Ehtimollar nazariyasining vujudga kelishi va rivojlanish tarixi. Hodisalar algebrasi. Diskret elementar hodisalar fazosi



Yüklə 107,38 Kb.
tarix05.02.2018
ölçüsü107,38 Kb.

Ehtimollar nazariyasining vujudga kelishi va

rivojlanish tarixi. Hodisalar. Hodisalar algebrasi.

Diskret elementar hodisalar fazosi
Ehtimollar nazariyasi hozirgi zamon matematikasining muhim, tezlik bilan rivojlanib borayotgan tarmoqlaridan biridir. Ehtimollar nazariyasi XVII asr o'rtalaridan vujudga kela boshlagan.Bu davrda qimor o'yinlari juda keng tarqalgan bo'lib, bu o'yin yirik olimlarning etiborini ham o'ziga jalb qildi. Bu o'yinlarda kuzatilayotgan hodisalar o'ziga xos qonuniyatlarga bo'ysunishini bilgan Gyuygens, Paskal, Ferma, Ya.Bernuli kabi olimlar bu qonunlarni o'rgandilar va ehtimollar nazariyasiga oid ehtimol, matematik kutilma va shunga o'xshash tushunchalarni kiritdilar.

Ehtimollar nazariyasining keyingi bosqichidagi rivoji Muavr,Laplas,Gauss,Puasson kabi olimlarning nomlari bilan bog'liq. Ehtimollar nazariyasi rivojida rus matematik olimlari V.YA.Bunyakovskiy. P.L.Chebishev, A.A.Markov, A.M.Lyapunovlarning xizmatlari kattadir. V.Ya.Bunyakovskiyning Rossiyada birinchi bo'lib 1908 yilda yozgan ehtimollar nazariyasidan darsligi ehtimollar nazariyasiga bo'lgan qiziqishning ortishiga turtki bo'ldi.

Hozirda bu darslik O’zbekiston Milliy kutubxonasida saqlanmoqda.

Hozirgi vaqtda ehtimollar nazariyasi bilan shug'ullanuvchilar soni ortib bormoqda.

Bunga va matematik statistikaga bag'ishlangan jurnal va kitoblar ko'plab chop etilmoqda.

Ehtimollar nazariyasi va matematik statistikaning metodlari ommaviy xizmat ko'rsatish nazariyasi, ishonchlilik nazariyasi, nazariy fizika, biologiya, geografiya, lingvistika, ob-havoni o’rganish, iqtisodiyot va boshqa sohalarida qo'llaniladi.

Sobiq ittifoqda Moskva, Leningrad, Kiyev, Toshkent, Vilnyus va boshqa shaharlarda jahonga mashhur maktablar mavjud bo’lgan.

Mashhur olimlar S.N Bernshteyn, A.N.Kolmagorov, V.I.Romanovskiy, A.Ya.Xinchin, D.Dub, B.Feller, G.Kramer, Yu.V.Proxorov, N.V.Smirnov, B.V.Gnedenko, A.A.Borovkov, A.V.Skoroxod, I.A.Ibragimov, T.A.Sarimsoqov, S.H.Sirojiddinov, va boshqalar hozirgi zamon ehtimollar nazariyasini rivojlantirishga salmoqli hissa qo'shdilar va qo'shmoqdalar. Respublikamizda ehtimolchilar maktabi V.I.Romanovskiy va uning shogirdlari T.A.Sarimsoqov va S.X.Sirojiddinovlar va ularning shogirdlari T.A.Azlarov, Sh.Q.Farmonov, A.V.Nagayev, I.S.Badalboyev va boshqalarning nomi bilan bog'liqdir.

Markov jarayonlarining O’rta Osiyo ob-havosini o’rganishga tatbiqlari uchun 1948 yilda T. A. Sarimsoqov sobiq ittifoq davlat mukofotiga sazovor bo’lgan.

Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalaridan biri tajriba va tajriba natijasida kuzatilishi mumkin bo'lgan hodisa tushunchalaridir. Tajriba hodisani ro'yobga keltiruvchi shartlar majmui (shartlar kompleksi) S ning bajarilishini ta'minlashdan iboratdir.


группа 105

Ehtimollar nazariyasi tasodifiyatlarning qonuniyatlarini o'rganuvchi matematik fandir. Ehtimollar nazariyasi ommaviy bir jinsli hodisalarning ehtimoliy qonuniyatlarini o’rganadi.

Biz tajribani vujudga keltiruvchi shartlar majmui S o'zgarmas bo'lgan holni qaraymiz.



1-misol. Tajriba simmetrik bir jinsli tangani muayyan sharoitda tashlashdan iborat bo'lsin. Tajribadan tajribaga o'tganda ro'y beruchi hodisalar har xil bo'ladi. Masalan: biror tajribada "gerb" (G) tushgan bo'lsa, boshqasida tanganing teskari tomoni "raqam" (R) tushishi mumkin.

Ta’rif. Tajriba natijasida ro'y berishi oldindan aniq bo'lmagan hodisa tasodifiy hodisa deyiladi.

Ta’rif. Tajribaning har qanday natijasi elementar hodisa deyiladi.

Ta’rif. Tajriba natijasida ro'y berishi mumkin bo'lgan barcha elementar hodisalar to'plami elementar hodisalar fazosi deyiladi.

Elementar hodisalar fazosini bilan, har bir elementar hodisani orqali belgilaymiz. Yuqoridagi misolda dan iborat bo’ladi.



2-misol: Tajriba tangani 2 marta tashlashdan iborat bo'lsin . Bunda elementar hodisalar quyidagilardan iborat:

- ikkala tashlashda ham gerb.

- 1-tashlashda gerb, 2-tashlashda raqam .

- 1-tashlashda raqam, 2-tashlashda gerb.

- Ikkala tashlashda ham raqam.

Bunda elementar hodisalar fazosi 22=4 ta elementdan iborat bo’ladi.

Ya’ni .

Agar tanga n marta tashlansa elementar hodisalar fazosi ta elementdan iborat bo’ladi.



3-misol: Tajriba yoqlariga 1 dan 6 gacha raqamlar joylashgan bir jinsli kubni (o’yin soqqasi) bir marta tashlashdan iborat bo’lsa, elementar hodisalar bo’ladi. Elementar hodisalar fazosi 6 ta elementdan iborat bo’ladi.

4-misol: Tajriba o’yin soqqasini 2 marta tashlashdan iborat bo'lsin.

Bu holda elementar hodisalar ko'rinishda bo'ladi. Bu hodisa soqqani 1-tashlashda raqamli yoq, 2- tashlashda yoq tushganligini bildiradi. Bu yerda va elementar hodisalar soni 62=36 ta bo’ladi.



5-misol: Tajriba nuqtani [0,1] kesmaga tasodifiy ravishda tashlashdan iborat bo'lsin.

Bu yerda elementar hodisalar fazosi , [0,1] to'plamdan iboratdir, ya'ni u kontinium quvvatga ega.

Tasodifiy hodisalar lotin alfavitining bosh harflari A,B,C,... bilan belgilanadi.

Har qanday hodisa elementar hodisalardan tashkil topgan bo'lib, bu elementar hodisalardan birortasi ro'y bersa, hodisa ro'y berdi deyiladi.

Agar A hodisaga kirgan elementar hodisalardan birortasi ham ro'y bermasa A hodisa ro'y bermaydi, unga teskari hodisa ro'y bergan deymiz u kabi belgilanadi.

A va hodisalar o’zaro qarama-qarshi hodisalar deyiladi.

Har bir tajribada albatta ro'y beradigan hodisa muqarrar hodisa deyiladi va Ω bilan begilaymiz. Birorta ham elementar hodisani o'z ichiga olmagan hodisa mumkin bo'lmagan hodisa deyiladi va Ø bilan belgilaymiz.

6-misol: Tajriba o’yin soqqasini bir marta tashlashdan iborat bo'lsin. A tushgan ochko juft bo’lish hodisasi bo'lsin.

Bu holda A hodisasi tarkibida 3 ta elementar hodisalar kiradi. Agar yoki yoki ro'y bersa A hodisasi ro'y bergan bo’ladi. Bu holda A ga qarama-qarshi hodusa .



7-misol: B hodisasi tangani 2 marta tashlashda hech bo’lmaganda bir marta gerb tushish hodisasi bo’lsa va bo’ladi.

Agar A hodisani tashkil etgan elementar hodisalar B hodisaga ham tegishli bo'lsa, A hodisa B hodisani ergashtiradi deyiladi.



Masalan: , bo’lsa bo’ladi.

Ta’rif. va hodisalar bir xil elementar hodisalar hodisalar to'plamidan tashkil topgan bo'lsa, va hodisalar teng deyiladi va kabi belgilanadi.

va

Ta’rif. va hodisalarning yig’indisi (birlashmasi) deb yoki ning yoki ikkalasining ham ro'y berishidan iborat hodisaga aytiladi . va hodisalarning birlashmasi yoki () kabi belgilanadi.

Ta’rif. va hodisalarning bir vaqtda ro'y berishini ta'minlovchi lardan tashkil topgan hodisa va hodisalarning ko’paytmasi (kesishmasi) deyiladi va yoki kabi belgilanadi.

Ta’rif. ning ro'y berishidan ning ro'y bermasligidan iborat bo'lgan hodisaga va hodisalarning ayirmasi deyiladi va yoki () kabi belgilanadi. va hodisalarning simmetrik ayirmasi tenglik bilan aniqlanadi.

Faraz qilaylik nuqtani katta to’g’ri to’rtburchak ichiga tushishidan, hodisasi nuqtaning doira ichiga hodisasi nuqtaning kichik to’g’ri to’rtburchak ichiga tushishidan iborat bo’lsin.



группа 98
U holda nuqtaning mos ravishda shtirixlangan sohalarga tushishidan iborat bo’ladi va mos ravishda quyidagi shakllarda tasvirlanadi.

группа 89

группа 68группа 77


группа 59
группа 51

8-misol. O’yin soqqasi bir marta tashlanganda , bo’lsa, , , ,

Ta’rif . Agar bo’lsa, A va B hodisalar birgalikda emas deyiladi.

va hodisalar uchun quyidagi munosabatlar o’rinli.



Ta’rif. hodisalar uchun bo’lsa ya’ni tajriba natijasida ulardan hech bo’lmaganda bittasi ro’y bersa ular hodisalarning to’la guruhini tashkil qiladi deyiladi.

Agar to’la guruhini tashkil qiluvchi hodisalar uchun bo’lsa ular birgalikda bo’lmagan hodisalarning to’la guruhini tashkil etadi deyiladi.



9-misol. Tanga bir marta tashlanganda gerb tushish hodisasi raqam tushish hodisasi bo’lsa, bu hodisalarning birgalikda bo’lmagan hodisalar to’la guruhini tashkil qiladi, chunki ,

Hodisalar ustidagi amallar natijalari yana hodisa bo’lganligi uchun, hodisalar to’plami algebra tashkil qiladi.

Bu algebraning birlik elementi muqarrar hodisa , nol elementi mumkin bolmagan hodisa bo’ladi. Hodisalar orasida quyidagi munosabatlar (qonunlar) o’rinli.

1.a) - o’rinalmashtirish qonuni

2.a) - guruhlash qonuni

3.a)- ayniylik qonuni.

4.a)-taqsimot qonuni.

Bu qonunlar o’rinliligi ixtiyoriy elementning tenglikning ikkala tomoniga tegishliligiga ishonch hosil qilish orqali ko’rsatiladi.

4-munosabatning a) qismini isbotlaymiz.

Faraz qilaylik ixtiyoriy elementar hodisa bo’lsin.

Bundan va kelib chiqadi, bundan esa yoki agar va bo’lsa bo’ladi, bundan .

Agar va bo’lsa bo’ladi, bundan .

Endi faraz qilaylik bo’lsin, bundan yoki .

bo’lsa va bundan , demak .

Agar bo’lsa va bundan .

Tajribalar natijasida ro'y berishi mumkin bo'lgan elementar hodisalar soni sanoqli bo'lgan holga misol ko’ramiz.

10-misol. Tajriba tangani birinchi marta gerb tushguncha tashlashdan iborat bo'lsin.

Bu misolda bo’lib bu elementar hodisalar quyidagilar:



-birinchi tashlashda gerb tushgani;

- birinchi tashlashda raqam ikkinchi tashlashda gerb tushgan;

birinchi va ikkinchi tashlashda raqam uchinchi tashlashda gerb tushgan;

………………………………………………………………………………..



- birinchi tashlashda raqam tashlashda raqam tushgan.

……………………………………………………………………………….



Ta’rif. Agar elementar hodisalar fazosi chekli yoki sanoqli miqdordagi elementar hodisalardan iborat bo'lsa, u elementar hodisalarning diskret fazosi deyiladi.

Ta’rif. Agar da musbat qiymatli funksiya berilgan bo'lsa va u shartni qanoatlantirsa , u holda Ω da ehtimollar taqsimoti berilgan deyiladi.

Ta’rif. Har qanday AЄΩ tasodifiy hodisaning ehtimoli deb songa aytiladi.

11-misol. Tajriba tangani bir marta tashlashdan iborat bo’lsin. U holda elementar hodisalar , bo’ladilar. Tanga simmetrik va bir jinsli bo’lmaganligi uchun deb olish mumkin, chunki 1/2+1/2=1

12-misol. Tajriba o’yin soqqasini bir marta tashlashdan iborat bo’lsin.

U holda elementar hodisalar:

Elementar hodisalar fazosi 6 ta elementdan iborat bo’ladi. Shoshqol tosh bir jinsli bo’lmaganligi uchun hisoblash maqsadga muvofiq chunki 1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=1

13-misol. Tangani toki birinchi marta gerb tushguncha tashlash tajribasida

, ,…., …. kabi olish maqsadga muvofiq. Bunday berilgan ehtimollik Ω da ehtimollik taqsimotini aniqlaydi, chunki

.

Hamma vaqt ham ehtimollikni bunday oson aniqlab bo’lmaydi:

Masalan: bo’lib kunda darsga kelmagan talabalar soni bo’lsa larni aniqlash ancha qiyin bo’ladi. Chunki lar juda ko’p sabablarga bog’liq.

Bunday hollarda lar ma’lum shartlar va mulohazalar yordamida aniqlanadi.

Demak elementar hodisalarning diskret fazosida har qanday hodisaning ehtimoli

Bunday aniqlangan ehtimollik quyidagi xossalarga ega.

1. ,

2. .

3.

Agar bo’lsa, ikkinchi xossadan birgalikda bo’lmagan hodisalar uchun qo’shish teoremasi kelib chiqadi.

Agar hodisalar o’zaro birgalikda bo’lmasalar u holda qo’shish teoremasi ko’rinishni oladi.

Unga ehtimollikning chekli additivlik xossasi deyiladi.



Testlar

  1. Ehtimollar nazaryasining dastlabki tushunchalari qachon paydo bo’lgan:

A) 16 asr oxiri B) 17 asr boshi C) 17 asr o’rtalari D) 18 asr boshlarida

  1. Muqarrar hodisa har bir tajribada

A) albatta ro’y beradi. B) ro’y bermaydi

C) ba’zan roy beradi D) faqat juft tartib raqamlarida ro’y beradi

3. Mumkin bo’lmagan hodisa har bir tajribada :

A) ro’y beradi B) ro’y bermaydi.

C) ba’zan ro’y bermaydi D) ba’zan ro’y beradi.

4. tasodifiy hodisa har bir tajribada

A) albatta ro’y beradi B) ro’y bermaydi

C) ro’y berishi ham bermasligi ham mumkin

D) toq tartib raqamli tajribalarda ro’y beradi

5. Ehtimollar nazaryasi :

A) har qanday hodisalarning qonuniyatlarini

B) ommaviy bir jinsli tasodifiy hodisalarning qonuniyatlarini

C) muqarrar va mumkin bo’lmagan hodisalarning qonuniyatlarini

D) har qanday tasodifiy hodisalarning qonuniyatlarini

6. Tangani ikki marta tashlash tajribasiga mos elementar hodisalar fazosi

A) B)

C) D)

7. Tangani uch marta tashlash tajribasiga mos elementar hodisalar fazosi necha elementdan iborat bo’ladi

A) 6 ta B) 10 ta C) 8ta D) 9 ta

8. O’yin soqqasi ikki marta tashlangan elementar hodisalar fazosi nechta elemendan iborat bo’ladi

A) 12 ta B) 24 ta C) 30 ta D) 36 ta

9. bo’lsa

A) B)

C) D)

10.Elementar hodisalar fazosi diskret deyiladi agar:

A) faqat elementlari soni chekli bo’lgandagina

B) elementlari soni sanoqsiz bo’lganda

C) elementlari soni chekli yoki sanoqli bo’lganda

D) faqat elementlari soni sanoqli bo’lganda

11.Quyidagilardan qaysi biri har doimo to’g’ri

A) B) C) D)

12. Quyidagilardan qaysi biri ixtiyoriy B hodisa uchun doimo o’rinli:

A) B) C) D)


  1. Ehtimollikning klassik, geometrik

va statistik ta'rifi
Agar chekli ta elementar hodisadan tashkil topgan bo'lib, har bir elementar hodisa ning ehtimoli ni ga teng deb olinsa, elementar hodisalar teng imkoniyatli deyiladi.

Bunday fazoda har qanday hodisaning ehtimolini quyidagicha aniqlash tabiiy:



Agar ga kirgan elementar hodisalar soni m ga teng deb olsak,



﴾1﴿

P(A) funksiya ehtimolning hamma xossalarini qanoatlantirishini tekshirib ko'rish mumkin. Ehtimolning bu ta'rifi uning klassik ta'rifi deyiladi.

Klassik tarif faqat teng imkoniyatli chekli sondagi elementar hodisalardan tashkil topgan fazo uchun kiritilishi mumkin, bu hol klassik ta'rifning qo'llashni chegaralaydi.

Klassik ta’rifdan foydalanib masalalar yechishda kombinatorika nazariyasining ayrim tushunchasi zarur bo’ladi.



  1. Turli guruhlardan bittadan tanlab olishlar kombinatsiyasi.

ta guruh mavjud bo’lsin. Birinchi guruh ta () elementdan, ikkinchi guruh ta () elementdan elementdan va hokazo, -guruh ta () elementdan tuzilgan bo’lsin. Har bir guruhdan faqat bittadan element olib, nechta elementli guruh tuzish mumkin?

Shunday usulda tuzish mumkin bo’lgan barcha guruhlar soni



(1)

ta bo’ladi.

2. Qaytariladigan tanlashlar soni.

Faraz qilaylik, ta turli elementga ega bo’lgan guruh berilgan bo’lsin. Bu guruhdan bittalab element olib uni o’zimizga belgilab olib, o’rniga qaytarib qo’yamiz va bu jarayonni yana takrorlaymiz. Bu usulda ta elementlar guruhni hosil qilamiz. Bu usulda tanlab olishlar soni ga teng. Bu formulaning isboti (1) dan bevosita kelib chiqadi, buning uchun ta bir xil elementlarga ega bo’lgan guruhni qarash kifoya.

3. O’rinlashtirishlar soni (qaytarilmaydigan tanlahlar). ta turli elementdan o’rinlashtirishlar deb shunday birikmalarga aytiladiki ular bir-biridan tartibi yoki tarkibi bilan farqlanadi va u quyidagicha belgilanadi.

.

Bundan bo’lsa kelib chiqadi.

4. Guruhlashlar soni (kombinatsiyalar). ta turli elementdan elementtadan guruhlashlar deb biri ikkinchisidan hech bo’lmaganda bitta elementi bilan farqlanuvchi birikmalarga aytiladi va bu

ga teng.


5. ta elementli to’plamni birinchi guruhga , ikkinchi guruhda ,…, -guruhda () ta element bo’lgan guruhlarga ajratishlar soni

(2)

ga teng.

6. Ko’paytirish qoidasi. Agar obyektni obyektlar orasidan usul bilan tanlash mumkin bo’lsa, va so’ngra har bir tanlash uchun obyektni usul bilan tanlash mumkin bo’lsa u holda juftliklarni ko’rsatilgan tartibda usul bilan tanlash mumkin.

1-misol. Ikkita o’yin soqqasi tashlanganda tushgan ochkolar yig’indisi 10 ga teng bo’lish ehtimolini toping.

Yechish.Ikkita o’yin soqqasini tashlash tajribasiga mos elementar hodisalar fazosi () ko’rinishidabo’lib u 36 ta elementdan tashkil topadi. Agar bilan ikkita o’yin soqqasi tashlanganda tushgan ochkolar yig’indisi 10 ga teng bo’lish hodisasini belgilasak, u holda , demak, . Ehtimollikning klassik ta’rifiga asosan .



2-misol. 36 tadan iborat kartalar dastasidan tavakkaliga to’rttasi olindi. Shu olinganlar ichida ikkita “tuz” karta bo’lish ehtimolini aniqlang.

Yechish. 36 dona kartadan 4 tasini usulda olish mumkin. Ikkita “tuz” kartani usulda va ikkita tuz bo’lmagan kartani usulda olish mumkin, u holda ko’paytirish qoidasiga asosan hamma qulaylik tug’diruvchi hollar soni bo’ladi.

Shuning uchun

.

sohada tavakkaliga tashlangan nuqtaning sohaga tushish ehtimolini topish talab qilinsin .

Bunda elementar hodisalar fazosi ning barcha nuqtalaridan iborat va kontinium quvvatga ega. Bu holda klassik ta'rifdan foydalanib bo'lmaydi. Tashlangan nuqta sohaga tushsin va uning biror qismiga tushish ehtimoli shu qismining o'lchoviga ( uzinligiga, yuziga, hajmiga ) proporsional bo'lib, ning shakliga va ning qayerida joylashganligiga bog'liq bo'lmasin . Bu shartlarda qaralayotgan hodisaning ehtimoli



formula yordamida aniqlanadi. Bu yerda - sohaning o’lchovi.

Bu formula yordamida aniqlangan p funksiya ehtimolning barcha xossalarini qanoatlantiradi.Buni isbotlashda o'lchovning xossalaridan foydalanish kerak.

4-misol. (Uchrashuv haqidagi masala ) Ikkita A va B talaba soat 14 bilan 15 oralig'ida kelishilgan joyda uchrashishga kelishib oldilar .Birinchi kelgan kishi ikkinchisini 20 minut ko’tadi, kelmasa keyin ketadi. Agar ular soat 14 bilan 15 o'rtasidagi ixtiyoriy momentda kelishi mumkin bo'lib, kelish vaqtlari 14 bilan 15 o'rtasida tasodifi bo'lsa, bu ikki talabaning uchrashish ehtimoli nimaga teng ?

Yechish: talabaning kelish momentini , talabaning kelish momentini bilan belgilaymiz. Ularning uchrashishlari uchun tengsizlik bajarilishi zarur va yetarlidir. va larni tekislikdagi Dekart koordinatalari sifatida tasvirlaymiz . Ro'y berishi mumkin bo'lgan barcha imkoniyatlar tomonlari 60 bo'lgan kvadrat nuqtalaridan va uchrashishga qulaylik tug'diruvchi imkoniyatlar shtrixlangan qismning nuqtalaridan iborat bo’ladi.



Izlanayotgan ehtimol





5-misol. Byuffon masalasi. Tekislikda bir-biridan masofada turuvchi parallel to’g’ri chiziqlar o’tkazilgan. Tekislikka uzunligi bo’lgan igna tavakkaliga tashlangan. Ignaning birorta to’g’ri chiziqni kesish ehtimolini toping.

Yechish. orqali ignaning o’rtasidan unga yaqinroq bo’lgan parallel to’g’ri chiziqgacha bo’lgan masofani va orqali igna bilan bu parallel to’g’ri chiziq orasidagi burchakni belgilaymiz (*).



va kattaliklar ignaning holatini to’la aniqlaydi. Ignaning barcha holatlari tomonlari va bo’lgan to’g’ri to’rtburchak nuqtalari bilan aniqlanadi. Ignaning parallel to’g’ri chiziq bilan kesishishi uchun tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarlidir (**). Qilingan farazlarga ko’ra izlanayotgan ehtimol shtrixlangan yuzning to’g’ri to’rtburchak yuziga nisbatiga teng bo’ladi:

.

(*) (**)


Byuffon maslasi otishlar nazariyasiga oid ko’pgina masalalarni hal etishda muhimdir. Bundan tashqari, Byuffon masalasidan sonining qiymatini tajriba yo’li bilan hisoblashda foydalanish mumkin. Haqiqatan ham, yechilgan masaladan formula hosil bo’ladi. Tajribalar soni yetarlicha katta bo’lganda

formula o’rinli bo’lib, bunda -tajribalar soni, esa ignaning parallel chiziqlardan birini kesib tushgan hollari soni.

Ignani tashlash yordamida ni aniqlash uchun juda ko’p tajribalar o’tkazilgan. Ulardan ba’zi birlarining natijalarini keltiramiz.


Tajriba o’tkazgan kishi

Yili

Igna tashlashlar soni

ning eksperimental qiymati

Volf

1850

5000

3,1596

Foks

1894

1120

3,1419

Lassarini

1901

3408

3.1415929

Shartlar kompleksi o’zgarmas bo’lganda biror hodisaning ro’y berishi yoki ro’y bermasligi ustida uzoq kuzatishlar o’tkazilganda, uning ro’y berishi yoki ro’y bermasligi ma`lum turg’unlik (barqarorlik) xarakteriga ega bo’ladi.



hodisaning n ta tajribada ro’y berishlar sonini deb olsak, u holda juda ko’p sondagi kuzatishlar seriyasi uchun - nisbat deyarli o’zgarmas miqdor bo’lib qolaveradi.

- nisbat hodisaning ro’y berish chastotasi deyiladi. Chastotaning turg’unlik xususiyati birinchi bor, demografik xarakterdagi hodisalarda ochilgan. Bizning eramizdan 2238 yil bu­run qadimiy Xitoyda o’gil bola tugilishlar sonining jami tugilgan bolalar soniga nisbati deyarli ga teng deb hisoblangan.

Laplas Londonda, Peterburgda va butun Fransiyada yig’ilgan juda ko’p statistik materiallarga tayanib, tug’ilgan o’g’il bolalar sonining jami tug’ilgan bolalar soniga nisbati taxminan ga tengligini ko’rsatdi. Bu sonning bir necha o’n yillar mobaynida o’zgarmay qolishini statistik ma`lumotlar tasdiqladi.

Tajribalar soni oshirib borilsa, ma`lum bir qonuniyatni payqash mumkin.

Tangani n marta tashladik deb faraz qilaylik va „gerb" tushishlar sonini deb belgilaylik. Agar absissa o’qida o’tkazilgan tajribalar sonini, ordinata o’qida esa nisbatni belgilab borsak. n ning ortib borishi bilan (n, ) nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziq chiziqqa yaqinlashadi.



Bu holni tekshirish maqsadida Byuffon tangani 4040 marta tashladi, shulardan 2048 marta gerb tushdi, gerb tushishi chastotasi . Pirson tangani oldin 12000 marta tashlagan, 6019 marta gerb tushdanda, gerb tushishlar ehtimoli , so’ngra 24000 marta tashlaganda, shulardan 12012 tasida gerb tushdi, .

Bu hol umumiy xarakterga ega: bir xil sharoitda o’tkazilgan tajribalar ketma-ketligida u yoki bu hodisani ro’y berishi chastotasi biror soniga „yaqinlashib” boradi.

Agar, tajribalar soni yetarlicha ko’p bo’lsa, u holda shu tajribalarda qaralayotgan hodisaning ro’y berish chastotasi biror o’zgarmas son atrofida turg’un ravishda tebransa, shu p sonni hodisaning ro’y berish ehtimoli deb qabul qilamiz. Bunday usulda aniqlangan ehtimol hodisa­ning statistik ehtimoli deyiladi.

Mizes hodisa­ning ehtimolini ushbu munosabat yordamida kiritgan:

.

Ehtimolning bu ta`rifi juda noqulay, chunki biror hodisaning ro’y berishi chastotalari ketma-ketligi turli eksperimentlar o’tkazilganda turlicha bo’ladi. Bundan tashqari, amalda biz chastotalar ketma-ketligini emas, balki uning chekli elementlarini olgan bo’lamiz. Hamma ketma-ketlikni olib bo’lmaydi. Shu sababli, ehtimollar nazariyasini aksiomalar asosida qurish maqsadga muvofiqdir.




Testlar.

1. Ehtimollik klassik ta’rifidagi n:

A) imkon tug’diruvchi holler soni

B) elementar hodisalar fazosining barcha elementlari soni

C) m dan katta bo’lgan ixtiyoriy son

D) har doim

2. ehtimollikning klassik ta’rifidagi m

A) elementar hodisalar fazosining barcha elementlar soni

B) dan kichik bo’lgan ixtiyoriy son

C) imkon tug’diruvchi hollar soni

D) har doim

3.O’yin soqasi bir marta tashlanganda tushgan achkolar yig’indisi 3 ga karrali ochko tushish ehtimolligi.

A) 1\6 B) 1\3 C) 2\3 D) 1\4

4. O’yin soqasi ikki marta tashlanganda tushgan achkolar 3 ga teng bo’lish ehtimolligi

A) 1\18 B) 1\12 C) 1\6 D) 1\36

5. Ehtimollikning geometrik ta’rifi

A) B) C) D)

6. [1;7] kesmaga tashlangan nuqtalar [3;5] kesmaga tushish ehtimolligi

A) 1\3 B) 2\3 C) 1\6 D) 5\7

7. Uchrashuv haqidagi masalaning kutish vaqti 15 minut bo’lgandagi yechimi

A) 5\9 B) 9\16 C) 5\16 D) 7\16

8.Byuffon masalasida parallel to’g’ri chiziqlar orasidagi masofa va ignaning uzunligi mos ravishda

A) a va l B) 2a va l C) 2a va 2l () D) a va 2l

9.Byuffon masalasining yechimidan foydalaniladi

A) otishlar nazaryasida B)  soning taqribiy qiymatini aniqlashda

C) tikuvchilikda D) va

10. Nisbiy chastotaning turg’unlik xarakteriga ega ekanligi dastlab qanday xarakterdagi hodisalarda aniqlangan

A) fizik B) ximik C) demografik D) va

11. Tangani tashlashlar soni n oshishi bilan (n,) nuqtalar qanday chiziqqa yaqinlashib boradi.

A) B) C) D)

12. Statistik ehtimol bu

A) nisbiy chastota

B) nisbiy chastotadan katta son

C) nisbiy chastotadan kishik son



D) tajribalar soni katta bo’lgan seriyalarda nisbiy chastotalar atrofida tebranib turadigan son


Dostları ilə paylaş:


Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2019
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə