Eugenio Beltrami Cremona, 20 maggio 2000



Yüklə 37,64 Kb.

tarix14.12.2017
ölçüsü37,64 Kb.


Maurizio Cornalba

Attualit`

a di

Eugenio Beltrami



Cremona, 20 maggio 2000

M. Cornalba, Attualit`

a di Eugenio Beltrami



Cronologia essenziale

- Nasce a Cremona il 16-11-1835

- 1853-1856: studia matematica presso l’Universit`

a di Pavia

- 1856-59: interrotti gli studi universitari per ristrettezze eco-

nomiche, `e segretario del direttore delle ferrovie del

Lombardo-Veneto, a Verona

- 1860: trasferitosi a Milano, riprende gli studi matematici

- 1862: `e nominato professore straordinario a Bologna

- 1864: si trasferisce presso l’Universit`

a di Pisa

- 1866: ritorna a Bologna

- 1873: si trasferisce presso l’Universit`

a di Roma

- 1876: si trasferisce presso l’Universit`

a di Pavia

- 1891: ritorna a Roma

- 1898: diviene presidente dell’Accademia dei Lincei

- 1899: `e nominato senatore

- Muore a Roma il 18-2-1900

M. Cornalba, Attualit`

a di Eugenio Beltrami




Prima e dopo Beltrami

Ebbero forte influenza sulla formazione matematica di Beltrami i

matematici:

-

Francesco Brioschi



(1824-1897, fondatore del Politecnico di

Milano), suo professore a Pavia, ritrovato poi a Milano

-

Luigi Cremona



(1830-1903), conosciuto a Pavia durante gli

anni dell’universit`

a e poi ritrovato a Milano e in seguito a

Bologna


-

Enrico Betti

(1823-1892), conosciuto a Pisa

-

Felice Casorati



(1835-1890), suo coetaneo e compagno di

studi a Pavia, e in seguito per lunghi anni suo collega presso

l’Universit`

a di Pavia

M. Cornalba, Attualit`

a di Eugenio Beltrami




Una forte influenza indiretta, sia attraverso Betti che attraverso

gli scritti, ebbe anche

Bernhard Riemann

(1826-1866), cui princi-

palmente si deve la svolta rivoluzionaria che ha portato al modo

moderno di concepire la geometria.

Beltrami fu uno dei primi continuatori, sia in Italia che fuori d’Ita-

lia, dell’opera di Riemann nell’ambito della geometria differenziale.

L’opera geometrica di Beltrami e le sue speculazioni sulla natura

dello spazio si inseriscono perfettamente in quella corrente di pen-

siero che porta da Gauss e Riemann al calcolo differenziale assoluto

di Levi-Civita, alla relativit`

a generale e in generale alla moderna

geometria differenziale.

M. Cornalba, Attualit`

a di Eugenio Beltrami




La realizzazione concreta della geometria non euclidea

(Giornale di Matematiche, 1868)

M. Cornalba, Attualit`

a di Eugenio Beltrami




Una geodetica su una superficie `e:

- Una linea che realizza, fra due suoi qualsiasi punti, purch´

e suffi-

cientemente vicini, il tragitto (sulla superficie) pi`



u breve

- La traiettoria descritta da un punto materiale che si muova, senza

attrito e non soggetto a forze esterne, sulla superficie

Le geodetiche

sul piano sono le rette

. Le geodetiche

su una sfera

sono i cerchi massimi

. Per un essere bidimensionale vivente su una

superficie le “rette” sono le geodetiche.

Carte geografiche

Una carta geografica `e una rappresentazione piana di una parte

della superficie terrestre; `e impossibile trovare carte geografiche

che siano del tutto fedeli, nel senso di riprodurre fedelmente (in

proporzione) le distanze.

M. Cornalba, Attualit`

a di Eugenio Beltrami



Le carte usuali di solito preservano alcune caratteristiche, ad esem-

pio gli angoli (carte conformi), ma non altre.

Proiezione stereografica

dal polo Sud

(tra 45

0

S a 90



0

N)

M. Cornalba, Attualit`



a di Eugenio Beltrami


Problema: data una superficie,

`e possibile trovarne una carta

in cui le geodetiche

appaiano come rette?

Per la sfera `e possibile,

proiettando dal centro

della sfera su un piano

M. Cornalba, Attualit`

a di Eugenio Beltrami



Ed ecco il risultato

M. Cornalba, Attualit`

a di Eugenio Beltrami



Beltrami risolse il problema (1865), mostrando che le sole superfi-

cie per cui il problema ha risposta affermativa sono quelle di cur-

vatura costante (come ad esempio le sfere, i piani, i cilindri)

curvatura

positiva

negativa


nulla

M. Cornalba, Attualit`

a di Eugenio Beltrami



Idea

: costruire un modello di geometria non euclidea prendendo

come spazio una superficie di curvatura costante negativa e come

rette le sue geodetiche

Difficolt`

a

: nello spazio ordinario non ci sono superficie di curvatura



costante negativa le cui geodetiche si possano estendere indefinita-

mente (dimostrato in seguito da Hilbert)

Scappatoia

: ve ne sono per`

o nello spazio-tempo di Minkowski,

e anche nel suo analogo tridimensionale; sono degli analoghi, in

questa situazione, delle sfere dello spazio ordinario. Beltrami, pur

esprimendosi in termini assai diversi, consider`

o in sostanza una di

queste superficie e ne costru`ı una “carta geografica” in cui tutte le

geodetiche vengono rappresentate come rette.

M. Cornalba, Attualit`

a di Eugenio Beltrami



La “carta geografica”

del piano iperbolico

costruita da Beltrami

M. Cornalba, Attualit`

a di Eugenio Beltrami



Il modello `e un disco (bordo escluso) nel piano usuale, e le geodeti-

che vi appaiono come porzioni di rette

Attenzione!

1. La misura delle distanze e degli angoli non `e quella usuale;

le distanze divengono tanto pi`

u grandi, e gli angoli pi`

u pic-

coli, rispetto a quelli usuali, quanto pi`



u ci si avvicina al

bordo del disco.

2. Le geodetiche sono indefinitamente estese e hanno lunghezza

infinita.


Nel modello tutti gli assiomi della geometria euclidea sono soddi-

sfatti,


tranne quello che afferma, dati una retta e un punto ad essa

esterno, l’esistenza di un’unica retta passante per il punto che non

incontra la retta data.

Nel modello queste rette sono

infinite

.

M. Cornalba, Attualit`



a di Eugenio Beltrami


Una porzione di superficie

di curvatura costante -1

nello spazio ordinario:

la pseudosfera

M. Cornalba, Attualit`

a di Eugenio Beltrami




e un modello in carta

di superficie di curvatura

costante negativa

costruito da Beltrami

intorno al 1869:

la “cuffia di Beltrami”

M. Cornalba, Attualit`

a di Eugenio Beltrami




Gli altri contributi di Beltrami alla scienza matematica

-

I differenziali di Beltrami



. Sono tuttora uno strumento fonda-

mentale nello studio delle applicazioni quasi-conformi e nello studio

dei moduli delle superficie algebriche

-

L’operatore di Laplace-Beltrami



. Generalizza a variet`

a di dimen-

sione qualunque e con metrica qualunque il classico operatore di

Laplace. Questa scoperta di Beltrami `e all’origine di numerosissimi

sviluppi nel campo dello studio delle equazioni a derivate parziali

su variet`

a, quali la teoria di Hodge, la teoria dell’indice, ecc. . . .

`

E la chiave di volta delle interazioni tra analisi e topologia delle



variet`

a.

M. Cornalba, Attualit`



a di Eugenio Beltrami


- Praticamente tutte le ricerche di Beltrami, incluse quelle sulla

natura dello spazio, sono motivate da problemi fisici. Dagli anni

’70 in poi si occup`

o quasi esclusivamente di fisica matematica; la

maggior parte della sue oltre 100 pubblicazioni sono dedicate a

problemi fisico-matematici. Si occup`

o tra l’altro di elettromagne-

tismo e in particolare della teoria di Maxwell, di teoria dell’elasti-

cit`

a, della propagazione del calore, di dinamica dei fluidi.



M. Cornalba, Attualit`

a di Eugenio Beltrami




Dostları ilə paylaş:


Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2019
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə