Expérience de la barque
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VFinProp = Véject Ln[ ] …ce qui s’écrit encore : VFinProp = Véject Ln[R] …où la mention Ln signifie Logarithme népérien (ou naturel), fonction disponible sur la plupart des calculettes. Nous démontrons cette formule dans notre texte AMENDEMENT ATMOSPHÉRIQUE À LA FAMEUSE FORMULE DE TSIOLKOVSKI. Si nous reprenons l’exemple de l’expérience de la barque Tsiolkovski en mode tennis, avec une Masse d’Appui de 3 Kg (53 balles) projetée à 40 m/s à partir d’une barque pesant avec son opérateur 100 Kg (Masse à vide, sans les balles) nous pouvons écrire : VFinProp = 40* Ln[ ] Le logarithme népérien de 103/100 = 1,03 étant 0,02956, la Vitesse de Fin de Propulsion est de 1,18 m/s (que nous avons arrondie plus haut en 1,2 m/s) 30. Une curiosité : la différence entre les propulsions instantanée et progressive : En effectuant des calculs rapides pour illustrer ce texte, nous sommes cependant tombé sur une curiosité : La vitesse calculée par l’équation de Tsiolkovski ci-dessus, (vitesse que nous aurons l’occasion d’appeler dans le présent texte Vitesse de Tsiolkovski) est réputé être indépendante du débit avec lequel la Masse d’Appui est éjectée (débit en Kg / seconde). De fait, ce débit n’apparaît nullement dans l’équation. Or nos calculs nous ont convaincu que si l’on lance par exemple toute la Masse d’Appui de la barque (toutes les pierres) en même temps (en un seul jet) et ceci à un Vitesse d’Éjection donnée (en supposant que cette éjection des 150 Kg de pierres soit possible), on y gagnerait une Vitesse de Fin de Propulsion beaucoup plus faible que si l’éjection de la Masse d’Appui se fait de façon répartie dans le temps.
Pour comparaison, ce Rapport de Masses, entré dans la formule de Tsiolkovski conduit à une Vitesse de Tsiolkovski de 10 m/s*Ln[3,5] = 12,53 m/s (supérieure également à la Vitesse d’Éjection) qui est donc la Vitesse de Fin de Propulsion à attendre d’une propulsion parfaitement progressive (les pierres étant, par exemple réduites en poudre et éjectées sous cette forme à la vitesse de 10 m/s à débit constant)… Ce constat est troublant. Nous en sommes resté surpris et un peu anxieux, jusqu’à ce que nous découvrions un texte du Massachusetts Institute of Technology faisant mention de ce curieux phénomène. Ceci dit, on peut assez facilement démontrer que l’éjection instantanée de toute la Masse d’Appui ne peut produire qu’une vitesse assez faible et toujours inférieure à la Vitesse d’Éjection. En effet, dans ce cas de l’éjection instantanée, pour mettre en mouvement la barque, l’opérateur s’appuie sur la Masse de pierres (250 Kg) qu’il éjecte horizontalement. Aussi lourde soit-elle, cette masse de pierres va reculer lorsque l’opérateur va s’appuyer dessus, la barque étant également assez lourde à mettre en mouvement (100 Kg) 32. Si la Masse de pierres ne reculait pas, alors l’opérateur qui la repousse à 10 m/s donnerait à la barque une vitesse d’également 10 m/s : ce cas est celui qui se présente lorsque l’opérateur repousse le quai, par exemple, à cette vitesse de 10 m/s… Ce cas est de même celui des fusées que l’on fabrique avec un tube d’aspirine en enfermant du bicarbonate et du vinaigre : lorsque le bouchon du tube est refermé et que ledit tube est posé à l’envers (bouchon en bas) sur une table, la Vitesse d’Éjection du bouchon (qui est posé sur la table) est également celui de la table et plus généralement de la Terre : notre planète est bien repoussée vers le bas, mais son mouvement (ou recul) est insensible. Et comme il n’y a pas de glissement sensible du bouchon vers le bas, la Vitesse d’Éjection de ce bouchon est également celle de la fusée…
Comme support à notre réflexion, nous avons construit un tableau Excel. Voici la courbe que donne ce tableau de la Vitesse de Fin de Propulsion atteinte selon le nombre de partition de la Masse d’Appui (on scinde cette Masse d’Appui en n parties et on éjecte ces parties au cours de n jets) :
À l’issue d’une propulsion progressive, cette Vitesse réduite de Fin de Propulsion est alors évidemment Ln[R] 34, si R est le Rapport de Masse présidant à la propulsion : Cette Vitesse réduite de Fin de Propulsion est représentée sur le graphe ci-dessus par l’horizontale rouge. L’étude de la courbe bleue ci-dessus, établie pour un Rapport de Masses fixé à 3,5 (250 Kg de pierres et 100 Kg de barque et d’opérateur), montre bien que, pour un nombre de jets de 1 et 2, la Vitesse réduite de Fin de Propulsion reste : d’une part nettement inférieure à l’unité (c'est-à-dire que la Vitesse de Fin de Propulsion reste inférieure à la Vitesse d’Éjection) ; d’autre part très inférieure à la Vitesse de Fin de Propulsion obtenue par une propulsion progressive (horizontale rouge) ou par une progression par un grand nombre de jets (50 ou 100).
