Dinamika dinamikanın Ysas mYsYlYlYri vY qanunları

3.9.2. NцqtYyY nYzYrYn YtalYt momenti
Cismin hYr hansı nцqtYsinY nYzYrYn YtalYt momenti csimin nцqtYlYrinin kьtlYlYri ilY onların nцqtYsindYn olan mYsafYlYri – nin kvadratları hasilinY bYrabYrdir

(3.20)

ŞYkildYn gцrьndьyь kimi

Bunu yuxarıdakı ifadYdY yerinY yazdıqda alarıq:

Oxlara nYzYrYn YtalYt momentlYrinin ifadYlYrini tYrYf-tYrYfY toplayaraq alarıq

DemYli

(3.21)

Cisim yastı olduqda (şYk. 3.11) onda onun bir цlзьsь зox nazik olduğu ьзьn nYzYrY alınmır. Bu halda cismin koordinat oxlarına nYzYrYn YtalYt momentlYri

; (3.22)

ŞYk. 3.11

Koordinat başlanğıcına nYzYrYn YtalYt momenti

(3.23)

olar.

Sonsuz kiзik kьtlYlYri ilY yuxarıdakı ifadYlYr belY yazılır:

; ; (3.24)
3.9.3. Paralel oxlara nYzYrYn YtalYt momentlYri
BYrk cismin hYr hansı oxuna nYzYrYn YtalYt momenti onun bu oxa paralel olan vY ağırlıq mYrkYzindYn– kьtlYlYr mYrkYzindYn keзYn vY oxuna paralel olan oxuna nYzYrYn YtalYt momenti ilY cismin kьtlYsinin ( ) oxlar arasındakı mYsafYnin ( ) kvadratına hasilinin cYminY bYrabYrdir

(3.24)

Burada belY nYticY зıxır ki, bYrk cismin ağırlıq mYrkYzindYn keзYn oxa nYzYrYn YtalYt momenti Yn kiзik YtalYt momenti olur.

3.9.4. SadY formalı cisimlYrin YtalYt momentlYri
1. Зubuğun YtalYt momenti.

Зubuğun materialının sıxlığı– vahid kьtlYsi olarsa, onda onun elementar kьtlYsi olar. Onda зubuğun ağırlıq mYrkYzindYn keзYn nYzYrYn (şYk.3.12) YtalYt momenti:

ŞYk.3.12
olduğu ьзьn

(3.25)

olar.

DemYli зubuğun ağırlıq mYrkYzindYn keзYn oxa nYzYrYn YtalYt momenti onun kьtlYsi ilY uzunluğunun kvadratının hasilinin –nY bYrabYrdir.

2. DairYvi silindr (şYk. 3.13). KьtlYsi , radiusu , hьndьrlьyь olan bir silindr gцtьrYk. Onun oxuna nYzYrYn YtalYt momenti

ŞYk. 3.13

olar. ЏgYr silindrin vahid kьtlYsi olarsa, onda elementar silindrin kьtlYsi

olar. QiymYti yerinY qoysaq

olduğu ьзьn yazmaq olar:

(3.26)
3.10. NцqtY vY sistemin hYrYkYt miqdarının dYyişmYsi teoremlYri

3.10.1 NцqtY vY sistemin hYrYkYt miqdarı
Maddi nцqtYnin hYrYkYt miqdarı onun kьtlYsi ilY sьrYt vektorunun hasilinY bYrabYrdir– .

Sistemin hYrYkYt miqdarı onun nцqtYlYrinin hYrYkYt miqdarlarının hYndYsi cYminY bYrabYr olan vektorial kYmiyyYtdir

(3.27)

Sistemin hYrYkYt miqdarının koordinat oxları ьzYrinY proyeksiyaları onun nцqtYlYrinin hYrYkYt miqdarının hYmin oxlar ьzYrinY proyeksiyalarının cYbri cYminY bYrabYrdir.

; ; (3.28)

Bilirik ki, sistemin ağırlıq mYrkYzinin koordinatları aşağıdakı dьsturlarla mьYyyYn olunur:

; ;

Burada – cismin nцqtYlYrinin kьtlYlYri vY koordinatlarıdır; – nцqtYlYr sisteminin– cismin ьmumi kьtlYsidir.

Bu bYrabYrliklYrdYn zamana gцrY tцrYmY alaq:

; ; (3.30)

NYzYrY alsaq ki, koordinatın zamana gцrY tцrYmYlYri nцqtYnin uyğun oxlar ьzYrinY proyeksiyalarıdır, onda (3.30)-u belY yazmaq olar:

; ; (3.31)

(3.28) vY (3.31) -in mьqayisYsindYn alınır

(3.32)

vY ya

(3.33)

DemYli, ixtiyari sistemin hYrYkYt miqdarı onun ağırlıq mYrkYzinin hYrYkYt miqdarına bYrabYrdir.

3.10.2. QьvvY impulsu
Sabit qьvvYnin mьYyyYn vaxt YrzindYki impulsu qьvvYnin vektorunun zamana hasilinY bYrabYrdir

(3.34)

QьvvYnin sonsuz kiзik vaxt YrzindYki impulsu isY:

(3.35)

Bu ifadYni inteqrallasaq, alarıq:

QьvvYni proyeksiyaları ilY yazanda alarıq

; ; (3.36)

Sabit qьvvY ьзьn

; ; (3.37)
3.10.3 Maddi nцqtYnin hYrYkYt miqdarının dYyişmY teoremi
Dinamikanın Ysas tYnliyindY tYcil YvYzinY sьrYtin tцrYmYsini yazdıqda alarıq:

(3.38)

nцqtYnin hYrYkYt miqdarı olduğunu nYzYrY alsaq, demYk olar:

NцqtYnin hYrYkYt miqdarının zamana gцrY tцrYmYsi nцqtYyY tYsir edYn qьvvYyY bYrabYrdir. (3.38) ifadYsini inteqrallayaq:

(3.39)

Buradan

(3.40)

DemYli, maddi nцqtYnin hYrYkYt miqdarının mьYyyYn vaxt YrzindY dYyişmYsi hYmin vaxt YrzindY nцqtYyY tYsir edYn qьvvYnin impulsuna bYrabYrdir. (3.39) ifadYsi proyeksiyalarla belY yazılır:

; ; (3.41)
3.10.4. Sistemin hYrYkYt miqdarının dYyişmYsi teoremi
Maddi nцqtYyY tYsir edYn xarici qьvvYlYrin YvYzlYyicisini , daxili qьvvYlYrin YvYzlYyicisini olarsa, hYrYkYt miqdarının dYyişmYsi teoreminY YsasYn (3.38) yazmaq olar:

Onda sistem ьзьn yazmaq olar:

(3.42)

vY olduğu ьзьn yazmaq olar:

(3.43)

Sistemin daxili qьvvYlYrinin YvYzlYyicisi olduğu ьзьn son nYticYdY yazmaq olar:

(3.44)

DemYli, sistemin hYrYkYt miqdarının zamana gцrY tцrYmYsi sistemY tYsir edYn xarici qьvvYlYrin baş vektoruna bYrabYrdir. (3.44)-ьn hYr iki tYrYfini -yY vurub inteqrallayaq:

(3.45)

Buradan sistemin hYrYkYt miqdarının dYyişmYsi teoreminin belY ifadYsini alırıq.

Sistemin hYrYkYt miqdarının mьYyyYn zaman YrzindY dYyişmYsi hYmin vaxt YzindY sistemY tYsir edYn xarici qьvvYlYrin impusları cYminY bYrabYrdir.

(3.45) tYnliyini proyeksiyalarla belY yazmaq olar:

(3.46)
3.11. Sistemin hYrYkYt miqdarının saxlanması teoremi
SistemY tYsir edYn xarici qьvvYlYrin baş vektoru olarsa, onda sistemin hYrYkYt miqdarı, (3.44)-dYn gцrьndьyь kimi, olar. Buradan hYrYkYt miqdarının saxlanması teoremi meydana зıxır:

SistemY tYsir edYn xarici qьvvYlYrin baş vektoru mьYyyYn bir vaxt YrzindY sıfra bYrabYr olarsa, hYmin vaxt YrzindY sistemin hYrYkYt miqdarı dYyişmYz qalar.

