İSTATİSTİK
10. BÖLÜM
İSTATİSTİKTE TAHMİN VE HİPOTEZ TESTLERİ İSTATİSTİK
Doç. Dr. Şakir GÖRMÜŞ
2013
Onuncu Bölüm
TAHMİN VE HİPOTEZ TESTLERİ İSTATİSTİK
Öğrenme Hedefleri
Bu bölümü çalıştıktan sonra;
-
Örneklemden yola çıkarak ana kütle parametrelerini belli güven aralıklarında hesaplayabilir.
-
Hipotez testinin varsayımlarını bilir.
-
Güven Sınırlarını belirleyebilir.
-
İstatistikte hipotez tezlerini kurabilir.
-
İstatistikte hipotez tezlerinin doğruluğunu test edebilir.
Temel Kavramlar
-
Güven Aralığı
-
Tahmin
-
Hipotez testi
İçindekiler
1. İSTATİSTİK TAHMİNİ
1.1. Güven Aralıkları
1.2. Örnek Ortalamalarının Dağılımı
1.3. Ana Kütle Ortalamasının Tahmini
2. HİPOTEZ TESTİ
2.1. Hipotez Testinin Adımları
2.1.1. Hipotezlerin Kurulması
2.1.2. Güven Sınırlarının Belirlenmesi
2.1.3. Hipotez Testinin Sınanması
2.1.4. Hipotez Testinin Sınanması Örnekleri
-
İSTATİSTİK TAHMİNİ
Ana kütledeki birimlerin tamamını inceleyerek ana kütle hakkında bilgi sahibi olmanın zor, hatta bazen imkânsız olması örnekleme yöntemlerine başvurmak için yeterli sebep sayılabilir. İstatistik tahmini ile ana kütleden alınan örnek veriler kullanılarak ana kütlenin parametreleri tahmin edilmeye çalışılır.
Değişik örneklerden bir çok tahmin için elde edilen istatistiklerin bir kısmı gerçek değerden büyük bir kısmı da gerçek değerden küçük olacaktır. Böylece uzun dönemde gerçek değerin üzerinde veya altında tahmin eğilimi olmayacaktır. Bir yığın özelliği tahmin etmek için verilen çeşitli yansız istatistiklerden en iyi istatistik seçimi, standart sapması en küçük olanı seçmektir.
İki tür Parametre tahmini vardır;
-
NOKTA TAHMİNİ: Parametreye en uygun bir istatistiğin tek sayısal değeridir. Örneğin, ana kütle ortalamasını tahmin etmek için örneklem ortalaması alınırsa, parametrenin nokta tahmin edicisi kullanılıyor denir.
-
ARALIK TAHMİNİ: Bilinmeyen ana kütle parametresinin belirli bir olasılıkla içinde bulunacağı rasgele alt ve üst sınırı belirlemektir.
-
Güven Aralıkları
Ana kütle Ortalamasının Güven aralığı: Ana kütlenin tüm birimlerini incelemek olanaksızdır. Bu gibi durumda Ana kütlenin ortalaması hesaplanamaz. Ancak örneklemler yardımıyla ana kütlenin ortalaması ya da ana kütlenin ortalamasının içinde bulunduğu sınırlar, seçilen yanılma olasılığında tahmin edilir.
Kitle ortalamasının içinde bulunduğu sınırlara “Ana kütlenin Ortalamasının Güven Aralığı ya da Güven Sınırları” adı verilir.
Normal dağılımdan alınan n birimli bir örneklemin ortalamasının ana kütlenin ortalamasına yani ’ye eşit olması beklenemez. Bu durumda için güven aralığı tahmin edilebilir.
Ana kütlenin varyansı 2’nin bilindiğinde Ana kütlenin ortalamasının Aralık Tahmini:
Örneklem ortalaması ’nin dağılımı ~ N( ; 2 / n) ‘dir. Buna göre aralık tahminde kullanılacak olan istatistiğin dağılımı standart normal dağılımdır ve aşağıdaki gibi hesaplanır;
Normal dağılımın simetri özelliğinden güven aralığının boyu (1-), ortalamanın iki yanına eşit dağıtıldığında, başka bir ifadeyle ’nın /2 ve /2 şeklinde iki tarafa bölündüğü durumda minimum olacaktır. Dolayısıyla Güven Aralığı;
Ana kütlenin varyansı 2’nin bilinmediğinde ana kütlenin ortalamasının Aralık Tahmini:
Ana kütlenin varyansı 2 bilinmediğinde Ana kütlenin ortalamasının aralık tahmininde
istatistiği Z dağılımına sahiptir. Bu durumda ana kütle ortalaması için Güven Aralığı;
-
Örnek Ortalamalarının Dağılımı
Toplam birim sayısı N, varyansı σ2, aritmetik ortalaması µ ve dağılımı normal olan bir ana kütleyi N(µ, σ2) şeklinde gösterelim. Örneklerin basit tesadüfî örnekleme yöntemine göre alındıklarını varsayarak, örnekler için örnekleme dağılımlarını görelim:
Bir yığından n büyüklüğünde çekilmesi mümkün tüm örneklerin çekilsin ve her biri için aritmetik ortalamanın hesaplansın; sayısı kadar olan bu örnek ortalamalarının dağılımı, teorik bir dağılımdır. Söz konusu dağılım, örnek ortalamalarından oluştuğu için buna "örnek ortalamalarının örnekleme dağılımı" adı verilir.
Örnek ortalamaları ana kütle ortalaması etrafında normal bir dağılım gösterirler. Standart hata ise örnek ortalamaları normal dağılımının standart sapmasından başka bir şey değildir. Bu normal dağılımın ortalaması ile standart sapması arasındaki ilişkiden hareketle herhangi bir örnek ortalamasının belirli olasılık kademelerine göre bulunabileceği sınırlar tahmin edilebilir.
Şekil 1 Normal dağılan örnek ortalamalarının çeşitli standart hata sınırları
µ-3σx µ-2σx µ-σx µ+σx µ+2σx µ+3σx
Şekil 1 de görüleceği gibi, örnek ortalamalarının % 99.7 si ana kütle ortalamasından ± 3 σx standart hata sınırları arasında bulunur. Bunun gibi diğer olasılık kademeleri için de benzer açıklamalar yapılabilir. Buna göre, ana kütle ortalaması µ ve örnek ortalamaları standart hatası σx şeklinde gösterilecek olursa örnek ortalamaları şu şekilde hesaplanır:
% 68.3' ü
|
|
µ - σx
|
ile
|
µ + σx
|
Sınırları arasında
|
% 95' i
|
|
µ - 1.96 σx
|
ile
|
µ + 1.96 σx
|
Sınırları arasında
|
% 95.5' i
|
|
µ - 2 σx
|
ile
|
µ + 2 σx
|
Sınırları arasında
|
%99' u
|
|
µ - 2.58 σx
|
ile
|
µ. + 2.58 σx
|
Sınırları arasında
|
% 99.7' si
|
|
µ - 3 σx
|
ile
|
µ + 3 σx
|
Sınırları arasında
|
Dağılımı normal ve varyansı belli olan yığından çekilen örnek ortalamaları ana kütle ortalaması etrafında normal dağılım gösterir. Bu dağılımın ortalaması (örnek ortalamalarının ortalaması) ana kütle ortalamasına eşittir ve = µ şeklinde gösterilir.
Örnek ortalamaları dağılımının standart sapması, standart hata olarak bilinir ve aşağıdaki formülle hesaplanır:
Formüldeki ifadesi, düzeltme faktörü olup, ise, sonucu etkilemeyeceği için, standart hata hesabında ihmal edilebilir. Böyle durumlarda standart hata aşağıdaki gibi belirlenmektedir:
σ bilinmiyorsa olarak yazılır.
-
Ana Kütle Ortalamasının Tahmini
Ana kütle ortalaması bilinmiyorsa örneklemden yola çıkarak belli bir güven aralığında tahmin edilebilir.
Örnek 1.
Ürün ağırlıkları ile ilgili değişkenliğin σ = 5 gr. olduğu bilinmektedir. Örnekleme oranı %1 olacak şekilde alınan 100 birimlik (n) örneğin ortalaması 100 gr. ( bulunduğuna göre, ana kütledeki ürünlerin ortalama ağırlığını belirli olasılık kademelerine (güven aralığına) göre tahmin edelim:
Buna göre örneklem standart hata;
Örnek ortalamaları ana kütle ortalaması etrafında normal dağıldığına göre; normal dağılımın özelliklerinden yararlanarak, ana kütle birimlerin ortalama ağırlığı,
şeklinde tahmin edilebilir. Formüldeki "Z" ifadesi belirli olasılık kademelerindeki standart normal dağılımın kritik değerleridir. Çeşitli olasılık kademeleri için yığın ortalamasının tahmini ise aşağıda gösterildiği gibi hesaplanır:
% 68 olasılıkla
% 95 olasılıkla
% 99 olasılıkla
Örnek 2.
64 kişi üzerinde yapılan bir araştırmada Türkiye’de insanların ortalama günde 8 dakika televizyon seyrettikleri ve ana kütlenin standart sapmasının 4 dakika olduğu bilindiğine göre % 95 güven aralığında ana kütle ortalamasını tahmin ediniz.
İlk olarak örneklem standart sapması bulunur.
% 95 olasılıkla
Yukarıdaki sonucu % 95 güven düzeyinde Türkiye’de insanlar günde 3.02 ile 4.98 dakika arasında televizyon seyretmektedir şeklinde yorumlayabiliriz.
Örnek 3.
Sakarya Üniversitesinde 49 öğrenci üzerinde yapılan çalışmada IQ ortalaması 110 ve standart sapması 14 bulunmuştur. % 99 güven aralığında SAÜ öğrencilerin IQ ortalaması hangi aralıkta olacaktır.
% 99 olasılıkla
Yukarıdaki sonucu % 99 güven düzeyinde SAÜ öğrencilerinin IQ 104.76 ile 115.16 arasındadır şeklinde yorumlayabiliriz.
-
HİPOTEZ TESTİ
"Hipotez", bir durum hakkında ileri sürülen bir varsayımdır. Buna göre, "istatistik hipotez", ana kütlenin durumu hakkında ileri sürülen bir varsayımdır. Burada bu hipotez daima yapılacak bir istatistik test sonucuna göre kabul veya reddedilecek şekilde formüle edilir. "İstatistik test" ise örnek istatistiklerini kullanarak bir hipotezin geçerli olup olmadığını ortaya koyma işlemidir.
Şüphesiz, yapılacak istatistik testin, hipotezi tam olarak kanıtlaması veya kanıtlayamaması gibi kesin bir durum söz konusu değildir. Burada esas olan testin, hipotezin ne derece güvenle kabul veya reddedileceğini göstermesidir. İstatistik test bir hipotezin geçerli olup olmadığını ortaya koyarken örnek istatistiğini değerlerini kullanarak neticeye varmaktadır. Bu nedenle, "istatistik test" veya "hipotez testi" şeklinde de adlandırılır.
Hipotez testinde amaç, hareket tarzları belli bir fiili yapmak veya yapmamak olduğuna göre, böyle bir karara varabilmesi için karar sürecinin belirlenmesi gerekir. Bunun için önce hipotezlerin ortaya konması gerekir. İstatistikte H0 'a sıfır hipotezi, Hı 'e de alternatif veya araştırma hipotezi denir.
-
Hipotez Testinin Adımları
Yığındaki değerlerin farklı ve örneklem seçimin tesadüfi olması nedeniyle örnek ortalamaları gerçek ortalamadan farklı çıkar. İşte bu farkın tesadüfi sebeplerden ileri gelip gelmediğini araştırmak, fark tesadüfi sebeplerden ileri gelecek kadar küçükse sıfır hipotezini kabul etmek, tesadüfi sebeplerden ileri gelmeyecek kadar büyükse reddetmek gerekir.
-
Hipotezlerin kurulması
Önce, hipotezlerin kurulur. Hipotezler, sıfır hipotezi ve araştırma (alternatif) hipotezi olmak üzere iki tanedir. Sıfır hipotezi, yığın parametresinin bilinen veya belirlenmiş değerini gösterir. Alternatif hipotez ise, araştırmayı yönlendiren yani kanıtlanmak istenen asıl hipotezdir.
Hipotezler, biri red edildiğinde diğeri kabul edilecek şekilde düzenlenirler. Sıfır hipotezinde, ana kütle parametresinin belirli bir değere eşit olduğu ifade edilir. Alternatifinde ise kanıtlanacak duruma göre ana kütle parametresinin belirli bir değerden büyük, küçük ya da farklı olduğu ileri sürülür.
-
"Ürünlerin ortalama ağırlığı 100 gr. dan farklıdır" şeklindeki araştırma hipotezi sıfır hipotezi ile birlikte şu şekilde kurulabilir:
H0 : µ = 100 gr.
H1 : µ ≠ 100 gr.
-
"Ürünlerin ortalama ağırlığı 100 gr. dan hafiftir" şeklindeki bir hipotez şu şekilde kurulabilir:
H0 : µ = 100 gr.
H1 : µ < 100 gr.
-
"Ürünlerin ortalama ağırlığı 100 gr. dan ağırdır" şeklindeki hipotez ise şu şekilde gösterilir:
H0 : µ = 100 gr.
H1 : µ > 100 gr.
Yukarıda verilen bilgiler kullanılarak bir karar vermek, hipotez testlerinin ikinci aşamasıdır. Karar verme aşamasında sıfır hipotezi ya kabul edilir ya da karşı hipotezin lehine sıfır hipotezi red edilir. Hipotez testinde sıfır hipotezinin reddi ya da kabulü örneklem bilgisine dayanır. Kitle için kabul edilen değer ile örneklemden elde edilen değer arasında ne kadar çok fark var ise, sıfır hipotezinin reddi de o kadar kuvvetlidir. Ancak, örneklem kitleden rasgele çekilmiş olduğu için örneklemden bulunacak değerin kitle değeri ile aynı olması beklenemez. Güven aralıkları konusunda görüldüğü gibi aynı kitleden çekilen örneklemlerin kitle bilgisini içermeme olasılığı kadar olacaktır. Bu durumda sıfır hipotezi için karar sürecinde aşağıda verilen tabloda belirtilen sonuçlarla karşılaşılır.
Sıfır Hipotezi
Karar
|
Doğru
|
Yanlış
|
Red
|
Hatalı Karar
I. Tür Hata=
|
Doğru Karar
|
Kabul
|
Doğru Karar
|
Hatalı Karar
II. Tür Hata=
|
Tablodan görüldüğü gibi, sıfır hipotezi Doğru ve biz bu hipotezi red etmiş isek, yanlış bir karar vermişizdir. Bu hatalı karar I Tür hata adını alır. I Tür hata yapma olasılığı olacaktır. ’ya hipotezin anlamlılık düzeyi denir. Karar ya kabul ya da red edileceğine göre, kararı kabul etme olasılığı da (1-) olur. Bu tabloya göre, yapılacak ikinci hata II Tür hata olarak adlandırılır. Belli bir karar kuralı için, sıfır hipotezi yanlış iken kabul etme olasılığı ile gösterilir. Yanlış bir hipotezi red etme olasılığı da (1-) dır. (1-)’ ya testin gücü denir.
-
Güven Sınırlarının Belirlenmesi
Anlam düzeyi, önem seviyesi şeklinde de ifade edilebilir. Örnek ortalamaları yığın ortalaması etrafında normal dağılış gösterdiğinden, örnek ortalamalarının %95' i Z = ±1.96 sınırları arasında, %99' u ise Z = ±2.58 sınırları arasında kalıyor demektir. Güven sınırları dışında kalan alanlar ise anlam düzeyi olarak bilinir ve bunlar sırasıyla % 0.10, % 5 ve % 1 dir.
Zk' nin kritik değerleri önem düzeyine göre aşağıda verilmiştir.
|
Anlam Düzeyi
|
Sol Kuyruk Testi
H1 < 100
|
Sağ Kuyruk Testi
H1 > 100
|
Çift Yönlü Test
H1 = 100
|
0.10
|
-1.28
|
+1.28
|
±1.65
|
0.05
|
-1.65
|
+1.65
|
±1.96
|
0.01
|
-2.33
|
+2.33
|
±2.58
|
-1.96 0 +1.96
Şekil 1 Çift taraflı test, % 5 anlam düzeyine göre kabul ve red bölgeleri
-2.58 0 +2.58
Şekil 2 Çift taraflı test, % 1 anlam düzeyine göre kabul ve red bölgeleri
Güven sınırları, normal eğrinin her iki ucunda ve bu sınırların dışında kalan olasılıkların toplamı olduğundan, her bir uçtaki alan güven sınırının yarısı (%5 için %2.5, %1 için %0.5) kadardır. Tek taraflı testlerde güven sınırını belirleyen alan, testin yönüne bağlı ve normal eğrinin sadece bir ucundadır.