Les calculs présents dans notre feuille de tableur reposent sur le constat suivant : Si un mobile donné éjecte (dans un espace vide sans gravité) une certaine masse m avec une vitesse relative VÉject, il acquière de ce fait une certaine Vitesse de Fin de Propulsion VFinProp :
La loi de conservation des Quantités de Mouvement, qui conduit (dans un espace vide sans gravité) à une permanence du centre des Masses commun, impose que : MFinProp*VFinProp = m*VAbs La Vitesse VFinProp est une vitesse absolue 35 ainsi que VAbs , la vitesse de la masse m éjectée. On ne connaît pas immédiatement VAbs, mais on dispose cependant de la relation : VAbs = VÉject – VFinProp …ce qui signifie que la vitesse absolue de la masse éjectée m est la Vitesse d’Éjection diminuée de la Vitesse vers la gauche de la masse MFinProp. 36 Il est donc licite d’écrire : MFinProp*VFinProp = m*[ VÉject – VFinProp] D’où l’on peut tirer : VFinProp [MFinProp + m] = mVÉject ..ou encore : VFinProp = VÉject Il apparaît donc au numérateur de la fraction la somme des deux masses en jeu (MFinProp, la masse de Fin de Propulsion et m, la masse éjectée). Or cette somme recompose (nous pensons que c’est fortuitement) la Masse initiale du système (masse totale avant le jet de la Masse d’Appui). On peut donc réécrire ce dernier résultat sous la forme :
À ce stade de la démonstration, on ne peut qu’être persuadé que ce libellé encadré ne vient pas intuitivement : on y arrive après une manipulation mathématique qui, pour simple qu’elle est, ne peut être réalisée « de tête » par un cerveau ordinaire. Ce même libellé encadré s’oppose, d’ailleurs, à un libellé fautif que l’on rencontre souvent, à savoir :
Lorsque l’on observe la propulsion des fusées à eau, on voit également très bien ce moment où l’eau (éjectée par exemple à 100 km/h) est abandonnée sans vitesse par la fusée (parce la vitesse de celle-ci est également 100 km/h). L’animation suivante montre mieux encore : l’étude du sillage de gouttes d’eau de la fusée prouve que la fusée, vers la fin de sa propulsion, abandonne l’eau avec une vitesse verticale vers le haut ! http://perso.numericable.fr/gomars2/expe_tsiol/sillage_minijab_papyjo_sur_wikicommons.gif Nous avons versé cette animation aux Wiki Commons à ce lien : https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sillage_MiniJab_Papyjo.gif La vidéo d’origine, comme la fusée (nommée MiniJab), est due à Papyjo (voir son site très pédagogique) : 
Cette fusée (ici présentée avec sa trappe parachutale ouverte) est une fusée de 0,5 L « plein-goulot » de 82 g , lancée ici à la pression initiale de 8 bars avec un quota d’eau de ⅓. Sur l’animation, on voit nettement dans le sillage de la fusée de grosses goutes qui, une fois agglomérées, continuent leur ascension (avant de reprendre évidemment le chemin du sol sous l’effet de la gravité). Cela signifie tout simplement que la vitesse/sol acquise par la fusée est supérieure à sa vitesse d’éjection (celle-ci étant la vitesse relative de l’eau éjectée par rapport à la fusée). Voici une image concaténée tirée de la même vidéo : 
Nous avons joint, sur les différents vidéogrammes, les images des mêmes gouttes par des segments de droites rouges. Voici un lien où cette même concaténation est présentée en une unique bande. Cet autre lien donne accès à la même bande en plus haute définition. Il est visible que, dans leur ensemble, ces segments de droites dessinent des courbes (très proches sans doute de paraboles 38). Rassuré par la très faible évolution de la pente de ces segments rouges, nous avons même osé dessiner (en jaune) une proposition de segment initial, entre les deux premières images :
Le travail de dessin des segments rouges est assez aisé pour les gouttes les plus hautes mais plus difficile pour celle du bas. Il apparaît cependant nettement que sur la grande planche de concaténation nos segments rouges reliant les gouttes du bas dessinent des courbes dont la culmination se produit avant celle des gouttes du haut.
En effet, dans les images suivantes, l’inertie et la gravité font leur œuvre : les particules d’eau dotées d’une vitesse vers le haut vont continuer à monter alors que les particules d’eau abandonnée sans vitesse par la fusée vont commencer à descendre sous l’action de la gravité, les particules d’eau abandonnée avec une vitesse vers le bas augmentant cette vitesse… Malheureusement, nous ne pouvons repérer ces particules éjectées sans vitesse verticale sur les images, même si nous savons que ces mêmes particules ne peuvent, par principe, que se trouver à une certaine hauteur du sillage d’eau de l’image ci-contre.
On pourrait penser que se produise, au bout d’un certain temps, en ce point du sillage où des particules d’eau sont abandonnées sans vitesses, une striction ou même une interruption du sillage puisque de part et d’autre de ce point la vitesse des particules d’eau tend à les éloigner dudit point. Ce point de striction ou d’interruption du sillage étant indiscernable sur les images, nous avons vérifié s’il pouvait exister. Nous avons donc fait tracer à notre tableur un ensemble de paraboles représentant les trajectoires de différentes particules abandonnées à une certaine hauteur avec une certaine vitesse verticale : cette vitesse est négative (vers le bas) pour les particules abandonnées à l’altitude la plus faible puis nulle pour la particule abandonnée à 0,5 m d’altitude, puis positive (vers le haut) pour les particules les plus hautes.
Nous avons de plus donné la même légère vitesse horizontale vers la gauche à toutes les particules afin qu’elles dessinent leur propre parabole sous les actions conjuguées de la gravité et de ce mouvement vers la gauche (dans un tel mouvement parabolique, l’action de la Traînée aérodynamique sur les particules est négligée). Force nous est de constater qu’aucune zone de vide ne se crée entre les paraboles bien que les particules de la courbe bleue glauque et verte soient animée d’une vitesse verticale initiale contraire et que les particules de la courbe bleu claire ne soient animées d’aucun vitesse verticale initiale. La courbe fuchsia est le lieu des culminations des courbes… Il faut donc lire autrement la ou les strictions ou zones de vide relatif qu’on croit apercevoir dans la concaténation serrée que nous avons réalisée d’après la même vidéo (zone indiquée par la croix rouge ci-dessous) : 
Dans la partie haute de cette concaténation serrée, notre report successif des gouttes de sillage dessine bien un ensemble de paraboloïdes. Nous avons d’ailleurs constaté, lors de ce travail de concaténation, que les paraboloïdes supérieurs croisent dans leur partie basse les paraboloïdes inférieurs : cela signifie que la plus forte vitesse verticale des particules possède la vertu d’épuiser leur vitesse horizontale vers la gauche (c’est ce qui explique que la trajectoire d’un corps lancé en l’air avec une vitesse horizontale est toujours plus proche de la verticale à la redescente : on s’en persuade facilement en projetant obliquement en l’air une plume). Cela implique aussi que lesdits paraboloïdes ne sont pas des paraboles mathématiques. Dans la partie basse, nous nous sommes risqué à tracer un paraboloïde rouge, mais ce tracé est assez téméraire. C’est sous ce paraboloïde rouge que semble exister la zone d’absence relative de gouttes (indiqué par un x rouge). Cependant le graphe de notre tableur exclut, nous l’avons vu, l’existence d’une telle zone… Papyjo nous a indiqué obligeamment que le petit trait vertical visible légèrement au-dessus et à gauche du sillage d’eau (désigné par la flèche rouge sur la photo précédente) représente l’aiguille de libération du temporisateur du parachute, aiguille attachée au Pas de Tir par l’intermédiaire d’une cordelette de ~1 m (on devine cette cordelette sur l’image). Ceci étant, le segment jaune (déjà montré) dessinant l’interpolation vers la gauche de la courbe rouge supérieure indique une hauteur de fin de propulsion aqueuse encore inférieure. On peut donc dire que le sillage d’eau de la fusée, immédiatement après que celle-ci l’ait éjecté, est très inférieur à ce mètre ; ce qui signifie encore que la propulsion aqueuse de cette fusée plein goulot de 0,5 L ne prend place que dans beaucoup moins d’un mètre…