Bunu hYrYkYt miqdarının proyeksiyaları ьзьn dY demYk olar:

ЏgYr mьYyyYn vaxt YrzindY sistemY tYsir edYn xarici qьvvYlYrin baş vektorunun hYr hansı bir ox ьzYrinY proyeksiyası sıfra bYrabYr olursa, hYmin vaxt YrzindY sistemin hYrYkYt miqdarının hYmin ox ьzYrinY proyeksiyası dYyişmYz qalır:

Bu qanundan belY nYticY зıxır ki, YgYr sistemY xarici qьvvYlYr tYsir etmirsY, daxili qьvvYlYr onun hYrYkYt miqdarını dYyişY bilmYz.
3.12. Sistemin kьtlYlYr mYrkYzinin hYrYkYti haqqında teorem
Sistemin hYrYkYt miqdarının dYyişmYsi teoreminY YsasYn

DigYr tYrYfdYn sistemin hYrYkYt miqdarı

Bunu yuxarıda yerinY qoysaq, alarıq

vY ya

(3.47)

Bu tYnliyin hYr iki tYrYfini koordinat oxları ьzYrinY proyerktlYndirsYk, alarıq

; ; (3.48)

(3.47) tYnliyi sistemin kьtlYlYr mYrkYzinin hYrYkYtinin vektor formasında (3.48) isY skalyar formasında hYrYkYt tYnliklYridir. Bu tYnliklYrin dinamikanın Ysas tYnliyi ilY ( ) mьqayisYsindYn kьtlYlYr mYrkYzinin hYrYkYti ьзьn aşağıdakı teoremi alırıq:

HYr hansı sistemin kьtlYlYr mYrkYzi sistemY tYsir edYn bьtьn qьvvYlYrin tYtbiq olunduğu vY kьtlYsi bьtьn sistemin kьtlYsinY ( ) bYrabYr olan bir maddi nцqtY kimi hYrYkYt edir.

3.13. NцqtYnin hYrYkYt miqdarı momentinin dYyişmYsi teoremi

3.13.1. NцqtYnin hYrYkYt miqdarının nцqtY vY oxa nYzYrYn momentlYri
NцqtYnin hYrYkYt miqdarının hYr hansı nцqtYyY vY oxa nYzYrYn momenti qьvvYnin momentlYri kimi tapılır. nцqtYsinin hYrYkYt miqdarının hYr hansı bir nцqtYsinY nYzYrYn momenti kimi işarY olunur. Bu vektor hYrYkYt miqdarı vektorunun vY nцqtYsinin yerlYşdiyi mьstYviyY perpendikulyar olub elY yцnYlir ki, onun sonundan hYmin mьstYviyY baxdıqda vektoru nцqtYsinY nYzYrYn saat YqrYbinin Yksi istiqamYtindY fırlanma versin. Bu vektor:

(3.49)

Burada – nцqtYsinin radius-vektorudur. vektorunun modulu belY tapılır:

(3.50)

burada – moment mYrkYzi nцqtYsindYn vektorunun tYsir xYttinY qYdYr Yn qısa mYsafY.

HYrYkYt miqdarının oxuna nYzYrYn momenti hYrYkYt miqdarının ox ьzYrindY gцtьrьlmьş ixtiyari nцqtYsinY nYzYrYn momentinin hYmin ox ьzYrinY proyeksiyasına bYrabYrdir

(3.51)

burada – vektoru ilY oxu arasındakı bucaqdır.

3.13.2. NцqtYnin hYrYkYt miqdarı momentinin dYyişmYsi teoremi

Tutaq ki, kьtlYsi olan maddi nцqtYsi qьvvYsinin tYsiri altında hYrYkYt edir (şYk.3.14).

ŞYk. 3.14

Bu nцqtYnin hYrYkYt miqdarının nцqtYsinY nYzYrYn momenti belYdir:

Bu ifadYlYri zamana gцrY tцrYmY alaq:

burada , onda

olur.

NцqtYnin hYrYkYt miqdarı teoreminY YsasYn (3.38) bilirik ki,

QiymYtlYri yerinY qoyduqda alırıq

(3.52)

Buradan nцqtYnin hYrYkYt miqdarı momentinin dYyişmYsi teoremini alırıq:

Maddi nцqtYnin verilmiş tYrpYnmYz mYrkYzY nYzYrYn hYrYkYt miqdarının zamana gцrY tцrYmYsi nцqtYyY tYsir edYn qьvvYnin hYmin mYrkYzY nYzYrYn momentinY bYrabYrdir. (3.49) ifadYsini koordinat oxları ьzYrinY proyeksiyalasaq, alarıq:

(3.53)

Buradan aşağıdakı nYticYni alırıq:

Maddi nцqtYnin verilmiş tYrpYnmYz oxa nYzYrYn hYrYkYt miqdarı momentindYn zaman gцrY alınmış tцrYmY hYmin nцqtYyY tYsir edYn qьvvYnin bu oxa nYzYrYn momentinY bYrabYrdir.
3.14. Sistemin kinetik momentinin dYyişmYsi haqqında teorem

3.14.1. Sistemin mYrkYzY vY oxa nYzYrYn kinetik momenti
Sistemin hYr hansı mYrkYzinY nYzYrYn kinetik momenti sistemin hYrYkYt miqdarının hYmin nцqtYyY nYzYrYn baş momentinY bYrabYrdir. Başqa sцzlY, sistemin kinetik momenti sistemin bьtьn nцqtYlYrinin hYrYkYt miqdarlarının hYmin mYrkYzY nYzYrYn momentlYrinin hYndYsi cYminY bYrabYrdir

(3.54)

Sistemin hYr hansı oxuna nYzYrYn kinetik momenti sistemin hYrYkYt miqdarının hYmin oxa nYzYrYn baş momentinY bYrabYrdir. Başqa sцzlY, sistemin hYr hansı oxuna nYzYrYn kinetik momenti sistemin nцqtYlYrinin hYrYkYt miqdarlarının hYmin oxa nYzYrYn momentlYrinin cYbri cYminY bYrabYrdir:

(3.55)

Sistemin hYr hansı bir mYrkYzY nYzYrYn kinetik momentinin bu mYrkYzdYn keзYn hYr hansı bir ox ьzYrinY proyeksiyası sistemin hYmin oxa nYzYrYn kinetik momentinY bYrabYrdir:

(3.56)
3.14.2. BYrk cismin fırlanma oxuna nYzYrYn kinetik momenti
Tutaq ki, bYrk cisim oxu Ytrafında bucaq sьrYti ilY fırlanır (şYk. 3.15).

ŞYk.3.15

Bu sistemin oxuna nYzYrYn kinetik momenti (3.55)-Y YsasYn:

olur.

Cismin hYr hansı nцqtYsinin oxuna nYzYrYn kinetik momenti

DigYr tYrYfdYn (3.51) dьsturuna YsasYn nцqtYnin oxa nYzYrYn kinetik momenti

olmalıdır.

Baxılan halda ; ; olduğunu nYzYrY alsaq, yazmaq olar:

Onda fırlanan cismin bьtьn nцqtYlYrinin bucaq sьrYtlYrinin eyni olduğunu nYzYrY alaraq sistemin– bYrk cismin fırlanma oxuna nYzYrYn kinetik momenti ьзьn aşağıdakı ifadYni alırıq:

Bilirik ki, (3.20) dьsturuna YsasYn fırlanma oxuna nYzYrYn YtalYt momenti -dir (baxılan halda ). Onda cismin fırlanma oxuna nYzYrYn kinetik momenti ьзьn son nYticYdY aşağıdakı ifadYni alırıq:

(3.57)

DemYli, fırlanan bYrk cismin fırlanma oxuna nYzYrYn kinetik momenti onun hYmin oxa nYzYrYn YtalYt momenti ilY onun bucaq sьrYtinin hasilinY bYrabYrdir.

3.14.3. Sistemin kinetik momentinin dYyişmYsi teoremi
maddi nцqtYsinin hYrYkYt miqdarının nцqtYsinY nYzYrYn momentinin dYtişmYsi ьзьn (3.52)-yY YsasYn yazmaq olar:

Burada – maddi nцqtYyY tYsir edYn xarici qьvvlYrin YvYzlYyicisi; – maddi nцqtYyY tYsir edYn daxili qьvvYlYrin YvYzlYyicisi.