Şekil 3 Tek taraflı test, %1 anlam düzeyine göre red ve kabul bölgeleri
Şekil 4 Tek taraflı test, %5 anlam düzeyine göre red ve kabul bölgeleri
Uygulamada genellikle %5 veya %1 güven sınırlarından biri seçilir. Deney ya da uygulamanın özelliğine bağlı olarak %10, %0.5 veya %0.1 gibi farklı sınırlar da kullanılabilir.
-
Hipotez Testinin Sınanması
Bir hipotez kurulduktan sonra 2 aşamada test edilir.
-
Aşama: Örneklemden yola çıkılarak Zh degeri hesaplanır.
-
Aşama: Hesaplanan Zh değeri Zk değeri ile karşılaştırılır.
Zh > Zk ise H0 hipotezi reddedilir ve alternatif hipotez kabul edilir.
Hipotez testinde kullanacağımız yukarıda değindiğimiz bilgileri özetlersek;
Sıfır Hipotezi (H0): Tersine yeterli kanıt bulununcaya kadar doğru kabul edilen fikirdir.
Alternatif Hipotez (H1): Sıfır hipotezi karşısında test edilen, sıfır hipotezi red edildiğinde kabul edilen hipotez
Tek Yanlı Karşıt Hipotez: Ana kütlede ilgilendiğimiz parametre için sıfır hipotezince, belirlenen bir değerden küçük ya da büyük olanaklı bütün değerleri içeren karşıt hipotez
Çift Yanlı Karşıt Hipotez: Ana Kütlede ilgilendiğimiz parametre için sıfır hipotezince belirlenen değer dışında olanaklı bütün değerleri içeren karşıt hipotez
Hipotez Testi Kararı: Araştırmacıyı örneklem kanıtına dayanarak, sıfır hipotezini kabul ya da reddetmeye götürecek şekilde geliştirilmiş karar kuralı
I Tür Hata: Doğru hipotezin red edilmesi
II Tür Hata: Yanlış hipotezin kabul edilmesi
Anlamlılık Düzeyi: Doğru olan sıfır hipotezini reddetme olasılığı, .
Testin Gücü: Yanlış bir sıfır hipotezinin reddedilme olasılığı, 1-α.
-
Hipotez Testinin Sınanması Örnekleri
Örnek 1: Bir fırının ürettiği ekmek ortalama ağırlığı 500 gram olduğu iddia edilmektedir. Fırını denetleyen belediye yetkilileri 100 adet örneğin ortalama ağırlığını 490 gram ve standart hatasını 30 gram bulmuşlardır. %1 anlam düzeyinde (%99 güven aralığında) ekmeğin ortalama ağırlığı 500 gram kabul edilebilir mi test ediniz.
Hipotez testini kuralım.
H0 : µ = 500 gr.
H1 : µ ≠ 500 gr.
-
Aşama: Örneklemden yola çıkılarak Zh degeri hesaplanır.
-
Aşama: Hesaplanan Zh değeri Zk değeri ile karşılaştırılır.
Zh ( -3.3) > Zk ( -2.58) oldugundan H0 hipotezi reddedilir ve alternatif hipotez kabul edilir.
Yorum: Fırının ürettiği ekmeklerin ortalama ağırlığı 500 gramdan farklıdır.
Not: Z değerlerini mutlak değerler olarak karşılaştırıyoruz.
-3.3 -2.58 0 +2.58
Örnek 2: Ağrı kesici bir ilacın ortalama 60 dakikadan daha az bir sürede etkisini göstereceği olduğu iddia ediliyor. Rasgele seçilen hastalardan 64’üne ilgili ilaç veriliyor ve ortalama etki süresi 63 ve standart hatası 12 bulunuyor. =0.05 anlamlılık düzeyinde (%95 güven aralığı) iddianın doğruluğunu test ediniz.
Hipotez testini kuralım.
H0 : µ ≤ 60 dakika
H1 : µ > 60 dakika
-
Aşama: Örneklemden yola çıkılarak Zh değeri hesaplanır.
-
Aşama: Hesaplanan Zh değeri Zk değeri ile karşılaştırılır.
Zh ( 1.5) > Zk ( 1.65) olduğundan H0 hipotezi reddedilemez.
Yorum: %95 güven düzeyinde ilaç ağrıyı en geç 60 dakika içinde geçirmektedir.
1.5 1.65
Örnek 3: Karatay diyetinin 3 ayda en az 10 kilo iddia edilmektedir. 144 kişi üzerinde 3 ay uygulanan diyetin ortalama 9 kilo zayıflattığı ve standart hatanın 4 kilo olduğu tesbit edilmiştir. 99 güven aralığında iddianın doğruluğunu test ediniz.
