Bodové odhady parametru V modelu přímkové regrese

---

Rcxnm

L0<

Crnkmqxcp

uvcvkuvkmc

030

x{f0

X{uqm

šmqnc

ejgokemq/vgejpqnqikem

x

Rtc|g.

Rtcjc

42270

KUDP

:2/92:2/78;/4

Mpkjw

n|g

qdlgfpcv

xg

x{fcxcvgnuvx

X̅EJV

Rtcjc.

jvvr<11x{fcxcvgnuvxk0xuejv0e|1

.g/ockn<

x{fcxcvgnuvxkBxuejv0

e|.

vgn0<

442

665

43

3

11.2. PŘÍMKOVÁ REGRESE.

149

11.2.2

Bodové odhady parametru v modelu přímkové regrese.

Věnujme se nyní zpusobu odhadu parametru β

1

, β

2

jednoduché lineární regresní funkce

η

(x) = β

1

+ β

2

x

z napozorovaných dvojic hodnot nezávisle proměnné x a náhodné veličiny Y , tj. z dvojic

(x

j

, y

j

), j = 1, . . . , n. Bodové odhady parametru β

1

, β

2

budeme značit b

1

, b

2

. Tyto odhady se

zpravidla určují tzv. metodou nejmenších čtvercu. Odhady b

1

, b

2

jsou ty hodnoty parametru

β

1

, β

2

, které minimalizují součet čtvercu odchylek napozorovaných hodnot y

j

od středních

hodnot těchto veličin η(x

j

) = β

1

+ β

2

x

j

.

• Během dalšího výkladu nebudeme zpravidla rozlišovat označování realizace náhodné ve-

ličiny od označování náhodné veličiny samé - obojí budeme (nebudeme-li výjimečně chtít

speciálně zduraznit, že jde o náhodnou veličinu) značit malými písmeny.

Odhady b

1

, b

2

tedy minimalizují (mezi všemi možnými hodnotami β

1

, β

2

) součet

Q

(β

1

, β

2

) =

n

j

=1

(y

j

− η(x

j

))

2

=

n

j

=1

(y

j

− β

1

− β

2

x

j

)

2

.

(11.2.4)

Zmíněné odhady b

1

, b

2

parametru β

1

, β

2

nalezneme (jde o hledání minima funkce Q(β

1

, β

2

)

dvou proměnných β

1

, β

2

- viz kurz matematiky, extrémy funkcí dvou proměnných) řešením

soustavy dvou rovnic o dvou neznámých β

1

, β

2

∂Q

∂β

1

= 0

∂Q

∂β

1

= 0.

Po derivování a dosazení odhadu b

1

, b

2

na místo neznámých β

1

, β

2

dostáváme tzv. normální

rovnice

n b

1

+ b

2

x

j

=

y

j

b

1

x

j

+ b

2

x

2

j

=

x

j

y

j

.

(11.2.5)

Jejich řešením získáme vzorce pro hledané bodové odhady b

1

, b

2

parametru β

1

, β

2

jednoduché lineární regresní funkce (11.2.1):

b

1

=

x

2

j

y

j

−

x

j

x

j

y

j

n

x

2

j

− (

x

j

)

2

(11.2.6)

b

2

=

n

x

j

y

j

−

x

j

y

j

n

x

2

j

− (

x

j

)

2

.

(11.2.7)

Z první rovnice (11.2.5) získáme dělením n často používaný vztah

b

1

= y − b

2

x,

(11.2.8)

kde x; y jsou aritmetické pruměry veličin x

1

, . . . , x

n

;

y

1

, . . . , y

n

.

---

Document Outline