Elmi ƏSƏRLƏR, 2016, №3 (77) nakhchivan state university. Scientific works, 2016, №3 (77)

 

80 

 

2)

 

Преподается абстрактные понятии, в том числе фактор  – алгебры в  конце курса 

алгебры  в  отдельном  виде.  Тогда  нарушается  тенденции  намечанные  выше,  и 

построение курса алгебры  линейныом  образом. 

3)

 

Сохранить  методики  представленной  Л.Я.  Куликовом  [1].  Показать  примеры    в 

фактор – алгебре и  с целью закрепления материалов связи   с фактор- алгеброй, 

следует  преподавать  элементы  абстрактной  алгебры  и  теории  чисел  в  одном  (  в 

первом) семестре. 

  

Изложим методику введение фактор –алгебры в [1].Рассматриваятея неко-торая  A  - 

алгебра и  

R

  отношение  эквивалентности  на  основном  множестве 



  A 



.    В  [1,  стр  81]  

введены  конгруэнции  относительно  бинарной  операции  Т  Пусть 

R

-отношение 

эквивалентности на множестве 

A

 и 

Т - бинарная операция на 

A

. Конгруэнция определяется 

следующим образом. 

 

Определение. Отношение эквивалентности 

R

называется конгруэнцией относительно 

операции    Т,    если  для  любых  элементов 

d

c

b

a

,

,

,

  множества 

A

  из    aRc   и  bRa     следует  



 



cTd

R

aTb

   

 

Известно, что посредством  отношением эквивалентности  

R

  в 

A

  строится фактор 

множества,  его    елементы  являются  классы  эквивалентности.  На  вопрос  определении 

бинарной операции в фактор множестве отвечает  следующая теорема [1, стр 81]. 

 

Теорема  1.  Пусть    Т    бинарная  операция  на  множестве     

A

    и   

R

  конгруэнция 

относительна  Т. Тогда равенство 

 

 

 

 





R

a /

Т

  

a

R

b





/

Т



R

b /

 

где  

A

b

a



,

, определяет бинарную операцию  Т

*

  на фактор множестве  

R

A /

. 

Определение [1, стр 91]. Отношение   R    называется  конгруэнцией или отношением 

конгруэнтности  в  алгебре    A  ,  если    R        является  конгруэнцией  относительно    каждой  

главной операции  



A 

  алгебры  

A , т.е. для любых элементов  

m

m

b

a

b

a

,

,...,

,

1

1

  множества  



 

A 



  

из  

 

 

 

                                           

m

m

Rb

a

Rb

a

,...,

1

1

 

 

 

 

(1) 

следует 

                                     



A 





R

a

a

m

,...,

1

 



A 





m

b

b ,...,

1

   

 

           (2) 

где  

m

 - ранг операции  



A 

 . 

 

После этого на 

R

A /

 определены операции. 

 

Пусть    A 







,

A

  -  алгебра,   

R

  -  конгруэнция  в   

A    и   

R

A /

  -  фактор  множество  

множества   

A

    по 

R

.  На  множестве   

R

A /

  определим   

m

  -  местную  операцию   



A/R 

  , 

соответствующую операции   



A    

из  



, следующим образом : 

 

 

 

 



A/R 









R

a

a

f

R

a

R

a

m

A

m

/

,...

/

,....,

/

1

1



 

 

(3) 

для любых  

m

a

a ,...,

1

  из   

A

. 

 

Это определение корректно, так как в силу   ( 2) значение правой части ( 3) не зависит 

от выбора элемантов  

m

a

a ,...,

1

  соответственно в классах эквива-лентности   

R

a

R

a

m

/

,...,

/

1

. 

Операция 



A/R 

      называется  операцией  ассоциированной  с  операцией   



A       

посредством 

конгруэнции   

R

.  Обозначим  через   





    множество  всех  операций  ассоциированных  с 

главными операциями алгебры 

A

  посредством конгруэнции   

R , 















A

R

A

f

f

|

/

. 

Определение.  Пусть  A 







,

A

 - алгебра  и 

R

 - конгруэнция  в  

A. 

Алгебра 









,

/ R

A

  называется    фактор  –  алгеброй    алгебры 

A

  по    конгруэнции     

R

  и  

обозначается через  A/R

 

  . 

 

Можно  повыщать  качество  усвоение  студентов  понятие  фактор  –  алгебры,                    с 

---