Bevis for Pythagoras sætning 1
Yüklə 13,33 Kb.
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- Det ønskede er hermed vist… Bevis for Pythagoras sætning 2
- Det ønskede er hermed vist… Bevis for Pythagoras sætning 3
- Det ønskede er hermed vist…
|
Bevis for Pythagoras sætning 1 Af hensyn til beviset, er den retvinklede trekant gjort til en del af en kvadratisk figur, som vist herunder: 
Beskriver først kvadratets areal vha. kantlængderne. Hver kant har længden (a + b)… 
AKVADRAT= (a + b) ∙ (a + b) = a2 +b2 +2ab Beskriver dernæst kvadratets areal vha. det indre kvadrat og de fire retvinkelde trekanter:
AKVADRAT= c2 + 4∙(½∙a∙b) = c2 + 2ab Da der er tale om samme kvadrat i begge beregninger af arealet, gælder det, at… a2 +b2 +2ab = c2 + 2ab a2 +b2 = c2 Det ønskede er hermed vist… Bevis for Pythagoras sætning 2 Konstruerer et kvadrat med sidelængden (a+b). I kvadratet konstrueres fire kongruente retvinklede trekanter med kateterne a og b samt hypotenuser c. En del af kvadratet dækkes ikke af trekanterne. Dette areal er kvadratisk og med kantlængden c. Areal af dette område er: 
A = c∙c = c2 Igen konstrueres et kvadrat, hvori der konstrueres fire kongruente retvinklede trekanter med kateterne a og b samt hypotenuser c, men denne gang placeres de anerledes:
Denne gang udgøres det overskydende areal ikke af ét Kvadrat, men af to kvadrater. Kvadraterne har henholdsvis sidelængden a og Sidelængden b.
Da ”det overskydende areal” i de to konstruktioner har Samme areal, gælder det, at:
A = ½ ∙ h ∙(a+b) h er højden mellem de to parallelle sider a og b er længderne på de parallelle sider Påbegynder beviset ved at konstruere et trapez vha. to kongruente retvinklede trekanter: 
Beskriver trapez-arealet vha. de ydre mål… A = ½ ∙ (a+b) ∙(a+b) = ½a2 + ½b2 + ab Beskriver trapez-arealet som summen af det halve kvadrats areal og de retvinklede trekanters areal. A = 2 ∙ (½ ∙ a ∙ b) + ½ ∙ c2 = ½ ∙ c2 + ab Det samme areal er nu beskrevet ved to udtryk. De to udtryk kan derfor sættes lig hinanden: ½a2 + ½b2 + ab = ½c2 + ab ½a2 + ½b2 = ½c2 a2 + b2 = c2 Det ønskede er hermed vist… Yüklə 13,33 Kb. Dostları ilə paylaş:
|