Nous venons de parler de propulsion aqueuse. On sait que cette propulsion aqueuse est suivie immédiatement d’une propulsion gazeuse (éjection de l’air résiduel à très grande vitesse). Dans les réflexions ci-dessus, nous avons supposé que cette propulsion gazeuse n’interférait pas avec la propulsion aqueuse 39… Nous n’avons pas non plus fait intervenir l’action du tube gris visible sur toutes les photos, tube qui crée les conditions d’une première propulsion par effet piston… Pour une fusée à feu (à débit et Vitesse d’Éjection constants), la formule de Tsiolkovski indique que la Vitesse de Fin de Propulsion dépasse la Vitesse d’Éjection dès que le Rapport de Masses instantané 40 de la fusée dépasse 2,7183, (soit e, base des logarithmes népériens) et le Rapport de Masses des fusées à feu est toujours supérieur à cette valeur. Le Rapport de Masses des fusées à eau est également presque toujours supérieur à 2,7182, mais pour ce type de fusées le problème est un peu plus complexe dans la mesure où leur Vitesse d’Éjection diminue à mesure que la pression interne décroît (adiabatiquement 41). Nous avons prouvé dans notre texte LA PROPULSION DE LA FUSÉE À EAU, qu’il était cependant possible de continuer à utiliser la formule de Tsiolkovski en prenant comme Vitesse d’Éjection, dans cette formule, la Vitesse d’Éjection initiale et en la pondérant par un coefficient assez peu variable dont nous donnons la valeur selon le Masse à Vide de la fusée, la Pression initiale et le Quota d’eau embarqué dans la fusée. Ce coefficient de pondération nous est d’ailleurs apparu comme assez proche de l’unité du fait de l’apport en vitesse dû à la propulsion gazeuse 42… Quoiqu’il en soit de tous les pronostics, l’animation évoquée ci-dessus ainsi que la concaténation de ses images révèlent bien le phénomène de dépassement (léger, ici) de la Vitesse d’Éjection par la fusée. Cette révélation est peut-être d’ailleurs d’autant plus claire que le Rapport de Masses de la MiniJab, à peine supérieur à 3, est très proche de 2,718 43…
Après cette exploitation de captations pragmatiques de la réalité, revenons à notre expérience de la barque de Tsiolkovski : Nous venons de voir que la vitesse d’éjection VÉject est presque toujours très différente de la vitesse absolue VAbs à laquelle la fusée abandonne sa Masse d’Appui. La faute de logique consistant à prendre la Vitesse d’Éjection comme une vitesse absolue est pourtant souvent commise lors de la démonstration de la formule de Tsiolkovski. Prenons-en pour preuve la page de Wikipédia consacrée à cette formule. Il est d’ailleurs possible que nous l’ayons également commise dans nos propres écrits, du moins implicitement. Par chance, cette faute de logique n’intervient pas dans le résultat final, nous le justifierons plus bas… Mais revenons à notre libellé encadré. Pour le simplifier et utiliser le Rapport des Masses R, on peut encore poser ceci : = -1 +1 En mettant au même dénominateur les deux premiers termes qui suivent le signe égal, on peut écrire : = – +1 D’où l’on tire : = 1 – Or MInit – m représente la masse finale (après qu’ait été éjectée la Masse d’Appui m). Notre égalité s’écrit donc : = 1 – …où l’on reconnaît qui est l’inverse du Rapport de Masses R : = 1 – = On peut donc adopter, pour la Vitesse de Fin de Propulsion le libellé suivant : VFinProp = VÉject …qui exprime la Vitesse de Fin de Propulsion du système après un jet unique de toute la Masse d’Appui définie par le Rapport de Masse R ayant présidé au jet. À ce stade de notre réflexion, on doit effectuer la comparaison de ce libellé avec celui donné par la formule de Tsiolkovski, à savoir : VFinProp = Véject Ln[R] (courbe en rouge ci-dessous) …cette dernière formule traitant d’une propulsion progressive, à savoir l’éjection progressive de la Masse d’Appui préalablement réduite en poudre : 
La courbe bleue représente la Vitesse réduite de Fin de Propulsion à l’issue du seul et unique jet. Il s’avère alors que, si pour les faibles Rapport de Masses (inférieurs à 1,5), les Vitesses sont comparables, la propulsion progressive donne une Vitesse réduite double dès que le Rapport de Masses R dépasse 5 (Rapport de Masses assez banal). La Vitesse réduite créée par la propulsion progressive continuant à croître pour les Rapports de Masses supérieurs à 5. Par contre, la Vitesse réduite de Fin de Propulsion obtenue par ce jet unique (courbe bleue) reste toujours inférieure à l’unité (ce qui signifie que la Vitesse de Fin de Propulsion ne dépasse jamais la Vitesse d’Éjection)…
Pour une partition de toute la Masse d’Appui en deux et après sa projection lors de deux jets (toujours à la même vitesse VÉject), en s’appuyant sur la Vitesse de Fin de Propulsion encadrée que l’on gagne cependant à réexpliciter en : Gain de VitesseAprèsChaqueJet = VÉject …on écrira de même : Yüklə 3,17 Mb. Dostları ilə paylaş:
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