Elmi ƏSƏRLƏR, 2016, №3 (77) nakhchivan state university. Scientific works, 2016, №3 (77)
Yüklə 1,43 Mb. Pdf görüntüsü
|
71
Misal 3. , 3 2 , 2 1 , 0 =
п п 1 . Misal 4.
, 1 , 0 , 1 , 0 , 1 = 2 ) 1 ( cos
. Tərif: Bütün hədləri eyni bir a ədədinə bərabər olan ardıcıllığa sabit və ya stasionar ardıcıllıq deyilir. Bir daha qeyd edək ki, limit anlayışı ardıcıllıq anlayışı ilə sıx şəkildə bağlıdır və odur ki, ardıcıllığın, onun limitinin, onun məhdudluğunun, eləcə də onlarla bağlı olan anlayışların hələ limit bəhsinin öyrənilməsinə qədər şagirdlərə izah edilməsinin, mənimsədilməsinin böyük əhəmiyyəti vardır. Mövzunun şagirdlərə öyrədilməsi ilə bağlı olaraq bir sıra çətinliklərlə qarşılanılır ki, onlardan bir neçəsini qeyd etmək məqsədəuyğun olardı: 1. Mövzunun öz məzmunu ilə bağlı olan çətinliklər. Onsuz da limit anlayışı kifayət qədər mürəkkəb olan sonsuzluq anlayışının bilavasitə iştirakı ilə verilir və bu da şagirdlərin qavramaları baxımından çətinliklər törədir. Belə ki, " ε- δ" dilində olan tərif konkret bir ədədi ifadə etməyib, bildiyimiz bərabərsizliyi, yəni onu təyin edən bərabərsizliyi ifadə edir. 2. Məktəb riyaziyyatında ardıcıllığın limiti məsələsi bir növ izolə edilmiş xarakterdə verilmişdir. 3. Həmçinin metodiki tövsiyyələrin olmaması da ardıcıllığın və eləcə də onun limitinin, ümumiyyətlə, limit bəhsinin tədrisinə öz mənfi təsirini göstərir.
Çoxluqlarla bağlı olaraq ardıcıllığın limiti anlayışı daha yaxşı,anlaşıqlı olaraq izah olunur.
Və bu məqsədlə həmin izahla tanış olaq:
X A
( a . ) B
b.
Bu məsələ ilə bağlı olaraq bir qədər sonra təriflərlə də tanış olacağıq.
Təbiidir ki, hər bir orta məktəb müəllimi bilməlidir ki, ardıcıllığın tərifinin verilməsi ilə bağlı olaraq iki yanaşma forması mövcuddur: a) Üsullardan biri " ε- δ" üsiludur ki, bu üsulla həm limitin tərifi verilir, həm də limitlə bağlı olan teoremlər, onlardan çıxan nəticələr, xassələr isbat olunur. məsələn, «Курс диффуренциального и интегрального исчисления» (М., Наука, 1966, том 1) kitabında Г.М.Фихтенгольц məhz bu qeyd etdiyimiz üsulla limit anlayışına tərif verir, lakin limitlər nəzəriyyəsinin verilməsi məsələsində dəyişənin limitinin öyrənilməsində tam riyazi mahiyyət açılmır və axıra qədər formalaşdırılmayıb (məsələn: "moment", "proses" anlayışları formalaşdırılmayıb) (Bax: Колягин Ю. М. и др. «Методика преподавания математики в средней школе» Частные методики, М., Просвещение, 1977, ст. 299). b) İkinci üsul limitlər nəzəriyyəsinin, aydındır ki, eləcə də ardıcıllıqlarla bağlı bir sıra anlayışların, verilməsi sonsuz kiçilənlərin köməyi ilə verilir və bununla əlaqəli məsələlərə
72
А.Й.Хинчинин «Краткий курс математического анализа» (М.Гостехиздат, 1957) kitabında hərtərəfli məlumatlar almaq olar. Tərif: Əgər ixtiyari ε >0 ədədinə görə, elə ε- dan asılı n nömrəsi varsa ki, n - in ε - dan asılı olan nömrəsindən sonrakı nömrələri üçün
|а n - а | < ε bərabərsizliyi ödənilsin, onda a ədədinə { а н } ardıcıllığının limiti deyilir. Bunu belə də yazırlar: Lim а n =
а. Tərif : Sonlu limiti olan ardıcıllıqlara yığılan ardıcıllıq, sonlu limiti olmayan ardıcıllıqlara isə dağılan ardıcıllıq deyilir. Aydındır ki, tərifdə ifadə olunan şərt ödənilmədikdə deyirlər ki, ardıcıllıq yığılan deyil. Bu qeyd olunanlardan ardıcıllığın yığılanlığı və dağılanlığı ilə bağlı olaraq belə bir tərif də alınır: Tərif : Əgər a ədədi verildikdə istənilən müsbət ε ədədinə görə, ε - dan asılı elə n nömrəsi tapmaq olasa ki, n nömrəsindən sonra gələn bütün ədədlər üçün
|а n - а | < ε Tərif: Əgər ixtiyari ε >0 ədədinə görə, elə ε- dan asılı n nömrəsi varsa ki, n - in ε - dan asılı olan nömrəsindən sonrakı nömrələri üçün
n - а | < ε bərabərsizliyi ödənilsin, onda a ədədinə { а n } ardıcıllığına yığılan ardıcıllıq, a ədədinə isə onun limiti deyilir. Əgər ardıcıllığın limitinin əsas tərifindəki şərtini onunla eynigüclü olan а - ε <
а
< а + ε bərabərsizliyi şəklində yazsaq, onda alırıq ki, {а n } ardıcıllığının sonlu n nömrəsindən sonra gələn bütün hədləri a limitinin istənilən ε ətrafında yerləşir. Bu isə o deməkdir ki, a nöqtəsinin istənilən ε ətrafında { а n } ardıcıllığının sonsuz, bu ətrafdan kənarda isə olsa-olsa sonlu sayda hədləri vardır. Ardıcıllığın limitinə aşağıdakı kimi daha mükəmməl tərif verirlər:
н } ardıcıllığının a nöqtəsinin istənilən ( а - ε ; а + ε ) ətrafından kənardakı hədləri sonlu və ya boş çoxluq əmələ gətirərsə, onda a ədədinə həmin ardıcıllığın limiti deyilir.
Bir neçə misala baxaq: Misal 1.
п 1 ardıcıllığının limiti sıfra bərabərdir. Doğrudan da istənilən kiçik ε >0 ədədi verilkidə 0 1
п =
п 1
olması üçün n >
1 olmalıdır. Burada n
1
1 kimi seçsək, onda n
>
1 və ya
1 olduğundan
n ≥ n
п 1
п 1
0 1 п
və ya n n 1 lim = 0 olar. Misal 2.
) 1 (
=
, 1 , 1 , 1 , 1 ardıcıllığının limiti yoxdur. Tutaq ki, baxılan ardıcıllığın limiti a ədədinə bərabərdir. a nöqtəsinin uzunluğu 3 2
olan 3 1 , 3 1 а а ətrafına baxaq. Ardıcıllığın 1 və -1 nöqtələri arasındakı məsafəni göstərən 2
ədədi 3 2 ədədindən böyük olduğundan, aydındır ki, bu nöqtələrin hər ikisi eyni zamanda a nöqtəsinin həmin ətrafına düşməz. Müəyyənlik üçün tutaq ki, 1 nöqtəsi həmin ətrafa daxil deyil. Onda n=1,3,5,... qiymətlərinə uyğun olan və ardıcıllığın sonsuz sayda hədləri olan х н =1 hədləri baxılan ətrafdan kənarda qalar. Deməli, a nöqtəsi verilən ardıcıllığın limit nöqtəsi ola bilməz. a ixtiyari nöqtə olduğundan, deyə bilərik ki, { (- 1 ) n+1
} ardıcıllığının limiti yoxdur. Yüklə 1,43 Mb. Dostları ilə paylaş:
|