Hipotez testini kuralım.
H0 : µ ≥ 10 kilo
H0 : µ < 10 kilo
-
Aşama: Örneklemden yola çıkılarak Zh değeri hesaplanır.
-
Aşama: Hesaplanan Zh değeri Zk değeri ile karşılaştırılır.
Zh ( - 3) > Zk ( - 2.33) olduğundan H0 hipotezi reddedilir.
Değerlendirme Soruları
1 – Bir ampul fabrikasının üretim sürecinde, 100 ampul rassal örneklem olarak seçilmiştir. Ampullerin ortalama ömrü 375 saat ve standart sapması s=15 saat olarak hesaplanmıştır. Üretilen ampullerin ortalama ömrünü % 95 güven düzeyiyle tahmin ediniz.
Çözüm:
n = 100 ampul
= 375 saat
s = 15 saat
n > 30 olduğu için normal dağılıma sahiptir.
İlk olarak örneklem standart sapması bulunur.
% 95 olasılıkla
Yukarıdaki sonucu % 95 güven düzeyinde ampullerin ömrü 372.06 ile 377.94 arasındadır.
2- SASKİ yöneticileri, Sakarya halkının ortalama aylık su tüketimini en az 20 litre olabileceğini düşünmektedir. Eğer yöneticilerin bu düşüncesi doğruysa Sakarya su sorunuyla karşı karşıya kalabilir. Bu amaçla, rassal olarak seçilen, 1000 kişiden veriler derlenmiş ve aylık ortalama su tüketiminin 22 litre ve standart sapmasının da 8 litre olduğu tespit edilmiştir. SASKİ yöneticilerinin kaygılanmalarının doğru olup olmadığını α = 0.01 anlam düzeyini (% 99 güven düzeyi) kullanarak karar veriniz.
Çözüm:
Hipotez H0 : µ = 20 litre
H1 : µ > 20 litre
n = 1000
= 22 litre
µ = 20 litre
s = 8 litre
n > 30 olduğu için normal dağılıma sahiptir. Z değeri tablodan % 99 güven düzeyi için 2.33 bulunur. Bu bilgilerden sonra 2 aşama ile çözüme ulaşılır.
-
Aşama: Örneklemden yola çıkılarak Zh degeri hesaplanır.
-
Aşama: Hesaplanan Zh değeri Zk değeri ile karşılaştırılır.
Zh ( 7.9) > Zk ( 2.33) oldugundan H0 hipotezi reddedilir ve alternatif hipotez kabul edilir.
Yorum: Kişilerin aylık su tüketimi 20 litreden fazladır.
3- Bir çikolata firması 500 gramlık paketler halinde üretim yapmayı planlamaktadır. Üretimin planlandığı gibi gerçekleşip gerçekleşmediğini kontrol etmek için rassal olarak seçilen 100
paketin ortalama ağırlığı 495 gram ve standart sapma da 20 gram olarak bulunmuştur. Üretimin planlandığı gibi gerçekleşip gerçekleşmediğini α = 0.05 anlam düzeyini (% 95 güven düzeyi) kullanarak karar veriniz.
Çözüm:
Hipotez H0 : µ = 500 gram
H1 : µ ≠ 500 gram
n = 100
= 495 gram
µ = 500 gram
s = 20 gram
n > 30 olduğu için normal dağılıma sahiptir. Z değeri tablodan % 95 güven düzeyi için 1.96 bulunur. Bu bilgilerden sonra 2 aşama ile çözüme ulaşılır.
-
Aşama: Örneklemden yola çıkılarak Zh degeri hesaplanır.
-
Aşama: Hesaplanan Zh değeri Zk değeri ile karşılaştırılır.
Zh ( 2.5) > Zk ( 1.96) oldugundan H0 hipotezi reddedilir ve alternatif hipotez kabul edilir.
Yorum: Paketlerin ağırlığı 500 gramdan farklıdır.
Kaynakça
-
Yılmaz Özkan, Uygulamalı İstatistik 1, Sakarya Kitapevi, 2008.
-
Özer Serper, Uygulamalı İstatistik 1, Filiz Kitapevi, 1996.
-
Meriç Öztürkcan, İstatistik Ders notları, YTÜ.
Dostları ilə paylaş: |