Sistemin bьtьn nцqtYlYri ьзьn bu cьr ifadYlYri yazıb tYrYf-tYrYfY toplasaq, alarıq:

Burada – maddi nцqtYlYr sisteminY tYsir edYn xarici qьvvYlYrin tYrpYnmYz nцqtYsinY nYzYrYn momentlYrinin hYndYsi cYmi vY ya baş momentidir. Bu momenti ilY işarY edYk. – sistemin daxili qьvvYlYrinin nцqtYsinY nYzYrYn baş momentidir. Bilirik ki, sistemin daxili qьvvYlYrinin hYr hansı nцqtYyY nYzYrYn baş momenti (3.15) dьsturuna YsasYn sıfra bYrabYr olur. QiymYtlYri yerinY qoysaq, alarıq:

(3.58)

Bu ifadY sistemin kinetik momentinin dYyişmYsi teoremini ifadY edir.

DemYli, maddi nцqtYlYr sisteminin verilmiş tYrpYnmYz mYrkYzinY nYzYrYn kinetik momentinin zamana gцrY tцrYmYsi sistemY nYzYrYn baş momentinY bYrabYrdir.

Bu teorem koordinat formasında belY ifadY olunur:

; ; (3.59)

Burada ; ; – sistemY tYsir edYn xarici qьvvYlYrin mYrkYzinY nYzYrYn baş momentinin bu mYrkYzdYn keзYn koordinat oxları ьzYrinY proyeksiyalarıdır.

Kinetik momentin dYyişmYsi teoremini hYm dY sistemin tYrpYnmYz oxlarına nYzYrYn kinetik momentlYri ilY dY ifadY etmYk olar:

; ; (3.60)

DemYli, maddi nцqtYlYr sisteminin verilmiş tYrpYnmYz oxa nYzYrYn kinetik momentinin zamana gцrY tцrYmYsi sistemY tYsir edYn xarici qьvvYlYrin bu oxa nYzYrYn baş momentinY bYrabYrdir.

3.15. Sistemin kinetik momentinin saxlanması teoremi
(3.57) ifadYsindYn gцrьnьr ki, olduqda

olur. DemYli, YgYr xarici qьvvYlYrin hYr hansı mYrkYzY nYzYrYn baş momenti sıfra bYrabYr olursa, onda sistemin hYmin mYrkYzY nYzYrYn kinetik momenti dYyişmYz qalır– saxlanır.

(3.58) ifadYlYrindYn gцrьnьr ki, ; ; olduqda ; ; olur. Buradan kinetik momentin saxlanması teoreminin digYr ifadYsi alınır.

ЏgYr hYr hansı zaman YrzindY sistemY tYsir edYn xarici qьvvYlYrin hYr hansı tYrpYnmYz oxa nYzYrYn baş momenti sıfra bYrabYr qalarsa, hYmin vaxt YrzindY sistemin hYmin oxlara nYzYrYn kinetik momenti saxlanır– dYyişmYz qalır.

3.16. BYrk cismin tYrpYnmYz ox Ytrafında fırlanma hYrYkYtinin

diferensial tYnliyi
FYrz edYk ki, bYrk cisim ona tYtbiq edilmiş qьvvYlYrinin tYsiri altında oxu Ytrafında bucaq sьrYti ilY fırlanır. Sistemin kinetik momentinin dYyişmYsi teoreminY YsasYn (3.60) yazmaq olar:

DigYr tYrYfdYn bilirik ki, cismin oxuna nYzYrYn kinetik momenti (3.57):

QiymYti yerinY qoyduqda, alırıq

– xarici qьvvYlYrin oxuna nYzYrYn baş momentidir. Bu momenti ilY işarY etsYk yaza bilYrik

(3.61)

Bu tYnlik bYrk cismin fırlanma mYrkYzinin diferensial tYnliyi adlanır.

DemYli, cismin fırlanma oxuna nYzYrYn YtalYt momentinin onun bucaq tYcilinY hasili cismY tYtbiq edilmiş bьtьn xarici qьvvYlYrin hYmin oxa nYzYrYn baş momentinY bYrabYrdir.

3.17. Fiziki rYqqas
Ağırlıq qьvvYsinin tYsiri altında, ağırlıq mYrkYzindYn keзmYyYn horizontal ox Ytrafında fırlanan cismY fiziki rYqqas deyilir.

Cismin ağırlıq mYrkYzindYn keзYn vY fırlanma oxuna perpendikulyar olan bir mьstYvi kцзьrYk (şYk.3.16).

RYqqasın vYziyyYti vertikal oxa nYzYrYn bucağı ilY mьYyyYn edilir.

Fırlanma oxundan keзYn vY hYrYkYt mьstYvisinY perpendikulyar olan oxa nYzYrYn YtalYt momentini işarY edYk. RYqqasın ağırlığı onun ağırlıq mYrkYzi nцqtYsinin fırlanma oxundan mYsafYsini ilY işarY edYk.

TYrpYnmYz ox Ytrafında fırlanan cismin diferensial tYnliyinY YsasYn (3.61)

(3.62)

Gцrьndьyь kimi, bu dьsturda xarici qьvvY kimi yalnız ağırlıq qьvvYsi nYzYrY alınmışdır, зьnki rYqqasın dayaq reaksiya qьvvYsi onun asqı nцqtYsi -dan keзdiyi ьзьn o bu nцqtYdYn keзYn oxuna nYzYrYn moment vermir.

(3.62)-dY mYnfi işarYsi ona gцrY yazılır ki, oxa nYzYrYn momentin işarYsi hYmişY bucağının işarYsinin YksinY olur.

RYqqasın kiзik rYqslYrinY baxdıqda qYbul oluna bilYr. Onda fiziki rYqqasın hYrYkYt tYnliyi belY olar.

(3.63)

Bu tYnliyin hYr iki tYrYfini -Y bцlьb ilY işarY etsYk, alarıq

(3.64)

Bu tYnliyin hYllindYn

(3.65)

(3.65) fiziki rYqqasın kiзik rYqslYrinin qanunudur. Burada – rYqqasın başlanğıc vYziyyYtdY mьvazinYt vYzyyYtindYn (vertikal oxdan) asma oxu Ytrafında dцnmY bucağıdır.

Indi rYqslYrin periodunu tapaq.

RYqslYrin dairYvi tezliyi ( saniyY YrzindY rYqslYrin sayıdır) olduğunu yuxarıda qYbul etmişdik. Onda rYqslYrin periodu

(3.66)

olar.
3.18. BYrk cismin yastı-mьstYvi hYrYkYtinin diferensial tYnliyi

Bildiyimiz kimi, cismin mьstYvi-yastı hYrYkYt tYnliklYri (2.49) aşağıdakı şYkildY verilir.

Burada ; – qьtb edilmiş nцqtYsinin tYrpYnmYz sistemY nYzYrYn koordinatları; –cismin qьtb Ytrafında dцnmY bucağıdır. Qьtb nцqtYsi kimi cismin ağırlıq mYrkYzi nцqtYsi gцtьrьldьkdY hYrYkYt tYnliklYri daha sadY alınır.

Tutaq ki, cisim qьvvYlYrinin tYsiri altında yastı-paralel hYrYkYt edir. Cismin ağırlıq mYrkYzinin hYrYkYt tYnliklYrinY YsasYn (3.48) bilirik ki,

;

Burada –cismin kьtlYsidir; – cismin ağırlıq mYrkYzinin koordinatlarıdır.

BYrk cismin ağırlıq mYrkYzindYn keзYn vY hYrYkYt mьstYvisinY perpendikulyar olan ox Ytrafında fırlanma hYrYkYti ьзьn isY (3.61) dьsturlarına YsasYn yaza bilYrik:

Burada – ağırlıq mYrkYzindYn keзYn vY hYrYkYt mьstYvisinY perpendikulyar olan oxa nYzYrYn cismin YtalYt momenti; – cismY tYsir edYn qьvvYlYrin ağırlıq mYrkYzinY nYzYrYn momentlYrinin cYbri cYmi– baş momentidir.

BelYliklY, cismin yastı-paralel hYrYkYtinin diferensial tYnliklYri aşağıdakı şYkil alır:

; ; (3.66)
3.19. QьvvYnin işi vY gьcь

3.19.1 QьvvYnin işi
QьvvYnin elementar işi qьvvYnin vektoru ilY onun tYtbiq nцqtYsinin elementar yerdYyişmY vektorunun skalyar hasilinY bYrabYrdir:

(3.67)

Bilirik ki, nцqtYnin elementar yerdYyişmYsi onun radius-vektorunun elementar dYyişmYsinin moduluna bYrabYr olur:

Elementar yerdYyişmY vektoru isY hYmişY nцqtYnin sьrYt vektoru ilY ьst-ьstY dьşьr. Onda (3.67) ifadYsini belY yazmaq olar:

(3.68)

ŞYk. 3.17

(3.68)-dYn gцrьnьr ki, YgYr qьvvY vektoru ilY sьrYt vektoru arasındakı bucaq iti olarsa, iş mьsbYt, kor olarsa, mYnfi olur. Bilirik ki, nцqtYnin sьrYti

Buradan

Bu ifadYni (3.67)-dY yerinY qoysaq, alarıq:

(3.69)

QьvvY vektoru vY sьrYt vektorlarını proyeksiyaları ilY yazdıqda (3.69) aşağıdakı şYklY dьşьr:

(3.70)

Burada – qьvvYnin proyeksiyaları; – nцqtYnin koordinatlarının elementar artımları.

DemYli, qьvvYnin elementar işi onun koordinat oxları ьzYrinY proyeksiyaları ilY onun uyğun koordinatların artımlarının hasilinY bYrabYrdir.

HYr hansı sonlu yerdYyişmYsindY (şYk. 3.17) işi tYyin etmYk ьзьn (3.68) ifadYsini inteqrallamaq lazımdır

(3.71)

Cismin ağırlıq qьvvYsinin işi onun ağırlıq mYrkYzinin hYrYkYt trayektoriyasından asılı deyil. Bu iş ağırlıq mYrkYzinin vertikal istiqamYtindY yerdYyişmYsi ilY cismin ağırlığının hasilinY bYrabYrdir.

(3.72)

ЏgYr hYrYkYt zamanı ağırlıq mYrkYzi dьşьrsY bu iş mьsbYt, qalxırsa mYnfi olur.

DYyişmYz sistemin daxili qьvvYlYrinin işi sistemin hYrYkYtindYn asılı olmayaraq hYmişY sıfra bYrabYr olur.

Fırlanan cismY tYtbiq olunmuş qьvvYnin elementar işi qьvvYnin fırlanma oxuna nYzYrYn momenti ilY onun elementar dцnmY bucağı hasilinY bYrabYrdir.

(3.73)

vY – nin işarYlYri eyni olduqda bu iş mьsbYt, Yks olduqda isY mYnfi olur. Sonlu yerdYyişmYdY isY bu qьvvYnin işini tYyin etmYk ьзьn yuxarıdakı ifadYni inteqrallamaq lazımdır

(3.74)
Elastiklik qьvvYsinin işi
Tutaq ki, gYrilmYmiş vYziyyYtdY sYrtliyi olan yayın uzunluğu -dır (şYk. 3.18). Yayın ucu nцqtYsinY dYyişYn qьvvYsi tYtbiq edildikdY yay qYdYr deformasiya olunur vY yayın ucu nцqtYsinY gYlir. Aydındır ki, hYr bir anda dYyişYn qьvvYsi yayın hYmin andakı gYrilmY qьvvYsinY– elastiklik qьvvYsinY bYrabYr olmalıdır. YYni

ŞYk. 3.18

Bu elastiklik qьvvYsini elementar işi

(3.75)

olur.

Aydındır ki, elastiklik qьvvYlYri hYmişY mьqavimYt qьvvYlYri olur– yYni onların istiqamYti hYmişY yerdYyişmYnin– deformasiyanın YksinY olur. Odur ki, işinin işarYsi hYmişY mYnfi olur.

(3.75) ifadYsini mYsafYsindY inteqrallasaq, qьvvYsinin hYmin mYsafYdY gцrdьyь işi almış oluruq:

(3.76)

Yayın sıxılıması zamanı da elastiklik qьvvYlYrinin işi (3.76) dьsturu ilY tYyin edilir.