Die Halbwertzeit von Protaktinium



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Die Halbwertzeit von

Protaktinium

Zielsetzung:

In diesem Experiment ist es unser Ziel, den Zerfall einer der Isotopen von Protaktonium, m234-

Pa, zu untersuchen. Ein Geiger-Müller-Zählrohr, der Radiations-Monitor von Vernier, wird mit

dem CBL oder LabPro verbunden. Die erfassten Daten werden im Grafikrechner gespeichert

und können mit dem Rechner oder dem PC analysiert werden.

Materialien: 

Radiations-Monitor von Vernier,Protaktinium Generator, CBL2 oder LabPro und TI-83



Datenerfassung (TI83)

Bevor Sie mit dem Experiment beginnen, stellen Sie sicher, dass Sie das Programm DATARAD

in Ihrem TI-83 Rechner haben. 

Bemerkung: Wenn Sie eine alte CBL benutzen, müssen Sie stattdessen das Programm

RADIATIN benutzen.

Verbinden Sie das Strahlungsmessgerät mit

Ihrem Rechner, und vergewissern Sie sich, dass

Sie den Dig/Sonic-Input benutzen. 

Arrangieren Sie Ihren Versuchsaufbau so, dass

das Fenster des GM-Röhre auf die obere Ebene

Ihres Protaktinium-Generators weist.

Starten Sie das Programm DATARAD. Nach dem

Startbildschirm gelangen Sie in den

Menübildschirm, dort wählen Sie: 

1 SETUP, 2: START, 3: GRAPH und 4: QUIT.

Drücken Sie die 1 für SETUP.

In dem SETUP MENU drücken Sie die 3 für TIME GRAPH.

In dem TIME GRAPH SETTINGS MENU haben Sie zwei Alternativen 

1: OK und 2: CHANGE TIME SETTINGS.

Wenn Sie das Experiment das erste Mal durchführen, sollten Sie Alternative 2 wählen. Wir

schlagen folgende Einstellungen vor: INTERVAL IN SECONDS: geben Sie 15 ein und bei

NUMBER OF INTERVALS: geben Sie 20 ein.

Jetzt gelangen sie in das TIME GRAPH SETTINGS MENU zurück. Drücken Sie 1 für OK.

Das bringt Sie zurück auf den Menü-Bildschirm, dort wählen Sie aus: 

1 SETUP, 2: START, 3: GRAPH und 4: QUIT. Drücken Sie noch einmal die 1 für das SETUP.

Im SETUP MENU drücken Sie die 2 für BACKGROUND CORRECTION.

In dem BACKGROUND CORRECTION SCREEN wählen Sie 1: PERFORM NOW.

Als Anzahl der Intervalle geben Sie 20 ein.

Folgen Sie den Anweisungen auf dem Rechnerbildschirm. Stellen sie sicher, dass das Zählrohr

auf ON und in der Position x1 steht. Drücken Sie ENTER, um die Hintergrundstrahlung zu




messen. Sie müssen 300 s lang warten (bei dieser Eingabe) während der Befehl ausgeführt

wird. Am Ende wird die Anzahl der Zerfälle pro Minute präsentiert. Diese Hintergrundstrahlung

wird automatisch von den Daten im Hauptexperiment abgezogen..

Zurück im SETUP MENU wählen Sie nochmals die 3: TIME GRAPH. Im TIME GRAPH SETTINGS

MENU wählen Sie 1: OK

Sie sind zurück im MAIN MENU. Sie sind jetzt fast mit den Vorbereitungen für das aktuelle

Experiment fertig.

Schütteln Sie den Protaktinium-Generator 10 Sekunden lang sehr fest und stellen Sie ihn vor

das Zählrohr (s. Foto und Beschreibung oben). Warten Sie 100 Sekunden lang, bis der

Generator im oberen Bereich eine Schicht Protaktinium gebildet hat. 

Und jetzt drücken Sie die 2: START.

Wenn das Experiment beendet ist, zeigt der Rechner einen Graphen an. Dabei stellt die y-

Achse die Anzahl der Zerfälle pro Minute in jedem Zeitintervall dar, die um die

Hintergrundstrahlung korrigiert wurden. Die y-Achse misst die Zeit in Sekunden.

Drücken Sie auf dem Rechner ENTER, um zum Hauptbild zurück zu gelangen. Dort drücken Sie

5: QUIT, um das DATARAD-Programm zu verlassen. Die Zählungen werden in Liste L2 und die

Zeitdaten in Liste L1 gespeichert.

Wenn Sie das Experiment nicht durchführen können, benutzen Sie die vorbereiteten Dateien

zur Analyse. 

Analyse mit dem TI83

Wenn Sie Probleme bei der Handhabung des Grafikrechners haben, nutzen Sie die Links. 

Zeitdaten (Einheit s) und die Zerfälle pro Minute abzüglich der Hintergrundstrahlung sind in

Liste L1


Zeichnen Sie die Anzahl der Zerfälle pro Minute versus Zeit in ein

Streudiagramm.

Studieren Sie den Graphen. Stimmt er mit Ihren Annahmen überein?

Sehen Sie sich die Datenaufzeichnung an. Finden Sie heraus, wie lange es

dauern wird, bis die Anzahl der Zerfälle pro Minute nur noch die Hälfte des

Anfangswerts beträgt.

Ist es möglich eine glättende Funktion an die Daten anzutragen? Welches

mathematische Modell könnte das sein? Finden Sie eine angemessene

Kurvenanpassung zu den Zerfallsdaten. Welche Regressionsgleichung passt?

Berechnen Sie mit Hilfe der Regressionsgleichung die Halbwertzeit des

Protaktinium Isotops. Stimmt Ihr Wert mit dem Tabellenwert überein? Wenn

nicht, versuchen Sie herauszufinden, woran das liegt.

Der Protaktiniumkern ist betaaktiv. Wenn er zerfällt strahlt er negative

Betateilchen aus. Schreiben Sie eine Formel für den Zerfallsprozess auf!

Nach dem theoretischen Modell ist die Zerfallsrate proportional zu der Anzahl der

Atomkerne, die zerfallen können. Falls Sie den theoretischen Hintergrund

kennen: Schreiben Sie die entsprechende Differentialgleichung, die zu dieser

Behauptung passt, auf und lösen Sie die Gleichung. Stimmt die Lösung mit Ihren

experimentell gewonnen Ergebnissen überein?



 

Wenn Sie Ihre Arbeit beendet haben können Sie Ihre Schlussfolgerungen mit der vollständigen

(Muster-)Analyse vergleichen.

Vollständige Analyse mit TI83

Das Datensets in der Datei RAD wird unten gezeigt. Es ist deutlich, dass die Zerfallsrate steigen

muss, da die Anzahl der aktiven Atomkerne sinkt. Nach einer - für viele Nukleonen relativ

langen Zeit - erreicht die Zerfallsrate Null.

Die Unterteilungsstriche auf der y-Achse sind bei jeweils 100 Ereignissen pro Minute und auf

der x-Achse bei jeweils 30 s. 

Versuchen Sie eine dem Augenschein nach passende Kurve zu den Datenpunkten zu finden.

Eine geglättete Kurve beginnt bei dem Zeitwert 0 mit ungefähr 750 Zählungen pro Minute. Die

Hälfte davon ist 375. Die Kurve schneidet eine horizontale Linie bei 375 Zählungen pro Minute

(ungefähr bei 70-80 Sekunden). Unsere Schätzung ergibt demnach eine Halbwertzeit von 70-

80 Sekunden.

Um eine Regressionskurve anzupassen, klicken Sie auf STAT, CALC und wählen exponential.

Übertragen Sie die Regressionsgleichung in den Y= editor , indem Sie Y1 als letzten Parameter

addieren. 

 

Die obige Bildschirmansicht zeigt die Regressionsgleichung. Unten erscheinen die Datenpunkte



zusammen mit der Regressionskurve. 

Die Halbwertzeit kann ganz einfach gefunden werden, indem wir eine Kurve zeichnen, die

horizontal - auf dem Level des halben Startwerts - verläuft, nämlich 722/2. Der Schnittpunkt

der beiden Funktionen kann mit dem Rechner ermittelt werden. Sehen Sie sich die folgenden




Ansichten an: 

 

Wie wir in dem rechten Bild sehen, liegt die Halbwertzeit bei 79 s. 



Dieser Wert stimmt annähernd mit dem Wert aus dem Tabellenblatt überein, der bei 70 s liegt.

Wenn Sie Ihre eigenen Daten benutzen, kann die Genauigkeit geringer sein. Aber das ist kein

Grund sich zu schämen ;). Da die Zerfallsrate rein statistischer Natur ist, ist es sehr

unwahrscheinlich, dass eine einzige Messsung ein exaktes Ergebnis liefert.

Die Zerfallsformel sieht wie folgt aus: 

Theoretisches Modell:

Wenn die Anzahl der aktiven Nukleonen in einem bestimmten Moment N ist, dann beträgt die

Zerfallsrate in diesem Moment 

. Wenn Sie sich über das negative Vorzeichen wundern,

überlegen Sie folgendes: da die Funktion abnimmt, ist die Ableitung negativ.

Die Zerfallsrate verhält sich proportional zu der Anzahl der aktiven Nukleonen, daher

, wobei 


λ eine positive Konstante ist. Die Differentialgleichung hat die Lösung

, wobei N



die Anzahl der Nukleonen bei dem Zeitwert Null ist. Das stimmt mit

unserem experimentellen Resultat überein.

Wenn T die Halbwertzeit ist, ist das die Zeit, zu der die Anzahl der Nukleonen die Hälfte des

Anfangswertes beträgt. Wir erhalten: 

.

die Lösung für T ergibt: 



.

Vergleichen Sie das mit der nummerischen Berechnung oben. 

Kommentare:

Das m in 

 bedeutet metastabil. Dieses Isotop hat eine Halbwertzeit von 1.17 Minuten.

Das ist ein Isomer von dem 

 - Isotop, das eine Halbwertzeit von 6.70 Stunden hat.

Sie können eine Atomkerntabelle mit mehr Informationen auf der Webseite

http://nucleardata.nuclear.lu.se/nucleardata/charts.asp finden.



Analyse mit Excel

Die Daten aus dem Experiment wurden mit dem Graph-Link-Verbindungskabel in ein Excel-

Tabellenblatt übertragen. Öffnen sie die Datei Halbwertzeit.

Zeitdaten (Einheit s) sind in Spalte A und die Zerfälle pro Minute abzüglich der

Hintergrundstrahlung in Spalte B gespeichert.

Zeichnen Sie die Anzahl der Zerfälle pro Minute versus Zeit in einer

Streuungsgrafik.

Studieren Sie den Graphen. Stimmt er mit Ihren Annahmen überein?

Sehen Sie sich die Datenaufzeichnung an und finden Sie heraus, wie lange es

dauern wird, bis die Anzahl der Zerfälle pro Minute nur noch die Hälfte des

Anfangswerts beträgt.

Ist es möglich eine glättende Funktion an die Daten anzutragen? Versuchen sie

herauszufinden, welches mathematische Modell geeignet sein könnte. Finden

Sie eine angemessene Kurvenanpassung zu den Zerfallsdaten. Welche

Regressionsgleichung passt?

Berechnen Sie mit Hilfe der Regressionsgleichung die Halbwertzeit des

Protaktinium Isotops. Stimmt Ihr Wert mit dem Tabellenwert überein? Wenn

nicht, versuchen Sie herauszufinden, woran das liegt.

Der Protaktiniumkern ist betaaktiv. Wenn er zerfällt strahlt er negative

Betateilchen aus. Schreiben Sie eine Formel für den Zerfallprozess auf!

Nach dem theoretischen Modell ist die Zerfallsrate proportional zu der Anzahl der

Atomkerne, die zerfallen können. Falls Sie den theoretischen Hintergrund

kennen: Schreiben Sie die entsprechende Differentialgleichung, die zu dieser

Behauptung passt, auf und lösen Sie die Gleichung. Stimmt die Lösung mit Ihren

experimentell gewonnen Ergebnissen überein?

 

Wenn Sie Ihre Arbeit beendet haben können Sie Ihre Schlussfolgerungen mit der vollständigen



(Muster-)Analyse vergleichen. 


Vollständige Analyse mit Excel 

Die Grafik der Datenreihen in der Datei half_life.xls wird unten gezeigt. Wir sehen, dass die

Zerfallsrate steigen muss, da die Anzahl der aktiven Atomkerne sinkt. Nach einer - für viele

Nukleonen relativ langen Zeit - erreicht die Zerfallsrate Null..

Versuchen Sie eine dem Augenschein nach passende Kurve zu den Datenpunkten zu finden.

Eine geglättete Kurve beginnt bei dem Zeitwert 0 mit ungefähr 750 Zählungen pro Minute. Die

Hälfte davon ist 375. Die Kurve schneidet eine horizontale Linie bei 375 Zählungen pro Minute

(ungefähr bei 70-80 Sekunden). Unsere Schätzung ergibt demnach eine Halbwertzeit von 70-

80 Sekunden.

Um eine Regressionskurve anzutragen, klicken Sie mit der rechten Maustaste auf einen der

Datenpunkte. Wählen Sie Trendlinie hinzufügen. Wählen sie die exponentielle Darstellung und

die Darstellung der Regressionsgleichung in dem Diagramm.

Wie wir in dem Diagramm in der Regressionsgleichung sehen ist y = 722.13*exp(-0.0088x).

Die Halbwertzeit kann mit der Gleichung 722,13/2 = 722,13*exp(-0.0088x) berechnet




werden, die vereinfacht, zu 0,5 = exp(-0,0088x) or x = (ln 2)/0,0088 wird. Damit erhalten wir

den Wert von x, der annähernd 79 Sekunden beträgt. Dieser Wert stimmt gut mit dem Wert

aus dem Tabellenblatt überein, der bei 70 s liegt. Wenn Sie Ihre eigenen Daten benutzen, kann

die Genauigkeit geringer sein. Aber das ist kein Grund sich zu schämen ;) Da die Zerfallsrate

rein statistischer Natur ist, ist es sehr unwahrscheinlich, dass eine einzige Messsung ein

exaktes Ergebnis liefert.

Die Zerfallsformel sieht wie folgt aus:

.

Theoretisches Modell:



Wenn die Anzahl der aktiven Nukleonen in einem bestimmten Moment N ist, dann beträgt die

Zerfallsrate in diesem Moment 

. Wenn Sie sich über das negative Vorzeichen wundern,

überlegen Sie folgendes: da die Funktion abnimmt, ist die Ableitung negativ.

Die Zerfallsrate verhält sich proportional zu der Anzahl der aktiven Nukleonen, daher

, wobei 


λ eine positive Konstante ist. Die Differentialgleichung hat die Lösung

, wobei N



die Anzahl der Nukleonen bei dem Zeitwert 0 ist. Das steht in

Übereinstimmung mit unserem experimentellen Resultat.

Wenn T die Halbwertszeit ist, ist das die Zeit, wenn die Anzahl der Nukleonen die Hälfte des

Anfangswertes beträgt, wir bekommen: 

.

die Lösung für T ergibt: 



.

Vergleichen Sie das mit der nummerischen Berechnung oben. 

Kommentare:

Das m in 

 bedeutet metastabil. Dieser Isotop hat eine Halbwertzeit von 1,17 Minuten.

Das ist ein Isomer von dem 

 - Isotop, das eine Halbwertzeit von 6,70 Stunden hat.

Sie können eine Atomkerntabelle mit mehr Informationen auf der Webseite



http://nucleardata.nuclear.lu.se/nucleardata/charts.asp finden.

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