Bodové odhady parametru V modelu přímkové regrese



Yüklə 27,42 Kb.

tarix14.10.2017
ölçüsü27,42 Kb.


Rcxnm

L0<


Crnkmqxcp

uvcvkuvkmc

030


x{f0

X{uqm


šmqnc

ejgokemq/vgejpqnqikem

x

Rtc|g.


Rtcjc

42270


KUDP

:2/92:2/78;/4

Mpkjw

n|g


qdlgfpcv

xg

x{fcxcvgnuvx



X̅EJV

Rtcjc.


jvvr<11x{fcxcvgnuvxk0xuejv0e|1

.g/ockn<


x{fcxcvgnuvxkBxuejv0

e|.


vgn0<

442


665

43

3



11.2. PŘÍMKOVÁ REGRESE.

149


11.2.2

Bodové odhady parametru v modelu přímkové regrese.

Věnujme se nyní zpusobu odhadu parametru β

1

, β



2

jednoduché lineární regresní funkce

η

(x) = β


1

+ β


2

x

z napozorovaných dvojic hodnot nezávisle proměnné x a náhodné veličiny Y , tj. z dvojic



(x

j

, y



j

), j = 1, . . . , n. Bodové odhady parametru β

1

, β


2

budeme značit b

1

, b


2

. Tyto odhady se

zpravidla určují tzv. metodou nejmenších čtvercu. Odhady b

1

, b



2

jsou ty hodnoty parametru

β

1

, β



2

, které minimalizují součet čtvercu odchylek napozorovaných hodnot y

j

od středních



hodnot těchto veličin η(x

j

) = β



1

+ β


2

x

j



.

• Během dalšího výkladu nebudeme zpravidla rozlišovat označování realizace náhodné ve-

ličiny od označování náhodné veličiny samé - obojí budeme (nebudeme-li výjimečně chtít

speciálně zduraznit, že jde o náhodnou veličinu) značit malými písmeny.

Odhady b

1

, b



2

tedy minimalizují (mezi všemi možnými hodnotami β

1

, β


2

) součet


Q

1



, β

2

) =



n

j

=1



(y

j

− η(x



j

))

2



=

n

j



=1

(y

j



− β

1

− β



2

x

j



)

2

.



(11.2.4)

Zmíněné odhady b

1

, b


2

parametru β

1

, β


2

nalezneme (jde o hledání minima funkce Q(β

1

, β


2

)

dvou proměnných β



1

, β


2

- viz kurz matematiky, extrémy funkcí dvou proměnných) řešením

soustavy dvou rovnic o dvou neznámých β

1

, β



2

∂Q

∂β



1

= 0


∂Q

∂β

1



= 0.

Po derivování a dosazení odhadu b

1

, b


2

na místo neznámých β

1

, β


2

dostáváme tzv. normální

rovnice

n b


1

+ b


2

x

j



=

y

j



b

1

x



j

+ b


2

x

2



j

=

x



j

y

j



.

(11.2.5)


Jejich řešením získáme vzorce pro hledané bodové odhady b

1

, b



2

parametru β

1

, β


2

jednoduché lineární regresní funkce (11.2.1):

b

1

=



x

2

j



y

j



x

j

x



j

y

j



n

x

2



j

− (


x

j

)



2

(11.2.6)


b

2

=



n

x

j



y

j



x

j

y



j

n

x



2

j

− (



x

j

)



2

.

(11.2.7)



Z první rovnice (11.2.5) získáme dělením n často používaný vztah

b

1



= y − b

2

x,



(11.2.8)

kde x; y jsou aritmetické pruměry veličin x

1

, . . . , x



n

;

y



1

, . . . , y



n

.

Document Outline




Dostları ilə paylaş:


Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2019
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə