Elmi ƏSƏRLƏR, 2016, №3 (77) nakhchivan state university. Scientific works, 2016, №3 (77)
Yüklə 1,43 Mb. Pdf görüntüsü
|
81
показанием примера в следующем виде.
Известно , что в элементарной математике понятие рациональное число вводится следующим образом, [ 6, стр. 340]: с измерением отрезков вводится понятие дроби. Полученные дроби при измерении с различными единиц масштабов, одного и того же отрезка называется равными дробями.
Теорема [ 6, стр 339]. Для того чтобы дроби n m и
q p выражали длину одного и того же отрезка, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
. На основе этой теоремы равенство дробей определяется в более строгом виде.
Определение. Две дроби n m и
q p называются равными, при np mq . Доказывается, что отношение равенство дробей является эквивалентности на множестве дробей. Поэтому оно порождает на этом множестве классы эквивалентности.
Определение [ 6, стр 342]. Положительным рациональным числом называется класс равных дробей, а каждая дробь, принадлежащая этому классу есть запись ( представление) этого числа.
После введение отрицательного числ, например в [7], как в [ 6, стр 342 - 344] определяются отношение равенств рациональных чисел и операции сложение, вычитание, умножение и деление соответствующими образами.
Определение. Если рациональное число a представлено дробью n m ,
а рациональное число b – другой дробью q p , то
b a тогда и только тогда, когда np mq . Определение. Если рациональное число a представлено дробью n m ,
а рациональное число b –дробью n p , то их суммой называется число b a , которое представляется дробью n p m . Можно доказать что, при замене дробей n m и
n p представляющих числа a и
b ,
равными им дробьями, дробь n p m заменяется равной ей дробью. Поэтому сумма рациональных чисел не зависит от выбора представляющих их дробей. Это означает, что отношение равенство рациональных чисел является конгруэнцией относительно операции ( сложение) рациональных чисел. Соответствующими образами определяются оперпции ( вычитание), ( умножение ) и, : ( деление) в множестве рациональных чисел - то есть в фактор – множестве множества дробей и доказывается что, отношение равенство в множестве рациональных чисел является конгруенцией относительно операциям вычитание, умножение и деление. Пусть
D - множество всех дробей, а R отношение равенство в D . ; , , , - множество арифметических операции. Тогда множество всех рациональных чисел
/ .
Обозначим с - всех операций определяемых в Q , т.е
: , , , . Для любых элементов D d c b a , , , из aRc и bRd , другими слвами из c a и d b получается, что
d c R b a , где одно из любых операций принадлежащая в . В множество 82
R D Q / определим операции следующим образом
, / / / R b a R b R a
, / / / R b a R b R a
, / / / R b a R b R a
, / : / : /
b a R b R a
где, R a / - обозначает рациональное число определяющие дробь а, т.е. класс дробей равными дробыю
a .
Алгебраическая структура : , , , , / R D Q является фактор – алгеброй. В этой алгебре как обозначения операции сложение, вычитание, умножение и деление употребляется соответственно обозначений : ,
, так в множестве D .
В связи частных случаев фактор – алгебры сделаем следующое замечание. В [1, стр.205] показаны примеры на кольцо в таком виде.
« Пусть Q - множество всех рациональных чисел и
Q b a b a Q , | 2 2
Алгебра
1 , , , , 2 2 Q Q
типа 0 , 2 , 1 , 2 , где и суть обычных операций сложения и умножения действительных чисел и – унарная операция перехода от данного числа к противоположному, является коммутативным кольцом ».
Нам кажется, что целесообразно здесь вместо Q - множество всех рацио-нальных чисел выбрать '
- множество всех несократимых дробей. Потому, что
- фактически фактор – множества, тогда при
, тогда a есть класс. В это время должно определятся 2
. С другой стороны не заданы и не обоснованы понятие фактор – кольца. А точнее говоря
1 , , , , 2 2 Q Q есть фактор кольца.
В примерах следующими типами обоснование ведется с помощью определением соответствующим алгебраическим структурам и элементарным соображениям и свойствам математических понятий. 1.
Q - множество всех рациональных чисел с обычным сложением и унарной операцией , - операций перехода от числа
к противо-положному числу
. Алгебра , , Q Q типа (2,1) является группой. 2.
Q - множество всех рациональных чисел с обычным сложением и умножением и унарной операцией -, операции перехода от числа
к
противоположному числу
a . Алгебра 1 , , , , Q Q типа (2,1,2,0) является кольцой. После изучение важные случаи алгебраического структура как группы и кольца, преподавание кольца целых чисел и сравнений открывает пути для изложении частных случаев фактор – алгебры, как фактор – группов, фактор кольца, а также прочного усвоение знаний об конгруэнции и фактор – алгебры. При изучении сравнений введение фактор - групп и фактор – кольцо может изложится следующим образом, [1, гл.12]. Пусть
Z - кольцо целых чисел, m фиксированное целое число и mZ - множество всех целых чисел, кратных
. Дается определение сравнимости по модулю m . Два целых числа a и
b называют сравнимыми по модулю m , если
m делит на b a . Если a сравнимо с b по модулю m , то это записывается так
b a mod
Показывается, что отношение сравнимости по модулю m является отно- шением эквивалентности. Следовательно, отношение сравнимости индуцирует разбиение
Yüklə 1,43 Mb. Dostları ilə paylaş:
|