BøK310 Bedriftsøkonomi a Kapittel Renteregning

BØK310 Bedriftsøkonomi 2a

• Kapittel 6

• Renteregning

Verdivurdering over tid

• Kontantstrømmer angir inn- og utbetalinger over tid. Tidsdimensjonen er derfor viktig.

• Selv uten prisendringer kan vi ikke direkte sammenligne beløp fra forskjellige perioder.

• Menneskers preferanser (utålmodighet) og muligheter (f.eks. så korn og høste avling) gjør at vi foretrekker en krone i dag fremfor senere. Denne effekten kaller vi rente.

Rente

• Rentebegrepet inneholder flere elementer:

• Tidskostnad (utålmodighet og muligheter)
• Inflasjon (prisstigning) eller deflasjon (reduksjon)
• Usikkerhet (alternativkostnad for usikre prosjekt)

• Prosjektanalysen må ta hensyn til tidsdimensjonen ved å inkludere både tidskostnad og inflasjon.

• Renteregning gjør om verdier fra en periode til en annen (f.eks. til nåverdi eller sluttverdi).

Bankinnskudd

• Renten som finansinstitusjoner tilbyr er nominell rente.

• Denne nominelle renten dekker redusert kjøpekraft på grunn av prisstigning.

• Den er også en kompensasjon for at banken har fått låne pengene (utålmodighetsdelen).

• Den delen utover det som dekker prisstigningen er realrenten (tidskompensasjonen).

Sluttverdi

• Sluttverdien beregner verdien på et framtidig tidspunkt av et beløp i dag:

Sluttverdien vokser over tid

Sluttverdifaktor

• Sluttverdi:

• Sluttverdifaktor:

• Sluttverdien øker når:

• Innskuddet øker – X0
• Renten øker – r
• Løpetiden øker – T

Sluttverdi og ukjent rente

• Innskudd på 50.000 skal etter 4 år vokse til 65.000. Hvilken rentesats kreves?

Sluttverdi og ukjent løpetid

• Innskudd på 50.000 skal med 6% rente vokse til 65.000. Hvilken løpetid kreves?

Nåverdi

• Nåverdien er verdien i dag av et framtidig beløp.

• Vi diskonterer det framtidige beløpet, dvs. beregner baklengs renteregning:

Nåverdi av livspolise

• En livspolise på 100.000 utbetales om 5 år. Hvis et lån til 10% rente tilbakebetales med livspolisen, hvor mye kan lånes?

Nåverdifaktor

• Nåverdi:

• Nåverdifaktor:

• Nåverdien øker når:

• Framtidsbeløpet øker – XT øker
• Renten minker – r minker
• Løpetiden minker – T minker

Nåverdien synker med økt tid eller økt rente

Nåverdi av kontantstrøm (5%)

Annuiteter

• En annuitet er en kontantstrøm med like beløp hver periode over hele levetiden.

Annuitetslån

• Hvor mye kan en låne hvis renten er 6% og en kan betale tilbake 50.000 årlig i 5 år?

Annuitet med uendelig levetid

• Når levetiden for en annuitet øker, dvs. flere like beløp, så vil selvfølgelig nåverdien øke.

• Men jo lenger ut i tid beløpene kommer, jo mindre verdi har de i dag.

• Økningen i nåverdien vil derfor avta, å gå mot grenseverdien:

Kapitaliseringsfaktoren

• Nåverdien av en evigvarende etterskuddsannuitet: kalles ofte kapitaliseringsfaktoren.

• Multiplikatormetoden benytter denne kapitaliseringsfaktoren, ofte ved verdivurderinger.

Multiplikatormetoden

• Svakheter:

• Forutsetter konstant kontantstrøm.
• Gir store feil ved lav rente (under 10%).
• Gir store feil ved kort levetid (< 30 år).
• Realverdier må diskonteres til realrenten, som ofte er lav.

• Metoden egner seg best til svært langvarige prosjekter med stabil kontantstrøm og høy kapitalkostnad.

Annuitet med konstant vekst

• Kontantstrømmen vokser med en fast % i hver periode ut fra startnivået i periode 1: v%.

• Kontantstrømselementet på ethvert tidspunkt kan uttrykkes ved hjelp av startnivået, vekstprosenten og antall perioder:

Nåverdi etterskuddsannuiteter

Ekspropriasjon (Eks. 6.10)

• En leiegård gir årlige inntekter på 4 mill. som forventes å øke med 2% netto hvert år.

• Eieren ønsker å beregne tapet hvis eiendommen eksproprieres. Renten er 6%.

• Nåverdien uten ekspropriasjon:

Ekspropriasjon (Eks. 6.10 forts.)

• Hvis det går 8 år før eiendommen blir ekspropriert, vil eiendommen gi inntekter på:

Ekspropriasjon (Eks. 6.10 forts.)

• På tidspunkt 8 går man glipp av følgende verdi:

Fra nåverdi til annuitet

• Ønsker å låne kr. 100.000. Banken krever 7% rente og tilbyr 3 års annuitetslån, årlig forfall.

Annuitetslån

• Et annuitetslån betales tilbake med samme beløp hver periode, dvs. sum rente og avdrag er konstant i hele lånets løpetid.

Annuitetslån

• Annuitetsbeløpet dekker renten av restlånet til enhver tid, og avdragene tilbakebetaler hele lånebeløpet over lånets løpetid.

• Sum rente og avdrag er den samme i alle perioder, lik annuiteten.

• Rentedelen = IB restlån * lånerente

• Avdragsdel = Annuitet - Rentedelen

Annuitetslån etter skatt

• Annuitetslånet er utvidet til 5 år. Dermed reduseres annuitetsbeløpet. (Flere, men mindre avdrag.)

• Siden rentene er fradragsberettiget, sparer en skatt.

• Kontantstrømmen etter skatt må derfor ta hensyn til spart skatt på rentedelen av annuitetsbeløpet.

Annuiteters sluttverdi

• Sluttverdien av en etterskuddsannuitet:

Livrente - studiefond

• En livrente er fritatt både formues- og renteinntektsskatt på fondet i sparetiden.

• Et studiefond bygges opp ved å sette av 15.000 årlig i 8 år, til forventet 7% rente.

Nåverdi forskuddsannuiteter

• En forskuddsannuitet har første beløp allerede nå, dvs. på tidspunkt 0, og ingen beløp på tidspunkt T. Alle beløp er forskyvet en periode fram, i forhold til etterskuddsvis.

Forskuddsannuitet

• Om vi kjenner nåverdien (f.eks. lånebeløpet), kan vi beregne forskuddsannuiteten:

Forskuddsleie (eks. 6.17)

• Hvor mye må nå settes inn på konto til 0,4% rente pr. måned for å dekke månedlig husleie betalt forskuddsvis på kr. 8.000 i ett år?

Forskuddsannuiteter

Kort og lang rente

• Rentestørrelsen må alltid korrespondere med periodelengden.

• En kan fritt velge lengde på tidsintervallene, men en må passe på å justere renten slik at den tilsvarer den valgte periodelengden.

• Halvårlige perioder krever halvårsrente.
• Kvartalsperioder krever kvartalsrente.
• Treårsperioder krever treårsrenter.

Rente og periodelengde

• La:

• r = årsrente

• b = antall korttidsperioder pr. år

• rb = renten for korttidsperioden

Kvartalsrente og månedsrente

• La:

• r4 = kvartalsrente = 4%

• r12 = månedsrente. Hvor stor er månedsrenten?

Bankrentemetoden

• I norske banker gis det kun rentesrente på nyttårsaften(!?).

• Bankene benytter følgende metode for å beregne renter med forskjellig periodelengde:

Bankrentemetoden

• Innskudd 1/1 på kr. 100.000 til 5% rente.

• Etter ett år er saldoen: (100.000)(1,05) = 105.000

• Innskudd 1/7 på kr. 100.000 til 5% rente.

• Etter ett år er saldoen: (100.000)(1+0,05/2)2 = 105.063

• De 63 kronene ekstra skyldes rentesrente på kr. 2.500 i de siste 6 månedene. Dette går en glipp av hvis innskuddet gjøres 1/1.

Kontinuerlig rente

• La:

• r = årsrente

• rk = kontinuerlig rente

• e = 2,1828.. = grunntallet i naturlige logaritmer

• T = kontinuerlig variabel for tidslengde

Renteregning

• Om vi benytter kontinuerlig tid eller diskret tid spiller ingen rolle, så lenge vi er konsistente med hensyn på renten.

• Når vi benytter diskret tid, spiller det ingen rolle hvordan vi deler inn tidsperiodene, så lenge vi er konsistente med hensyn på renten.

Varierende rente over tid

• Renten rt angir renten som gjelder i perioden fra tidspunkt t-1 til t.

• Vi neddiskonterer beløpet Xt til periode t-1 ved å dividere på (1+rt).

• For å neddiskontere til tidspunkt 0 må vi dividere på (1+r1)(1+r2)∙ ∙ ∙(1+rt).

Varierende rente over tid

Investering & varierende rente

• Et 4-årig investeringsprosjekt har følgende kontantstrøm: (-100, 30, 70, 80, 20)

• Renten i de samme periodene er beregnet til å være 10%, 5%, 2% og 7%.

Gjennomsnittsrente

• Det finnes en gjennomsnittsrente rgt som gjør det mulig å diskontere direkte fra tidspunkt t til tidspunkt 0:

Gjennomsnittsrente

• Fra eksemplet: 10%, 5%, 2%, 7%. rg1 = 10%. rg2 = [1,1∙1,05]1/2 ≈ 7,5% rg3 = [1,1∙1,05∙1,02]1/3 ≈ 5,6% rg4 = [1,1∙1,05∙1,02∙1,07]1/4 ≈ 6,0%

Varierende rente over tid