već
154

---