Elmi ƏSƏRLƏR, 2016, №3 (77) nakhchivan state university. Scientific works, 2016, №3 (77)

 

83 

 

множества 

Z

  целых  чисел  на  классы  эквивалентности,  которые  называетются  классами 

вычетов  по  модулю 

m

,  является  фактор  –  множеством  множества 

Z

    по  отношению 

сравнимости  модулю   

m

.  Обозначим  через 

mZ

Z /

  этот  фактор  –  множества.    Соагласно 

свойству  классы  вычетов  по  модулю 

m

,  каждый  класс  однозначно  определяется  любым 

принадлежащим ему числом  a  и обозначается просто через 

m

a mod

.Тогда можно  написать 

 

 

 

 









m

m

m

m

o

mZ

Z

mod

1

,...

mod

1

,

mod

/





  

 

Из простейщие свойств сравнений ( сравнения можно почленно складывать, вычитать 

и  перемножить)  получаются  что  отношение  сравнимости  является  конгруэнцией  по 

операции складывание, вычитание и перемножение. 

 

Точнее говоря : 

1)

 

если 













m

d

b

с

a

то

m

d

c

m

b

a

mod

,

mod

,

mod











, 

2)

 

если 













m

d

b

с

a

то

m

d

c

m

b

a

mod

,

mod

,

mod











, 

3)

 

если 













m

bd

aс

тo

m

d

c

m

b

a

mod

,

mod

,

mod







, 

Согласно этому можно определить корректную операпцию если 





,  на  

фактор – множестве 

mZ

Z /

, т.е на множестве классов вычетов следующим образом. 

                         





m

b

a

m

b

m

a

mod

mod

mod







 

                



  

m

a

m

a

mod

mod







 

 

Доказывается что алгебра  









,

,

/ mZ

Z

 является группой. 

 

Группа 









,

,

/ mZ

Z

    называется  фактор  –  группой  группы 









,

,

Z

  по  

отношению  (  конгруэнции)  сравнимости  по  модулю 

m

.  Следует  отметить,  что  операции 

группы   









,

,

Z

  и  соответствующие  операции    ассоцированные  с    ней  одинаковы 

обозначены.  В  литература  фактор  –  группы 









,

,

/ mZ

Z

,  также    называется  аддитивная 

группа классов вычетов. 

 

Аналогичным образом можно определить фактор  - кольцо. 

 

На  множестве  классов  вычетов  по  модулю   

m

  определим  операцию  умножения 

следующим образом : 

                                    









m

ab

m

b

m

a

mod

mod

mod





 

 

Учитывая, что  отношение сравнимости по модулю 

m

  на   

Z

  является  конгруэнцией 

относительно  операции  умножения    на 

Z

,  можно    говорить,  что  умножение  на 

mZ

Z /

 

однозначно определяется. 

После этого доказывается алгебра 











m

mZ

Z

mod

1

,

,

,

,

/

 является кольцом. 

Кольцо   











m

mZ

Z

mod

1

,

,

,

,

/

    называется  фактор  –  кольцом    кольцо  целых  чисел  











1

,

,

,

,

Z

  по  отношению  (  конгруэниции)  сравнимости  по  модулю 

m

.  Фактор  –  кольцо 











m

mZ

Z

mod

1

,

,

,

,

/

  также называется кольцом классов вычетов по модулю 

m

. 

Наблюдения  и  опыт    показывают,  что    методика  введение  фактор  алгебры  и  его 

важные частные случаи изложенные в представленной работе , с одной стороны  усиливает 

прочного усвоения понятие кокгруэнции и фактор – алгебры. Со  второй стороны, помогает в 

дальнейшем  усвоению ряд  тем,  в  которых дольжны использованы важные  случаи фактор 

алгебры. Например, при построении кольцо целых чисел и поля рациональных чисел. 

С этим определяетя значение понятии фактор – алгебры. Наконец, помогает развитию 

абстрактной  мышлении  студентов,  и  создает  в  ней  логичным  образом  представление  об 

фактор – поля, фактор – пространство и.т.д. 

 

ЛИТЕРАТУРА 

 

1.

 

Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел : Учеб. пособие для педагогических  

     институтов.  М, Высшая школа,  1979, 559 с 

2.

 

Глухов М.М, Елизаров В.П., Нечаев А.А.  

---