Elmi ƏSƏRLƏR, 2016, №3 (77) nakhchivan state university. Scientific works, 2016, №3 (77)



Yüklə 1,43 Mb.

səhifə35/43
tarix30.12.2017
ölçüsü1,43 Mb.
1   ...   31   32   33   34   35   36   37   38   ...   43

 

71 


 

     


Misal  3.    





,



3

2

,



2

1

,



0

 = 








п

п 1

 . Misal  4.   





,

1

,



0

,

1



,

0

,



1

 = 







2



)

1

(



cos



n

 . 

  Tərif:      Bütün  hədləri  eyni  bir      a        ədədinə  bərabər  olan  ardıcıllığa  sabit  və  ya  stasionar 



ardıcıllıq deyilir.  

  Bir  daha  qeyd  edək  ki,  limit  anlayışı  ardıcıllıq  anlayışı  ilə  sıx  şəkildə  bağlıdır  və  odur  ki, 

ardıcıllığın, onun limitinin, onun məhdudluğunun, eləcə də onlarla bağlı olan anlayışların hələ limit 

bəhsinin  öyrənilməsinə  qədər  şagirdlərə  izah  edilməsinin,  mənimsədilməsinin  böyük  əhəmiyyəti 

vardır. 

  Mövzunun  şagirdlərə  öyrədilməsi  ilə  bağlı  olaraq  bir  sıra  çətinliklərlə  qarşılanılır  ki, 

onlardan bir neçəsini qeyd etmək məqsədəuyğun olardı:  

  1.  Mövzunun  öz  məzmunu  ilə  bağlı  olan  çətinliklər.  Onsuz  da  limit  anlayışı  kifayət  qədər 

mürəkkəb olan sonsuzluq  anlayışının  bilavasitə  iştirakı  ilə  verilir və  bu da şagirdlərin qavramaları 

baxımından  çətinliklər  törədir.  Belə  ki,  "  ε-  δ"  dilində  olan  tərif  konkret  bir  ədədi  ifadə  etməyib, 

bildiyimiz bərabərsizliyi, yəni onu təyin edən bərabərsizliyi ifadə edir. 

  2.  Məktəb  riyaziyyatında  ardıcıllığın  limiti  məsələsi  bir  növ  izolə  edilmiş  xarakterdə 

verilmişdir. 

  3.    Həmçinin  metodiki  tövsiyyələrin  olmaması  da  ardıcıllığın  və  eləcə  də  onun  limitinin, 

ümumiyyətlə, limit bəhsinin tədrisinə öz mənfi təsirini göstərir. 

 

Çoxluqlarla bağlı olaraq ardıcıllığın limiti anlayışı daha yaxşı,anlaşıqlı olaraq izah olunur.  



 

 

 



 

Və bu məqsədlə həmin izahla tanış olaq:

  

 

                                                               



                                                                        X   

                                                                                      A   



 



(      a .        )



   B 

                                                                  

 b.  

 

 



 

Bu məsələ ilə bağlı olaraq bir qədər sonra təriflərlə də tanış olacağıq. 

 

Təbiidir  ki,  hər  bir  orta  məktəb  müəllimi  bilməlidir  ki,  ardıcıllığın  tərifinin  verilməsi  ilə 



bağlı olaraq iki yanaşma forması mövcuddur:  

  a) Üsullardan biri  " ε- δ" üsiludur ki, bu üsulla həm limitin tərifi verilir, həm də limitlə bağlı 

olan  teoremlər,  onlardan  çıxan  nəticələr,  xassələr  isbat  olunur.  məsələn,    «Курс 

диффуренциального  и  интегрального  исчисления»  (М.,  Наука,  1966,  том  1)  kitabında   

Г.М.Фихтенгольц  məhz  bu  qeyd  etdiyimiz  üsulla  limit  anlayışına  tərif  verir,  lakin  limitlər 

nəzəriyyəsinin  verilməsi  məsələsində  dəyişənin  limitinin  öyrənilməsində  tam  riyazi  mahiyyət 

açılmır  və  axıra  qədər  formalaşdırılmayıb  (məsələn:  "moment",  "proses"  anlayışları 

formalaşdırılmayıb)  (Bax:  Колягин  Ю.  М.  и  др.  «Методика  преподавания  математики  в 

средней школе» Частные методики, М., Просвещение, 1977, ст. 299).  

  b)  İkinci  üsul  limitlər  nəzəriyyəsinin,  aydındır  ki,  eləcə  də  ardıcıllıqlarla  bağlı  bir  sıra 

anlayışların,  verilməsi  sonsuz  kiçilənlərin  köməyi  ilə  verilir  və  bununla  əlaqəli  məsələlərə 



 

72 


 

А.Й.Хинчинин  «Краткий  курс  математического  анализа»  (М.Гостехиздат,  1957)  kitabında 

hərtərəfli məlumatlar almaq olar. 

  Tərif:   Əgər ixtiyari    ε >0   ədədinə görə, elə ε- dan asılı   n   nömrəsi varsa ki,  n - in  ε -

dan asılı olan nömrəsindən sonrakı nömrələri üçün   

   


 



 -   а | < ε    

bərabərsizliyi ödənilsin, onda  a   ədədinə  { а

н   

}  ardıcıllığının limiti deyilir. 



  Bunu belə də yazırlar:        Lim а

n =


 а. 

  Tərif :   Sonlu limiti olan ardıcıllıqlara yığılan ardıcıllıq, sonlu limiti olmayan ardıcıllıqlara 

isə dağılan ardıcıllıq deyilir.  

  Aydındır ki, tərifdə ifadə olunan şərt ödənilmədikdə deyirlər ki, ardıcıllıq yığılan deyil. Bu 

qeyd olunanlardan ardıcıllığın yığılanlığı və dağılanlığı ilə bağlı olaraq belə bir tərif də alınır:     

  Tərif :   Əgər   a   ədədi  verildikdə istənilən müsbət    ε   ədədinə görə,   ε - dan asılı elə    n   

nömrəsi tapmaq olasa ki,   n    nömrəsindən sonra gələn bütün  ədədlər üçün 

   


 

 

  



n

 -   а |  <  ε   



  Tərif:   Əgər ixtiyari    ε >0   ədədinə görə, elə ε- dan asılı   n   nömrəsi varsa ki,  n - in  ε -

dan asılı olan nömrəsindən sonrakı nömrələri üçün   

   

 



 -   а | < ε    

bərabərsizliyi ödənilsin, onda  a   ədədinə  { а

}  ardıcıllığına yığılan ardıcıllıq, a ədədinə isə 



onun limiti deyilir. 

  Əgər  ardıcıllığın  limitinin  əsas  tərifindəki  şərtini  onunla  eynigüclü  olan    а  -  ε  <

 

а



< а + ε  

bərabərsizliyi    şəklində  yazsaq,  onda  alırıq  ki,  {а

}    ardıcıllığının  sonlu      n    nömrəsindən  sonra 



gələn  bütün  hədləri    a    limitinin  istənilən        ε      ətrafında    yerləşir.  Bu  isə  o  deməkdir  ki,    a   

nöqtəsinin istənilən     ε    ətrafında  { а

} ardıcıllığının  sonsuz, bu ətrafdan kənarda isə olsa-olsa 



sonlu sayda hədləri vardır. Ardıcıllığın limitinə aşağıdakı kimi daha mükəmməl tərif verirlər:      

 

Tərif :   Əgər  { а

н  

}  ardıcıllığının  a  nöqtəsinin  istənilən  ( а -  ε  ; а +  ε )  ətrafından 



kənardakı hədləri sonlu və ya boş çoxluq əmələ gətirərsə, onda  a  ədədinə həmin ardıcıllığın limiti 

deyilir.   

 

Bir neçə misala baxaq:      



 

Misal  1.     







п

1

   ardıcıllığının limiti sıfra bərabərdir.   



 

Doğrudan da istənilən  kiçik   ε  >0   ədədi verilkidə    

0

1



п

 = 


п

1

 



 



  olması  üçün   n > 

 



1

  olmalıdır. Burada  n

 

 = 



1

  

1











  kimi seçsək, onda   n

 



 > 

 



1

   və ya   



п

1



 

 olduğundan   



 

n ≥ n



 

    nömrələri üçün    



п

1

   



 



п

1

 



 



 

   



0

1



п

 



 

  və ya      



n

n

1

lim



  = 0  olar. 



 

Misal  2.    



1



)

1

(





n

  =  





,

1



,

1

,



1

,

1



     ardıcıllığının limiti yoxdur.   



 

Tutaq ki, baxılan ardıcıllığın limiti   a   ədədinə bərabərdir.  a    nöqtəsinin uzunluğu    

3

2

 



olan   







3

1

,



3

а



а

  ətrafına baxaq. Ardıcıllığın    1  və  -1   nöqtələri  

arasındakı  məsafəni  göstərən      2 

 

  ədədi   



3

2

      ədədindən    böyük  olduğundan,  aydındır  ki,  bu 



nöqtələrin hər ikisi eyni zamanda  a   nöqtəsinin həmin ətrafına düşməz. Müəyyənlik üçün tutaq ki,  

1  nöqtəsi həmin ətrafa daxil deyil. Onda n=1,3,5,...   qiymətlərinə uyğun olan və ardıcıllığın sonsuz 

sayda  hədləri  olan    х

н

=1  hədləri  baxılan  ətrafdan  kənarda  qalar.  Deməli,    a    nöqtəsi  verilən 



ardıcıllığın  limit  nöqtəsi  ola  bilməz.      a      ixtiyari  nöqtə  olduğundan,  deyə  bilərik  ki,  {  (-  1  )

n+1


}  

ardıcıllığının limiti yoxdur. 






Dostları ilə paylaş:
1   ...   31   32   33   34   35   36   37   38   ...   43


Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2019
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə