Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika
Yüklə 25,38 Kb. Pdf görüntüsü
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- Az elektromágneses tér impulzusa. Fénynyomás
- A geometriai optika mint a hullámoptika határesete. Fermat-elv
- 63. ábra - A második integrálban a k
VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK. ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK 227 ((55,16). egyenlet), ahol . Ha , akkor az m = l, n = 0 egész számokhoz tartozik a legkisebb kritikus frekvencia , és ebben az esetben az alaphullám elektromos térerősségének komponensei az A = Cn választással: ((55,17). egyenlet) ahol . E típusú hullám esetén (55,12) szerint zérustól különböző megoldás csak akkor létezik, ha mind az n, mind az m nagyobb zérusnál. A kritikus frekvencia legkisebb értékét tehát az n = l, m = l egész számok adják: ((55,18). egyenlet). Különbség van tehát a kétfajta hullámok lehetséges számában; a H típusúak száma nagyobb, mint az E típusúaké. Ennek okát abban látjuk, hogy H z - re semmilyen korlátozó határfeltétel nincs, viszont E z -nek a cső falán el kell tűnnie, mert ott E z tangenciális komponens, és az folytonosan viselkedik. A k hullámszámot kifejezhetjük az (55,13), (55,14) kritikus frekvenciával, illetve kritikus hullámhosszal: ((55,19). egyenlet). A hullám fázissebessége: ((55,20). egyenlet). VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK. ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK 228 E képletből látszik, hogy mindig nagyobb a c vákuumbeli fénysebességnél, és az határesetben éri azt el. A ((55,21). egyenlet) képlettel definiált csoportsebesség viszont mindig kisebb c-nél. Ugyanis: ((55,22). egyenlet). Az (55,20) és (55,22) képletek egybevetéséből következik: ((55,23). egyenlet). Az itt bevezetett csoportsebesség fogalmát kicsit szemléletesebbé akarjuk tenni. E célból gondoljunk el egy hullámcsoportot, amely az ω 0 frekvencia közvetlen közelében levő frekvenciájú hullámok szuperpozíciója. A térmennyiségek komponensei arányosak a ((55,24). egyenlet) mennyiséggel. Az függvény a mondottak értelmében csak az ω 0 közvetlen környezetében különbözik zérustól. ω-t írjuk az alakba és -t fejtsük sorba, figyelembe véve, hogy α kicsi értékeire szorítkozhatunk, mert ebben az intervallumban különbözik zérustól: ((55,25). egyenlet). Ennek alapján (55,24) a következő alakba írható: ((55,26). egyenlet). Az (55,26)-ban előállított Ψ(z, t) olyan alakú, mint egy síkhullám, de az VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK. ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK 229 amplitúdó nem állandó, hanem a mennyiség függvénye. Ezt nevezzük hullámcsomagnak vagy hullámcsoportnak. Az amplitúdó terjedési sebessége az ún. csoportsebesség. Az elektromágneses tér impulzusa. Fénynyomás Az elektromágneses tér energiája című pontban megmutattuk, hogy az energiamegmaradás törvénye akkor érvényes, ha az elektromágneses térnek is van energiája. A térenergia sűrűséggel folytonosan oszlik el a térben. Látni fogjuk, hogy az elektromágneses térnek nemcsak energiája, hanem impulzusa is van. Tekintsünk V térfogatot, amelyet elektromágneses tér tölt ki, és az egyszerűség kedvéért tételezzük fel, hogy . A térfogatban legyenek jelen elektromos töltések. Az elektromágneses tér kölcsönhatásban áll a töltésekkel, azokra erőt fejt ki: ((56,1). egyenlet), ahol ((56,2). egyenlet) az erő sűrűsége; v a mozgó töltések sebessége. Az erősűrűség (56,2) kifejezését a Maxwell-egyenletek segítségével a következő alakba írhatjuk: VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK. ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK 230 ((56,3). egyenlet). Mivel div H = 0, (56,3) kiegészíthető a H div H taggal, továbbá helyébe a indukciótörvény alapján –rot E írható. Ezek után az erősűrűség kifejezése a következő alakot veszi fel: ((56,4). egyenlet). Vegyük most pl. az erősűrűség x komponensét: ((56,5). egyenlet). Az egyenlet jobb oldalán álló kifejezés – mint látható – a VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK. ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK 231 ((56,6). egyenlet) tenzor (i, k = x, y, z) első tenzordivergenciája, vagyis ((56,7). egyenlet). Hasonlóképpen adódik: ((56,8). egyenlet), ((56,9). egyenlet). Vezessük be a , , segédvektorokat. Ezek segítségével az (56,7)–(56,9) egyenletek a következőképpen írhatók: ((56,7'). egyenlet), ((56,8'). egyenlet), ((56,9'). egyenlet). Képezzük most az (56,1) erő x komponensét (56,7') figyelembevételével: ((56,10). egyenlet). Mivel a V térfogat rögzített, a jobb oldal utolsó tagjából az idő szerinti differenciálhányados jele az integrál elé emelhető: VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK. ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK 232 ((56,11). egyenlet). Az első integrál Gauss-tétellel felületi integrállá alakítható: ((56,12). egyenlet). Hasonlóképpen írható az erő y és z komponense is: ((56,13). egyenlet), ((56,14). egyenlet). Az F erő a V térfogatban levő töltésekre hat, és azok impulzusát növeli. Ha a töltésrendszer összimpulzusát G M -mel jelöljük, akkor a mechanikából ismert mozgásegyenlet szerint ((56,15). egyenlet). Ennek az egyenletnek x komponense (56,12) alapján a következőképpen írható: ((56,16). egyenlet), ahol a tekintett térfogat felületére ható erő x komponense. Ha a fizikai rendszerünk zárt, akkor a felületen a térerősségek eltűnnek, és ebben az esetben a felületi erő eltűnik. Zárt fizikai rendszer esetén tehát a egyenlet érvényes. Ugyanilyen alakú egyenlet áll fenn az y és z komponensre is. Ezeket vektoriális alakban írva, kapjuk, hogy VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK. ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK 233 ((56,17). egyenlet). Az (56,17)-ből következik, hogy a töltésrendszer mechanikai impulzusa elektromágneses tér jelenlétekor zárt rendszer esetén nem állandó. Az impulzus megmaradásának tétele csak akkor igaz zárt rendszerre, ha az elektromágneses térnek is tulajdonítunk impulzust, éspedig ((56,18). egyenlet) nagyságút. Eszerint (56,17) alapján a töltésrendszer G M mechanikai impulzusának és az elektromágneses tér G impulzusának az összege állandó: ((56,19). egyenlet). A töltések és az elektromágneses tér együtt alkot zárt fizikai rendszert. Mivel az elektromágneses tér folytonosan oszlik el a V térfogatban, (56,18)-at úgy értelmezhetjük, hogy az elektromágneses térimpulzus is folytonosan tölti ki a térfogatot, ((56,20). egyenlet) impulzussűrűséggel. Az energia-áramsűrűség képletével összevetve, kapjuk az impulzussűrűség és az energia-áramsűrűség között fennálló ún. Planck-féle összefüggést: ((56,21). egyenlet). Példaként számítsuk ki a (49,6) síkhullám impulzussűrűségét: ((56,22). egyenlet), VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK. ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK 234 ahol a hullám fázissebessége, pedig energiasűrűsége. Az izotrop közegben terjedő elektromágneses síkhullám impulzussűrűsége tehát a terjedés irányába mutat. A mechanikában megtanultuk, hogy a test impulzusa annak tehetetlen tömegével van kapcsolatban a p = mv összefüggés alapján; az impulzussűrűség pedig a tehetetlen tömeg ϱ m sűrűségével: . A síkhullám impulzussűrűsége is arányos a terjedési sebességgel, ezért az arányossági tényezőt a hullám elektromágneses tehetetlen tömegsűrűségeként értelmezhetjük: . Ha elektromágneses hullám esik vákuumból fémfelületre (tegyük fel, hogy ideális vezetőre) vagy tükörre, akkor arról teljesen visszaverődik. A visszaverődésnél megváltozik a hullám iránya és ezzel együtt impulzusa is. Az impulzusváltozás – mint tudjuk – erőhatással kapcsolatos: a tükör erőt fejtett ki a hullámra. A hatás és ellenhatás elve alapján a hullám is erőt fejt ki a tükörre. Az egységnyi felületre kifejtett erőt nevezzük fénynyomásnak. Számítsuk ki a fénynyomást merőlegesen beeső síkhullámra. Az 1 cm 2 felületű tükröt 1 s alatt G = gc impulzus éri. Mivel a hullám teljesen visszaverődik, az 1 s alatti impulzusváltozás, tehát a fénynyomás (mert 1 cm 2 -ről van szó): ((56,23). egyenlet). Az impulzussűrűség (56,22) kifejezését behelyettesítve, adódik: ((56,24). egyenlet), ahol u a hullám energiasűrűsége. Ha a hullám nem tükörre, hanem olyan testre esik, amely azt teljesen elnyeli, akkor az 1 s-ra eső impulzusváltozás a hullám gc impulzusával egyezik meg. Ekkor a fénynyomás az (56,24) érték fele: ((56,25). egyenlet). A fénynyomást kísérletileg először Lebegyev mutatta ki. VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK. ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK 235 A geometriai optika mint a hullámoptika határesete. Fermat-elv A korlátlan hullámfronttal rendelkező elektromágneses hullámok (mint pl. a végtelen hullámfrontú síkhullám vagy a gömbhullám) a hullámfelület normálisa irányában terjednek. A hullámfelület normálisait fénysugaraknak tekinthetjük, és a fényterjedést e sugarak formájában írhatjuk le. A kísérleti fizikai tanulmányainkból tudjuk, hogy az ún. geometriai optika használja ezt a leírásmódot. Az említett esetekben (végtelen síkhullám vagy gömbhullám) a fény egyenes vonalban terjed. Véges hullámfrontú hullámok esetén általában nem írható le a hullámterjedés sugarakkal, mert ekkor elhajlás lép fel. (Mint már korábban említettük, az elhajlás jelensége a hullámoptika, tehát a Maxwell-féle fényelmélet alapján tárgyalható.) Inhomogén, izotrop közegekben a sugarak nem egyenesek, hanem görbék. Bizonyos feltételek mellett azonban inhomogén közegekben is alkalmazható a fénysugarakkal való leírásmód véges hullámfrontú hullámok terjedésére. Tehát meghatározott feltételek teljesülésekor alkalmazhatók a gyakorlat számára egyszerűbb, geometriai optikai törvények. A következőkben megmutatjuk, hogy a Maxwell-féle fényelmélet általános érvényű törvényei helyett milyen esetekben használhatók a geometriai optikai törvények. Feltételezzük, hogy az elektromágneses hullám izotrop, de inhomogén szigetelőben terjed. Ebben az esetben a terjedési sebesség és az amplitúdó nem állandó, hanem függ a helytől. Az elektromos és mágneses térerősség komponensei, amelyeket most egyszerűség kedvéért az f(x, y, z) függvénnyel jelölünk, kielégítik a ((57,1). egyenlet) hullámegyenletet, a hullám terjedési sebessége az x, y, z koordinátájú pontban. Legyen a hullám monokromatikus, vagyis: ((57,2). egyenlet), ahol a rezgés amplitúdója az y, x, z koordinátájú pontban, ω a körfrekvencia. (57,2)-t (57,l)-be beírva, kapjuk az f 0 amplitúdóra vonatkozó hullámegyenletet: ((57,3). egyenlet). Keressük ennek megoldását az ((57,4). egyenlet) alakban. Az függvényt a fénysugár optikai úthosszának nevezzük; , ahol λ a vákuumbeli hullámhossz. Az VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK. ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK 236 ((57,5). egyenlet) képlettel definiált n törésmutató bevezetésével (57,3) a következő alakba írható: ((57,6). egyenlet). Az (57,4) kifejezést (57,6)-ba beírva, adódik: ((57,7). egyenlet). Most tételezzük fel, hogy k igen nagy, vagy ami ugyanazt jelenti, hogy λ igen kicsi. Ebben az esetben (57,7)-ben a második és harmadik tag elhanyagolható a sokkal nagyobb első tag mellett. E feltétellel adódik: , amely tulajdonképpen a következőt jelenti: ((57,8). egyenlet). A közegre jellemző törésmutatót ismertnek tekintjük. Az (57,8) egyenlet megoldásával meghatározható. Az függvényt eikonálnak, az (57,8) egyenletet eikonál-egyenletnek nevezzük. Ez az egyenlet a geometriai optika alapegyenlete. Az L eikonál határozza meg a különböző fázisú felületeket. Ezek normálisai megegyeznek a fénysugarak irányával. A geometriai optika alapfeladata tehát a következő: megoldjuk az eikonál-egyenletet és képezzük az felületek normálisait (ortogonális trajektóriáit), ezek adják a fénysugarak irányát. A geometriai optika törvényeit elméletileg a határesetben kapjuk. Ebben a határesetben a hullámoptika átmegy a geometriai optikába. Azonban nézzük meg azokat a feltételeket, amelyek teljesülésekor a geometriai optika törvényei gyakorlatilag alkalmazhatók, vagyis amikor az (57,7) egyenlet második és harmadik tagja elhagyható az első mellett. Ebben az esetben fennállnak a következő egyenlőtlenségek: ((57,9). egyenlet) VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK. ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK 237 Az első egyenlőtlenségnek fenn kell állnia akkor is, ha a jobb oldali mennyiségek abszolút értékeit vesszük: . Mivel , ezért . Az első egyenlőtlenség tehát a következőképpen írható: ((57,10). egyenlet), ahol a közegben mért hullámhossz. A második egyenlőtlenségben L második differenciálhányadosai szerepelnek, amelyek a felület görbültségével vannak kapcsolatban. Ha síkgörbe, akkor görbületét az ((57,11). egyenlet) képlet fejezi ki. Mivel a mi esetünkben , ezért ((57,12). egyenlet). A felület ϱ L görbületi sugara R reciprok értékével egyenlő. Tekintettel arra, hogy , (57,9) második egyenlőtlensége a következőképpen írható: ((57,13). egyenlet). Azonban , ezért VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK. ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK 238 ((57,14). egyenlet). (57,9) harmadik egyenlőtlensége a másodikhoz hasonló alakú, ezért (57,14)-hez hasonlóan a különböző amplitúdójú felületek ϱ a görbületi sugarával fejezhető ki: ((57,15). egyenlet). Végül figyelembe kell vennünk, hogy a gyakorlatban a hullámfront mindig véges. Hogy az elhajlási jelenségektől eltekinthessünk, a hullámfront D lineáris méretének sokkal nagyobbnak kell lennie a hullámhossznál: ((57,16). egyenlet). Az itt kapott egyenlőtlenségeket összefoglalva, megállapíthatjuk, hogy a geometriai optika törvényei a következő feltételek fennállása esetén alkalmazhatók: a) az amplitúdó változása a hullámhosszal szorozva sokkal kisebb, mint maga az amplitúdó; b) a hullámfelület görbületi sugara sokkal nagyobb a hullámhossznál; c) az amplitúdófelület görbületi sugarának és a hullámhossznak viszonya sokkal nagyobb a hullámhossz és az amplitúdó viszonyánál; d) a hullámfront lineáris méretei sokkal nagyobbak a hullámhossznál. Ezek a feltételek nem érvényesek a fény és árnyék határán – mert ott az amplitúdó ugrásszerűen változik –, továbbá fényforrások és fókuszpontok közelében. Térjünk vissza az (57,8) eikonál-egyenlethez. Mivel a k vektor izotrop közegben a fénysugarak irányába mutat, és merőleges az felületekre, az (57,8) egyenlet a következő alakba is írható: ((57,17). egyenlet). Képezzük az n k vektor tetszőleges zárt görbére vett integrálját; ((57,18). egyenlet). VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK. ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK 239 Az l zárt görbét válasszuk úgy, hogy annak egy része egyezzen meg az A és B pontok között terjedő fénysugár útjával, a másik része pedig legyen tetszőleges görbe (lásd a 63. ábrát). Ebben az esetben az (57,18) vonalintegrál két integrál összegére bontható: ((57,19). egyenlet). 63. ábra - A második integrálban a k és a ds vektor egyirányú, ezért a skalárszorzat az abszolút értékek szorzatával egyenlő. Most vegyük figyelembe a következő egyenlőtlenséget: . Ennélfogva (57,19)-ből következik, hogy a törésmutatónak az AB fényútra vett integrálja kisebb vagy egyenlő az ACB útra vett integrálnál: ((57,20). egyenlet). Ez az összefüggés azt jelenti, hogy az integrál a fénysugár mentén minimális értéket vesz fel: VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK. ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK 240 ((57,21). egyenlet). Az (57,21) képlettel kifejezett törvényszerűséget nevezzük Fermat-elvnek. 5 Az összefüggés alapján (57,21) a következő alakba is írható: ((57,22). egyenlet), ahol t azt az időtartamot jelenti, amely alatt a fény A-ból B-be jut. (57,22) a Fermat-elvnek egy másik matematikai megfogalmazása. Eszerint a fény két pont között azon az úton halad, amely megtételéhez a legrövidebb idő szükséges. Az (57,21) vagy (57,22) Fermat-elv segítségével könnyen megállapíthatók a fénysugarakra vonatkozó geometriai törvények ismert törésmutatójú közegben. Példaként vezessük le a fénytörés törvényeit a Fermat-elvből. Tekintsünk két homogén közeget, amelyeket sík felület választ el egymástól (64. ábra). A törésmutatók legyenek n 1 = áll., illetve n 2 = áll. Határozzuk meg, hogy milyen úton jut el a fény a felső közeg P 1 (x 1 , y 1 ) pontjából az alsó közegben levő P 2 (x 2 , y 2 ) pontba. Mivel mindkét közeg törésmutatója állandó, a fénysugarak egyenes vonalban terjednek a két közegben, de a határon megtörnek. A törési pontot jelöljük P(x, 0)-val. Képezzük az integrált a P 1 PP 2 útra: . 5 Fermat erre a felismerésre 1657-ben jutott. VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK. ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK 241 64. ábra - Az értéke függ x-től. A Fermat-elv szerint a fény azon az úton halad, amelyre a minimális értéket veszi fel. Tehát , amiből adódik, hogy . Ez éppen a Snellius–Descartes-féle törvény. Hasonlóképpen kapjuk a visszaverődés törvényét is. Document Outline
Yüklə 25,38 Kb. Dostları ilə paylaş:
|