Bevis for Pythagoras sætning 1



Yüklə 13.33 Kb.
tarix30.04.2018
ölçüsü13.33 Kb.

Bevis for Pythagoras sætning 1
Af hensyn til beviset, er den retvinklede trekant gjort til en del af en kvadratisk figur, som vist herunder:

Beskriver først kvadratets areal vha. kantlængderne. Hver kant har længden (a + b)…




AKVADRAT= (a + b) ∙ (a + b) = a2 +b2 +2ab

Beskriver dernæst kvadratets areal vha. det indre kvadrat og de fire retvinkelde trekanter:


AKVADRAT= c2 + 4∙(½∙a∙b) = c2 + 2ab


Da der er tale om samme kvadrat i begge beregninger af arealet, gælder det, at…


a2 +b2 +2ab = c2 + 2ab
a2 +b2 = c2
Det ønskede er hermed vist…

Bevis for Pythagoras sætning 2
Konstruerer et kvadrat med sidelængden (a+b). I kvadratet konstrueres fire kongruente retvinklede trekanter med kateterne a og b samt hypotenuser c.
En del af kvadratet dækkes ikke af trekanterne. Dette areal er kvadratisk og med kantlængden c. Areal af dette område er:


A = c∙c = c2

Igen konstrueres et kvadrat, hvori der konstrueres fire kongruente retvinklede trekanter med kateterne a og b samt hypotenuser c, men denne gang placeres de anerledes:


Denne gang udgøres det overskydende areal ikke af ét

Kvadrat, men af to kvadrater.

Kvadraterne har henholdsvis sidelængden a og

Sidelængden b.
Det samlede areal af det overskydende område er da:
A = a∙a + b∙b = a2 + b2

Da ”det overskydende areal” i de to konstruktioner har

Samme areal, gælder det, at:
a2 + b2 = c2
Det ønskede er hermed vist…

Bevis for Pythagoras sætning 3
Husker formlen til beregning af et trapez’ areal…


A = ½ ∙ h ∙(a+b) h er højden mellem de to parallelle sider

a og b er længderne på de parallelle sider

Påbegynder beviset ved at konstruere et trapez vha. to kongruente retvinklede trekanter:



Beskriver trapez-arealet vha. de ydre mål…


A = ½ ∙ (a+b) ∙(a+b) = ½a2 + ½b2 + ab
Beskriver trapez-arealet som summen af det halve kvadrats areal og de retvinklede trekanters areal.
A = 2 ∙ (½ ∙ a ∙ b) + ½ ∙ c2 = ½ ∙ c2 + ab
Det samme areal er nu beskrevet ved to udtryk. De to udtryk kan derfor sættes lig hinanden:
½a2 + ½b2 + ab = ½c2 + ab
½a2 + ½b2 = ½c2
a2 + b2 = c2
Det ønskede er hermed vist…


Dostları ilə paylaş:


Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2017
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə