Elmi ƏSƏRLƏR, 2016, №3 (77) nakhchivan state university. Scientific works, 2016, №3 (77)

 

6 

 

 

,

|

|

sup

|

|

sup

,

1,

1

,

1,

,

0

>

,

1,

0

>











w

L

w

W L

t

t

w

W L

t

t

f

C

f

P

C

f

M







 

где 



,

1,w

C

 зависят только от 



 ,

w

. 

2. Если 



,

,w

p

L

f



 и 



,

p

A

w



, 



<

<

1

p

, тогда 







,

,

,

,

w

p

t

t

L

f

P

M





 и  

 

,

|

|

sup

|

|

sup

,

,

2

,

,

,

0

>

,

,

0

>











w

p

L

w

p

L

t

t

w

p

L

t

t

f

C

f

P

C

f

M







 

где 

2

C

 зависят только от 



 

,

 

, p

w

.   

В пространтствах 

)

(

,

R



p

L

 полученные свойства для метагармонической полугруппы 

Данкля 



t

M

  (  см.[5]  ),  аналогичным  образом,  можно  получит  и  в  весовых  пространтствах 

)

(

,

,

R



w

p

L

 :   

 Лемма 1. Для положительных параметров 

t

, 

)

(

,

,

R



w

p

L

f



 и 



,

p

A

w



, 



<

<

1

p

  

 

.

,

,

,

1,

,

,











w

p

L

w

L

t

w

p

L

t

f

m

f

M



  

 Лемма 2.  Если 

)

(

,

,

R



w

p

L

f



 и 



,

p

A

w



, 





<

1

p

, то  

 

0,

=

lim

,

,

0





w

p

L

t

t

f

f

M





 

и для почти всех 

R



x

  

 

).

(

=

)

(

lim

0

x

f

x

f

M

t

t





 

А также для 

D

-потенциал  Бесселя 

f

J





,

  имеет  место следующая теорема, которая 

дает  интегральное  представление  через  метагармонические  полугруппы  Данкля 



t

M

  в 

весовых пространтствах 

)

(

,

,

R



w

p

L

:   

 Теорема 2. Пусть 

)

(

,

,

R



w

p

L

f



 и 



,

p

A

w



, 





<

1

p

. Тогда для каждого 

R



x

,  

                                     

.

d

)

(

)

(

1

=

)

(

1

0

,

t

x

f

M

t

x

f

J

t



















                                (6) 

  В силу теоремы 2, получаем из (6) следующий результат.   

 Следствие  2.  Пусть 

)

(

,

,

R



w

p

L

f



  и 



,

p

A

w



, 





<

1

p

.  Тогда  для  каждого 

R



x

, имеет место следующее равенство:  

 

0.

>

),

)(

(

=

)

)(

(

,

,

t

x

f

J

M

x

f

M

J

t

t













 

 

ЛИТЕРАТУРА 

 

1.  Абдуллаев  С.К.  О  некоторых  классах  интегральных  операторов  в  пространтсвах 

суммируемых функций // ДАН СССР, 1985, т. 283, 4, c.77 

2.  Muckenhoupt  B.  Weighted  norm  inequalities  for  classical  operators  //  Int.  Ser.  Numer.  Math. 

Basel-Stuttgart, 1974, v. 25, pp. 265-283 

3.  Coifman  R.,  Weiss  G.  Analyse  harmonique  non  commutative  sur  certains  expaces  homogenes. 

Lecture Notes in Math., Springer-Verlag. Berlin, 1971,v. 242 

4. Kokilashvili V.M., Kufner A. Fractional integrals on spaces of homogeneous type // Comment. 

Math. Univ. Carolinae 1989, V.30, No.3, pp. 511-523 

---