Dinamika dinamikanın Ysas mYsYlYlYri vY qanunları

3.19.2 QьvvYnin gьcь
QьvvYnin vahid zamanda gцrdьyь işY gьc deyilir

(3.78)

Burada qьvvYnin elementar işini (3.67) yerinY qoyduqda, alırıq:

(3.79)

Burada –qьvvYnin tYtbiq nцqtYsinin radius-vektoru, – qьvvYnin tYtbiq nцqtYsinin sьrYt vektorudur.

Gьcьn vahidi vattdır (Vt). Vatt saniyYdY bir coul iş gцrYn qьvvYnin gьcьnY deyilir (Coul– qьvvYnin 1m yolda gцrdьyь işdir).

ЏgYr qьvvY fırlanan cismY tYtbiq olunubsa, onda (3.78)-dY fırlanan qьvvYnin elementar işini (3.73) yerinY qoymaq lazımdır. Bu halda fırlanan cismY tYtbiq qьvvYnin gьcь ьзьn aşağıdakı ifadYni alırıq:

DemYli, fırlanan cismY tYtbiq edilmiş qьvvYnin gьcь bu qьvvYnin fırlanma oxuna nYzYrYn momenti ilY cismin bucaq sьrYtinin hasilinY bYrabYrdir.

3.20. NцqtY vY sistemin kinetik enerjisinin dYyişmYsi teoremi

3.20.1. NцqtYnin kinetik enerjisinin dYyişmYsi teoremi
Tutaq ki, maddi nцqtY trayektoriya ьzrY hYrYkYt edYrYk vYziyyYtindYn vYziyyYtinY keзmişdir (şYk. 3.19).

ŞYk. 3.19

Maddi nцqtYnin kьtlYsi , ona tYtbiq edilmiş qьvvY vY onun tYcili olduqda bu nцqtY ьзьn dinamikanın Ysas tYnliyi (3.1) belY yazılar

Bu tYnliyi trayektoriyanın toxunanı ьzYrinY proyektlYndirYk:

NцqtYnin toxunan tYcili bilirik ki, belY tapılır:

Bu qiymYti yerinY qoysaq, alarıq:

Bu tYnliyin hYr iki tYrYfini elementar yerdYyişmYyY vuraq:

Bilirik ki, . Onda

Bu ifadYnin hYr iki tYrYfini inteqrallayaq

(3.80)

Burada – nцqtYnin qцvsь boyunca hYrYkYti zamanı gцrьlYn iş; – maddi nцqtYnin, hYrYkYtin başlanğıcında vY sonundakı kinetik enerjisi; – maddi nцqtYnin hYrYkYtin başlanğıc vY sonundakı sьrYtidir.

(3.80) ifadYsi maddi nцqtYnin kinetik enerjisinin dYyişmYsi teoremini ifadY edir.

DemYli, maddi nцqtYnin hYr hansı bir yerdYyişmYdY kinetik enerjisinin dYyişmYsi hYmin yerdYyişmYdY nцqtYyY tYsir edYn qьvvYnin işinY bYrabYrdir.

3.20.2. Sistemin kinetik enerjisinin dYyişmYsi teoremi
Maddi nцqtYlYr sisteminin nцqtYsinin kinetik enerjisinin dYyişmYsi ьзьn (3.80) dьsturuna YsasYn yazmaq olar:

Burada – nцqtYsinY tYtbiq edilmiş qьvvYlYrin YvYzlYyicisinin baxılan yerdYyişmYdYki işi; – nцqtYsinin yerdYyişmYsinin başlanğıcı vY sonundakı sьrYtlYridir.

Sistemi tYşkil edYn bьtьn nцqtYlYr ьзьn bu dьsturu yazıb tYrYf-tYrYfY toplasaq, onda sistemin kinetik enerjisinin dYyişmYsi ьзьn aşağıdakı ifadYni alarıq:

(3.81)

Burada – sistemin, baxılan hYrYkYtin başlanğıcı vY sonundakı kinetik enerjisidir. Bu enerjilYri uyğun olaraq vY ilY işarY etsYk, onda sistemin kinetik enerjisinin dYyişmYsi teoremi ьзьn aşağıdakı ifadYni alarıq:

(3.82)

DemYli, sistemin baxılan yerdYyişmYdY kinetik enerjisinin dYyişmYsi ona tYsir edYn qьvvYlYrin (hYm xarici vY hYm dY daxili) gцrdьklYri işlYrin cYbri cYminY bYrabYrdir.

Gцrьndьyь kimi hYrYkYt miqdarının dYyişmYsi teoremindYn fYrqli olaraq kinetik enerjinin dYyişmYsi teoremindY daxili qьvvYlYrdY iştirak edir. Sistemin iki nцqtYsinin qarşılıqlı tYsir qьvvYsi, daxili qьvvY olaraq modulca bYrabYr istiqamYtdY Yks olur vY onların hYndYsi cYmi sıfra bYrabYr olur. Lakin YgYr bu qьvvYlYrin tYsirindYn nцqtYlYr hYrYkYt edYrlYrsY, onların hYrYkYtlYri onlara tYsir edYn qьvvYlYr istiqamYtindY olacaq vY onların hYr ikisinin işi mьsbYt olacaq. Odur ki, bu daxili qьvvYlYrin işlYri cYmi sıfra bYrabYr olmaz. Bu cьr hala misal olaraq atılan mYrmi ilY topun gцvdYsi arasında yaranan tYpmY qьvvYsini gцstYrmYk olar. Bu qьvvYnin tYsiri altında mYrmi irYli, top isY geri hYrYkYt edir. Bu hYrYkYtlYr vY tYsir edYn qьvvYlYr eyni istiqamYtdY olduğu ьзьn onların işlYri cYmi sıfra bYrabYr olmur.
3.21. BYrk cismin kinetik enerjisi.

3.21.1. Cisim irYlilYmY hYrYkYti edir.

Cisim irYlilYmY hYrYkYti etdikdY onun bьtьn nцqtYlYrinin sьrYtlYri eyni olur. Onda cismin kinetik enerjisi belY olur.

(3.83)

Burada – cismin hissYciyinin kьtlYsi; – cismin kьtlYsidir.

(3.83) dьsturu hYm dY irYlilYmY hYrYkYti edYn sistem ьзьn dY doğrudur.

3.21.2. Cisim tYrpYnmYz ox Ytrafında fırlanır

Fırlanma hYrYkYtindY, bilirik ki, ixtiyari nцqtYnin sьrYtinin modulu hYmin nцqtYnin fırlanma oxundan olan mYsafYsi ilY bucaq sьrYtinin hasilinY bYrabYrdir:

Bu ifadYni cismin kinetik enerjisinin dьsturunda (3.83) qoysaq, alarıq:

Bildiyimiz kimi, bu ifadYdYki cismin fırlanma oxuna nYzYrYn YtalYt momenti –yY (3.22). Bunu nYzYrY aldıqda fırlanma hYrYkYti edYn bYrk cismin YtalYt momenti ьзьn aşağıdakı ifadYni alırıq:

(3.84)
3.21.3. Cisim yastı-paralel hYrYkYt edir.

Cismin yastı-paralel hYrYkYtinY, bildiyimiz kimi onun ağırlıq mYrkYzi nцqtYsinin irYlilYmY– kцзьrmY hYrYkYti vY ağırlıq mYrkYzi Ytrafında nisbi fırlanma hYrYkYtlYrinin cYmi kimi baxmaq olar.

Ağırlıq mYrkYzinin sьrYti ilY irYlilYmY hYrYkYtindY kinetik enerji (3.83)

olur.

Nisbi fırlanma hYrYkYtindY isY kinetik enerji (3.84) YsasYn

olmalıdır.

Yastı-paralel hYrYkYtdY cismin kinetik enerjisi bu iki hYrYkYtdYki kinetik enerjinin cYminY bYrabYr olur:

(3.85)

Burada – cismin ağırlıq mYrkYzindYn keзYn vY hYrYkYt mьstYvisinY perpendikulyar olan oxa nYzYrYn YtalYt momenti. – cismin ağırlıq mYrkYzindYn keзYn vY hYrYkYt mьstYvisinY perpendikulyar ox Ytrafında fırlanma hYrYkYtinin bucaq sьrYti. – cismin kьtlYsidir.

3.22. Mьmkьn yerdYyişmYlYr prinsipi. Statikanın ьmumi tYnliyi

3.22.1. Mьmkьn yerdYyişmYlYr. SYrbYstlik dYrYcYsi
Maddi nцqtYnin mьmkьn– virtual yerdYyişmYsi nцqtYnin, rabitYlYrinin baxılan anda imkan verdiyi, sonsuz kiзik yerdYyişmYyY deyilir. Elementar yerdYyişmY –dYn fYrqli olaraq mьmkьn yerdYyişmY ilY işarY olunur.

ЏgYr nцqtYnin rabitYsi mьstYvidirsY, nцqtYnin mьmkьn yerdYyişmYsi mьstYvi ьzYrindY ixtiyari istiqamYtdY ola bilYr. NцqtYnin hYqiqi yerdYyişmYsi isY tYsir edYn qьvvYlYrdYn vY digYr şYrtlYrdYn asılı olaraq yalnız mьYyyYn istiqamYtlYrdY ola bilYr.

Sistemin mьmkьn yerdYyişmYsi onun nцqtYlYrinin mьmkьn yerdYyişmYlYri ilY mьYyyYn olunan yerdYyişmYsinY deyilir. MYsYlYn, aşağıdakı dirsYk sьrьncYk mexanizmindY (şYk. 3.19) dirsYyinin mьmkьn yerdYyişmYsi bucağı olduqda nцqtYsi , nцqtYsi isY mьmkьn yerdYyişmYlYri alaraq mexanizmin– sistemin mьmkьn yerdYyişmYsi qırıq xYtlYrlY gцstYrildiyi kimi olur.

ŞYk. 3.19

Gцrьndьyь kimi bu sistemin mьmkьn yerdYyişmYsi yalnız bir mьmkьn yerdYyişmYdYn , vY ya -dan asılı olur. BelY sistem sYrbYstlik dYrYcYsi bir olan sistem adlanır.

Sistemin bir-birindYn asılı olmayan koordinatlarına sistemin ьmumilYşdirilmiş koordinatları deyilir. Yuxarıda gцstYrilmiş mexanizmdY YgYr vY ya nцqtYlYrinin xYtti koordinatlarından biri vY ya , bYndlYrinin bucaq koordinatlarından biri mYlum olarsa, ixtiyari nцqtYnin koordinatlarını tYyin etmYk olar. DemYli bu mexanizmdY yalnız bir ьmumilYşdirilmiş koordinatı var.

ЬmumilYşdirilmiş koordinat vY sYrbYstlik dYrYcYsinin sayı bir sistem ьзьn eyni olur.
3.22.2. Mьmkьn yerdYyişmYlYr prinsipi. Statikanın ьmumi tYnliyi.
ŞYk. 3.20

Maddi nцqtYlYrin tYşkil etdiyi qeyri-sYrbYst sistemin bir nцqtYsinY baxaq. Bu nцqtYyY tYsir edYn verilmiş qьvvYlYrin YvYzlYyicisini , reaksiya qьvvYlYrinin YvYzlYyicisini isY ilY işarY edYk (şYk. 3.20). Sistem mьvazinYtdY olduğu ьзьn onun digYr nцqtYlYri kimi nцqtYsi dY mьvazinYtdY olacaq. Odur ki,

vY

olmalıdır. Bu nцqtYyY mьmkьn yerdYyişmYsi verYk. Bu yerdYyişmY zamanı qьvvYsinin işini ; qьvvYsinin işini ilY işarY etsYk, yazmaq olar:

QьvvYlYrin işlYrinin cYmini tapaq:

Gцrdьyьmьz kimi qьvvYlYrin mьmkьn yerdYyişmYdYki işlYrinin cYmi sıfra bYrabYr oldu. Sistemin bьtьn nцqtYlYri ьзьn bu cьr ifadYlYr yazıb tYrYf-tYrYfY toplasaq, alarıq

(3.86)

Sьbut olunmuşdur ki, ideal rabitYlYrdY– sьrtьnmY qьvvYsi olmayan rabitYlYrdY rabitY reaksiya qьvvYlYrinin mьmkьn yerdYyişmYdY işlYrinin cYmi hYmişY sıfra bYrabYr olur, yYni

.

Onda (3.86) ifadYsi bu şYklY dьşьr

(3.87)

Buradan mьmkьn yerdYyişmYlYr prinsipi alınır– ideal rabitYli qeyri-sYrbYst sistemin mьvazinYtdY olması ьзьn ona tYsir edYn verilmiş qьvvYlYrin aktiv qьvvYlYrin mьmkьn yerdYyişmYdY gцrdьyь işlYrin cYmi sıfra bYrabYr olmalıdır.

QьvvYnin elementar işinin mYlum ifadYsindYn (3.70) istifadY etsYk– qьvvYlYri vY mьmkьn yerdYyişmYlYri proyeksiyaları ilY yazsaq (3.87) ifadYsi aşağıdakı şYklY dьşYr

(3.88)

Bu tYnliyY statikanın ьmumi tYnliyi deyilir.

3.23. Dinamikanın ьmumi tYnliyi (Dalamber-Laqranj tYnliyi)
Dalamber prinsipinY gцrY (3.6) qeyri-sYrbYst maddi nцqtYyY (maddi nцqtYlYr sisteminY) tYsir edYn verilmiş (aktiv) qьvvYlYr sisteminY reaksiya qьvvYlYrini, sistemin nцqtYlYrinin YtalYt qьvvYlYrini dY YlavY etdikdY mьvazinYtdY olan qьvvYlYr sistemi alınır.

Mьmkьn yerdYyişmYlYr prinsipinY gцrY isY bu mьvazinYtdY olan qьvvYlYr sisteminin mьmkьn yerdYyişmYdY işlYrinin cYmi sıfra bYrabYr olur.

Bilirik ki, ideal rabitYlYrdY (sьrtьnmY qьvvYsi olmayan rabitYlYrdY) rabitY reaksiya qьvvYlYrinin mьmkьn yerdYyişmYdYki işi sıfra bYrabYr olur. Onda yuxarıdakı mьlahizYlYrY gцrY belY nYticYyY gYlmYk olar.

Qeyri sYrbYst ideal rabitYli sistemY tYsir edYn verilmiş qьvvYlYr sisteminY nцqtYlYrin YtalYt qьvvYlYrini dY YlavY etdikdY bu sistemin mьmьkьn yerdYyişmYdYki işlYrinin cYmi sıfra bYrabYr olmalıdır.

Riyazi şYkildY bu nYticYni belY ifadY etmYk olar

(3.89)

Burada – sistemin nцqtYsinY tYsir edYn verilmiş qьvvYlYrin YvYzlYyicisinin koordinat oxları ьzYrinY proyeksiyalarıdır; – sistemin nцqtYsinin YtalYt qьvvYsinin koordinat oxları ьzYrinY proyeksiyalarıdır; – sistemin nцqtYsinin mьmkьn yerdYyişmYsinin koordinat oxları ьzYrinY proyeksiyalarıdır.

Sistemin nцqtYsinin YtalYt qьvvYsinin proyeksiyaları ьзьn yazmaq olar

; ;

Bu qiymYtlYri (3.89)-da yerinY qoysaq, alarıq:

(3.90)

Bu tYnlik dinamikanın ьmumi tYnliyi adlanır. Bu tYnlik hYm dY Dalamber-Laqranj tYnliyi adlanır.

3.24. Maddi nцqtYnin potensial qьvvY sahYsindY hYrYkYti
FYzanın mьYyyYn bir sahYsindY yerlYşdirilmiş maddi nцqtYlYrY onların koordinatlarından asılı olan qьvvYlYr tYsir edirsY, belY sahYyY qьvvY sahYsi, qьvvYlYr isY sahY qьvvYlYri deyilir.

QьvvY sahYsinY misal olaraq Yer kьrYsinin Ytrafındakı ağırlıq qьvvYsi sahYsini gцstYrmYk olar. Burada hYrYkYt edYn maddi nцqtYyY hYmin nцqtYnin vYziyyYtindYn asılı olan Yerin cazibY qьvvYsi tYsir edir.

SahY qьvvYsi ьзьn aşağıdakı ifadYni yazmaq olar:

(3.91)

Bu qьvvYnin koordinat oxları ьzYrinY proyeksiyaları ilY belY yazmaq olar

; ; (3.92)

SahY qьvvYlYrinin istiqamYti qьvvY xYtlYri ilY mьYyyYn olunur. QьvvYnin istiqamYti hYr anda bu xYttY toxunan olur. QьvvY xYttinin diferensial tYnliyi aşağıdakı şYkildY olur.

(3.93)

FYrz edYk ki, verilmiş qьvvY sahYsindY hYrYkYt edYn maddi nцqtYnin koordinat oxlarından asılı olan elY bir funksiyası vardır ki, hYmin funksiyadan bu koordinatlara gцrY alınmış xьsusi tцrYmYlYri sahY qьvvYsinin uyğun oxlar ьzYrinY proyeksiyalarına bYrabYrdir, yYni

; ; (3.94)

Onda funksiyasına potensial funksiya vY ya potensial deyilir. QьvvY sahYsinY isY potensiallı qьvvY sahYsi deyilir.

Indi fYrz edYk ki, maddi nцqtYsi potensiallı qьvvY sahYsindY Yyri xYtt ьzrY hYrYkYt edir vY vYziyyYtdYn vYziyyYtinY gYlir. NцqtYyY tYsir edYn sahY qьvvYsinin yolunda gцrdьyь elementar iş belY tapılır:

(3.95)

Bu dьsturda (3.94) nYzYrY alındıqda, yazmaq olar:

(3.96)

DemYli potensiallı sahY qьvvYsinin elementar işi mYnfi işarY ilY potensial funksiyasının tam diferensialına bYrabYrdir. (3.96)-ın yolu boyunca inteqrallasaq, sahY qьvvYsinin bu yoldakı işini taparıq:

(3.97)

DemYli, potensiallı sahY qьvvYsinin hYr hansı yolda gцrdьyь iş bu yolun başlanğıc vY son nцqtYlYrinin potensialları fYrqinY bYrabYr olub yolun formasından asılı deyil.

ЏgYr nцqtY potensialı olan vYziyyYtindYn potensialı sıfır olan nцqtYyY gYlirsY, onda

(3.98)

olar.

funksiyasına potensiallı qьvvY sahYsindY hYrYkYt edYn nцqtYnin vYziyyYtindYki potensial enerjisi deyilir.

Potensialları eyni olan nцqtYlYrin hYndYsi yerinY ekvipotensial sYth deyilir. Bu sYthin tYnliyi belY olur

(3.99)

– hYr hansı bir sabit qiymYtdir.
3.25. Ağırlıq qьvvYsi sahYsinin potensialı
Ağırlıq qьvvYsi sahYsindY hYrYkYt edYn nцqtYsinY ağırlıq qьvvYsi tYsir edir. ЏgYr koordinat oxu şaquli istiqamYtdY yцnYlYrsY, onda nцqtYyY tYsir edYn qьvvYlYrin proyeksiyaları:

; ;

olar. Bu qьvvYlYri (3.95)-dY yazsaq, alarıq:

(3.96)-da bunu nYzYrY aldıqda

olur. Bu ifadYni

olduqda olur. Onda maddi nцqtYnin verilmiş vYziyyYtdYki potensialı

(3.100)

olar.

Ağırlıq qьvvYsi sahYsinin ekvipotensial sYthi (3.99)-a YsasYn

Buradan . DemYli, ağırlıq qьvvYsi sahYsinin ekvipotensial sYthi ьfiqi sYthdir– ьfiqi mьstYvidir.

3.26. Mexaniki enerjisinin saxlanması teoremi
Yuxarıda gцstYrdiyimiz kimi, potensiallı qьvvY sahYsindY hYrYkYt edYn maddi nцqtY vYziyyYtindYn vYziyyYtinY gYldikdY ona tYsir edYn sahY qьvvYsinin işi onun hYmin vYziyyYtlYrdYki potensial enerjilYri fYrqinY bYrabYr olur.

DigYr tYrYfdYn maddi nцqtYnin kinetik enerjisinin dYyişmYsi teoreminY YsasYn nцqtYnin vYziyyYtindYn vYziyyYtinY keзidi zamanı kinetik enerjisinin dYyişmYsi ona tYsir edYn sahY qьvvYsinin hYmin yoldakı işinY bYrabYrdir.

– in bu ifadYsini yuxarıda yerinY qoyaq:

Bu ifadYdYn tapırıq:

Buradan belY nYticY зıxır ki, potensial qьvvY sahYsindY hYrYkYt edYn maddi nцqtYnin kinetik enerjisi ilY potensial enerjilYrinin cYmi, yYni tam mexaniki enerjisi sabit qalır. Bu nYticYyY mexaniki enerjinin saxlanması (mьhafizY edilmYsi) qanunu deyilir.