Elmi ƏSƏRLƏR, 2016, №3 (77) nakhchivan state university. Scientific works, 2016, №3 (77)



Yüklə 1,43 Mb.

səhifə41/43
tarix30.12.2017
ölçüsü1,43 Mb.
1   ...   35   36   37   38   39   40   41   42   43

 

81 


 

показанием примера в следующем виде. 

 

Известно  ,  что  в  элементарной  математике  понятие  рациональное  число  вводится  



следующим  образом,  [  6,  стр.  340]:  с  измерением  отрезков  вводится  понятие  дроби. 

Полученные  дроби  при  измерении  с  различными    единиц  масштабов,  одного  и    того  же 

отрезка называется равными дробями. 

 

Теорема  [ 6, стр 339]. Для того чтобы дроби  



n

m

  и  


q

p

  выражали длину одного и того 

же  отрезка,  необходимо  и достаточно,  чтобы выполнялось   равенство 

np

mq

.  На    основе 



этой теоремы равенство дробей определяется в более строгом виде. 

 

Определение.  Две дроби 



n

m

  и  


q

p

  называются равными, при  



np

mq



 

Доказывается,  что    отношение  равенство  дробей  является  эквивалентности  на 

множестве дробей. Поэтому оно порождает на этом множестве классы эквивалентности. 

 

Определение [ 6, стр 342].  Положительным рациональным числом называется класс 



равных дробей,  а каждая дробь, принадлежащая этому классу  есть запись ( представление) 

этого числа. 

 

После  введение  отрицательного  числ,  например  в  [7],  как  в    [  6,  стр  342  -  344] 



определяются  отношение  равенств  рациональных  чисел  и  операции  сложение,  вычитание, 

умножение и деление соответствующими образами. 

 

 Определение.  Если рациональное число 



a

 представлено дробью 



n

m

 ,  


а    рациональное  число   

b

  –  другой  дробью 



q

p

,    то 


b

a

    тогда  и  только  тогда,      когда 



np

mq



Определение.  Если рациональное число 

a

  представлено дробью 



n

m

 ,  


а    рациональное  число 

b

  –дробью 



n

p

,    то    их  суммой  называется    число 



b

a

    , 



которое  представляется  дробью  

n

p

m



Можно доказать что, при  замене дробей  

n

m

  и  


n

p

 представляющих числа    



a

 и 


b

,  


равными    им  дробьями,  дробь   

n

p

m

    заменяется  равной  ей  дробью.  Поэтому  сумма 



рациональных  чисел  не  зависит  от  выбора  представляющих    их  дробей.  Это  означает,  что 

отношение равенство рациональных чисел     является конгруэнцией относительно операции 

 ( сложение)  рациональных чисел. Соответствующими образами определяются оперпции  



 ( вычитание), 

 ( умножение )  



и,  

:

 ( деление) в множестве рациональных чисел -  то есть в 



фактор  –  множестве  множества  дробей  и  доказывается  что,  отношение  равенство  в 

множестве рациональных чисел является  конгруенцией относительно операциям вычитание, 

умножение и деление.  

Пусть 


D

 - множество всех  дробей, а  



R

 отношение равенство в 



D



;

,



,

,





 -  множество   арифметических операции. Тогда множество  всех  рациональных 

чисел  

R

D

Q

/



.  

 

Обозначим  с 



 - всех операций определяемых в  



Q

, т.е  


:



,

,

,







 . Для  любых  

элементов  



D

d

c

b

a

,



,

,

 из   aRc  и   bRd , другими слвами из  



c

a

  и 



d

b

  получается, что  



 




d

c

R

b

a



,  где   

  одно  из  любых    операций  принадлежащая  в 



.    В  множество  




 

82 


 

R

D

Q

/



  определим  операции следующим образом 

 

 



                           

 



 

,



/

/

/



R

b

a

R

b

R

a



 

                                              



 


 

,



/

/

/



R

b

a

R

b

R

a



 

                                              



 


 

,



/

/

/



R

b

a

R

b

R

a



 

                                              



 


 

,



/

:

/



:

/

R



b

a

R

b

R

a

 



где, 

R

/  - обозначает рациональное число определяющие дробь а, т.е. класс дробей равными 

дробыю  


a

 



Алгебраическая  структура 







:

,

,



,

,

R



D

Q

  является  фактор  –  алгеброй.  В  этой  

алгебре    как  обозначения  операции  сложение,  вычитание,  умножение  и  деление    

употребляется соответственно обозначений 

:

,

,



,



  так в множестве 



D

 



В  связи  частных  случаев  фактор  –  алгебры  сделаем  следующое  замечание.    В    [1, 

стр.205]  показаны примеры на кольцо в таком виде. 

 

« Пусть  



Q

- множество всех рациональных чисел и  

 

 

 



 



Q

b

a

b

a

Q



,



|

2

2



 

 

Алгебра 



                   

 


 







1

,

,



,

,

2



2

Q

Q

 

типа 



0



,

2

,



1

,

2



,  где   

  и 



  суть  обычных  операций  сложения  и  умножения  действительных 

чисел  и  –  унарная  операция  перехода  от  данного  числа  к  противоположному,  является 

коммутативным кольцом ». 

 

Нам    кажется,  что  целесообразно  здесь  вместо 



Q

-  множество  всех  рацио-нальных 

чисел  выбрать   

'

D

-  множество  всех  несократимых  дробей.  Потому,    что   

Q

-  фактически 

фактор – множества, тогда при 

Q

a

, тогда  



a

 есть класс. В это время должно определятся  

2

a

.  С  другой  стороны  не  заданы  и  не  обоснованы  понятие  фактор  –  кольца.  А  точнее 

говоря  

 


 







1

,

,



,

,

2



2

Q

Q

 есть фактор кольца. 

 

В  примерах  следующими  типами  обоснование  ведется  с  помощью  определением 



соответствующим  алгебраическим  структурам  и  элементарным  соображениям  и  свойствам 

математических  понятий. 

1.

 

Пусть 



Q

- множество всех рациональных чисел  с обычным  сложением и унарной  

операцией , - операций  перехода от числа 

a

  к противо-положному числу  

 

a



Алгебра   





,



,

Q

Q

типа (2,1) является группой.  

2.

 

Пусть 



Q

-  множество  всех  рациональных  чисел    с  обычным    сложением  и 

умножением  и  унарной    операцией  -,  операции    перехода  от  числа 

a

    к 


противоположному числу  

 


a

. Алгебра   







1



,

,

,



,

Q

Q

типа (2,1,2,0) является 

кольцой.  

После изучение  важные случаи алгебраического структура как группы и  

кольца,  преподавание  кольца  целых  чисел  и  сравнений  открывает  пути  для  изложении 

частных случаев фактор – алгебры, как фактор – группов, фактор кольца, а также прочного 

усвоение знаний об конгруэнции и фактор – алгебры. 

При изучении сравнений введение фактор - групп и фактор – кольцо может 

изложится  следующим образом, [1, гл.12]. 

Пусть 


Z

- кольцо целых чисел, 



m

 фиксированное целое число и   mZ - множество всех 

целых чисел, кратных  

m

. Дается определение  сравнимости по модулю 



m

. Два целых числа  



a

  и  


  называют сравнимыми по модулю 

m

, если  


m

 делит  на 



b

a



Если  

a

  сравнимо  с 



  по модулю 

m

, то это записывается так  



m



b

a

mod


 

Показывается, что отношение сравнимости по модулю  



m

  является отно- 

шением  эквивалентности.  Следовательно,  отношение  сравнимости  индуцирует  разбиение 





Dostları ilə paylaş:
1   ...   35   36   37   38   39   40   41   42   43


Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2019
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə