Expérience de la barque

V_FinProp = V_Éject + V_Éject
…m_App étant la Masse d’Appui totale destinée à être éjectée lors des deux jets.
…ce qui, après quelques manipulations à présent classiques conduit à :
V_FinProp = V_Éject[ + ]
…R étant le Rapport de Masse présidant à toute la propulsion.

Pareillement, la partition de toute la Masse d’Appui en n parties égales conduirait, après projection de ces n parties à la même Vitesse d’Éjection, donne une Vitesse de Fin de Propulsion de :

V_FinProp = V_Éject [R–1][ + + + + … + ]
1^er jet 2^ème jet 3^ème jet 4^ème jet n^ème jet
…R étant toujours le Rapport de Masse présidant à toute la propulsion.
attention à la place des numéros de jet dans Word
Les termes figurant entre les crochets verts forment une série limitée.

Nous avons précisé sous chaque terme (en gris) le numéro du jet qui l’a fait naître.

Attention au fait que le dernier terme de cette série limitée (en bleu) n’est pas un terme général.
Au reste, les termes de cette série limitée sont d’un ordre de grandeur comparable, même si le dernier (correspondant au dernier jet) est le plus fort ⁴⁴ ; voici leur évolution en fonction du numéro de jet, pour une partition de la Masse d’Appui en 64 parties égales :

(la valeur de ces termes est ici basée sur un Rapport de Masse de 3,5)

On peut d’ailleurs remarquer que le quotient du dernier terme sur le premier est assez proche du Rapport de Masses ⁴⁵.

Nous pouvons pareillement présenter sur le même graphe la valeur des termes pour 16, 32 et 64 partitions de la Masse d’Appui (pour le même Rapport de Masses de 3,5) :

Comme, pour chaque partition de la Masse d’Appui, c’est la somme des termes qui importe et que cette somme est assez bien représentée par la surface existant sous les courbes, comme d’autre part les Vitesses de Fin de Propulsion pour chacune de ces partitions sont du même ordre ⁴⁶, il est naturel que les courbes soient d’autant plus hautes que le nombre de partitions (et de jets) est faible (puisqu’elle doivent déterminer une surface du même ordre).

La rédaction d’un terme général pour cette série limitée a été effectuée par l’auteur du texte du MIT. La Vitesse de Fin de Propulsion en ressort alors, dans nos propres conventions, comme :

V_FinProp = V_Éject [R–1]
Dans ce libellé, n est le nombre de partitions de la Masse d’Appui, R le Rapport de Masse du système (Masse initiale sur Masse de Fin de Propulsion), et i le numéro d’ordre du terme.
Attention au fait que ce libellé du terme général rédige les termes en commençant par le dernier de notre rédaction ci-dessus (terme en bleu).
Notons encore que puisque la Vitesse de Propulsion par jets s’approche de la Vitesse de Propulsion donnée par la formule de Tsiolkovski lorsque le nombre de jets de propulsion dépasse la centaine (comme déjà montré dans ce graphique), la série limitée que nous venons d’évoquer peut servir d’approximation au logarithme népérien.

Ainsi, si pour 64 jets on s’approche de la vitesse de Tsiolkovski à 1,1 % près, pour 128 jets cette vitesse est atteinte à 0,55 % près (ceci étant, notre série limité comporte évidemment 64 et 128 termes, de sorte que la série classique, même tronquée, donnant la valeur du logarithme népérien lui sera forcément préférée comme beaucoup plus rapidement convergente : la série donnant la valeur du logarithme népérien :

…(série présente sur la page https://fr.wikipedia.org/wiki/Logarithme_naturel de Wikipédia) atteint, quant à elle, pour une valeur 6 de y, une précision relative de 2 millièmes au bout de seulement 5 termes alors qu’il faut plus de 400 termes (donc autant de jets) à notre série limitée pour arriver à la même précision.


Traduction de la démonstration originale de Tsiolkovski :
Nous avons retrouvé le texte original de Tsiolkovski de 1903 en russe et sa traduction en anglais effectuée pour la NASA en 1954 sous la responsabilité de A. A. Blagonravov.

Il nous est donc possible de suivre pas à pas la démarche de Tsiolkovski :

Ainsi, à la page 82 de la pagination du texte états-unien, nous lisons :
« Notons M₁ la masse du projectile ⁴⁷ et de tout ce qu’il contient excepté la réserve d’explosifs ⁴⁸ ; notons M₂ la masse totale de ces explosifs [sur le pas de tir] et M  la masse variable des explosifs restant dans le projectile sous forme non-explosée à un instant donné.

Ainsi, la masse totale de la fusée au commencement de la propulsion sera (M₁ + M₂) alors que quelques instant plus tard elle sera exprimée par la variable (M₁ + M ) et, finalement, en fin de propulsion ⁴⁹, par la constante M₁.

[…]

En conséquence […] nous obtenons l’équation différentielle suivante basée sur la loi de conservation des Quantités de Mouvements :

dV (M₁ + M ) = V₁ dM (8)
Dans cette équation, dM est une masse infiniment petite de matériau explosif éjecté par la tuyère à une vitesse V₁ constante (relativement à la fusée).

[M₁ est donc la Masse à Vide et M la Masse d’Appui restant à bord ⁵⁰] »

Voici pour mémoire le même texte original tiré de la page russe présentant le texte de Tsiolkovski de 1903 :

Le grand homme poursuit :

« 10 Je dois insister sur le fait que sur la base de la loi des mouvements relatifs, si les conditions demeurent identiques à elles-mêmes, la vitesse relative des éléments éjectés est la même durant toute la période de propulsion.

dV est l’incrément de vitesse de l’ensemble fusée + explosifs non consommés ; cet incrément dV est dû à l’expulsion d’un élément dM à la vitesse V₁. Nous déterminerons cette dernière en temps utile.
11 En séparant les variables dans l’équation (8) ci-dessus et en intégrant, nous obtenons :
dV = – + C (12)
ou encore :
= – ln (M₁ + M) + C (13)

…où C est une constante. Quand M  = M₂ , c.-à-d. avant l’explosion, V = 0, ce qui donne :

c =+ ln (M₁+ M₂) ; (14)
…et donc :
= ln().

La vitesse du projectile sera maximale quand M  =0, c.-à-d. quand la totalité des réserves de combustible ⁵¹ aura été brûlée ; donc, si nous donnons la valeur zéro à M  dans l’équation précédente, nous obtenons :

= ln(1 + ). (16)

En conséquence, nous observons que la vitesse V du projectile croît sans limite avec l’accroissement de la quantité M₂ d’explosifs.

Cela signifie que nous pouvons atteindre différente vitesse finale permettant différents voyages selon la quantité d’explosifs embarqués à bord de la fusée.

L’équation (16) ci-dessus montre aussi que quand une certaine quantité d’explosifs est consumée, la vitesse de la fusée ne dépend pas du débit ou de l’uniformité de l’explosion aussi longtemps que les particules éjectées le sont à la même vitesse d’éjection V₁ relativement au projectile. »

(le texte ci-dessus est donc notre traduction de la version anglaise du texte de Tsiolkovski)

Sur le fond, il nous apparaît qu’en posant son équation différentielle (8), à savoir :

dV (M₁ + M ) = V₁ dM
…où M₁ est la Masse à Vide, M la Masse d’Appui restant à bord, Tsiolkovski a commis lui-même l’erreur logique de prendre V₁ comme une vitesse absolue.
S’il avait fait référence à un repère galiléen (ou, comme nous l’avons écrit, à des vitesses absolues), il aurait évidemment trouvé comme nous :
dV (M₁ + M  + dM) = V₁ dM (notre équation 8)
…libellé que nous tirons de notre accroissement de vitesse après chaque jet, accroissement de vitesse que nous avions écrit pour un jet de pierre :
Gain de Vitesse_{AprèsChaqueJet} = V_Éject
…et qu’on peut présenter avantageusement sous la forme :
Gain de Vitesse_{AprèsChaqueJet}*M_{AvantChaqueJet} = V_Éject*m_{ÉjectéeÀChaqueJet}

Cette déférence à la logique ne nous interdit cependant pas de poursuivre l’intégration, comme l’a fait Tsiolkovski, puisqu’au regard de la somme (M₁ + M ), la quantité dM est infinitésimale (par définition) et peut donc être négligée (du moins dans tous les cas où la Masse d’Appui est projetée progressivement (sous forme de parcelles infinitésimale de masses).

Notre équation (8), à savoir :
dV (M₁ + M  + dM) = V₁ dM
…rejoint donc l’équation (8) de Tsiolkovski :
dV (M₁ + M ) = V₁ dM (8)

Au demeurant, lorsque l’éjection de Masse d’Appui ne se fait pas progressivement sous forme de parcelles infinitésimale mais sous forme de parcelles d’une valeur discrète, nous avons déjà montré implicitement l’erreur qui serait commise si l’on confondait la Vitesse d’Éjection avec une vitesse absolue. Cette erreur est la distance verticale entre la courbe bleue et l’horizontale rouge sur le graphe ci-dessous (déjà montré ici) :

Ladite erreur s’amenuise donc à mesure que la partition de la Masse d’Appui se fait en parcelles plus nombreuses, ce qui justifie in fine la démarche d’intégration mathématique utilisée par Tsiolkovski…


Raisons physique de la différence entre propulsions instantanée et progressive :
Ainsi que nous l’avons déjà écrit, le fait que propulsion instantanée (ou à nombre de jets limité) et propulsion progressive (la propulsion classique honorant la formule de Tsiolkovski) ne conduisent pas à la même Vitesse de Fin de Propulsion nous a beaucoup surpris.

On a coutume de dire, en effet, que dans la formule de Tsiolkovski le débit massique (exprimé en Kg/s) n’intervient pas.

Or passer d’une propulsion produite pas 2 ou 3 jets à une propulsion produite par 100 ou 200 jets ressemble beaucoup, en première approche, à changer de débit massique.
En deuxième approche, on peut cependant se dire que lorsque l’on parle de nombre de jets, on ne précise pas quel laps de temps sépare chaque jet (nous supposerons ici que ce laps reste le même). Or le débit massique est évidemment le quotient de la Masse d’Appui complète sur la somme des laps de temps séparant chaque jet (nous supposons ici que l’accélération de chacune des parcelles de masse à la Vitesse d’Éjection est immédiate).

Cependant force est de constater que nous n’avons nullement fait intervenir la durée séparant les jets dans nos calculs.

De plus, si l’éjection de toute la Masse d’Appui se fait lors d’un jet unique, il est illusoire d’invoquer un quelconque débit massique, celui-ci ne pouvant nullement être défini dans de telles conditions…
Nous avons donc fait fausse route en reliant la différence d’efficacité des deux types de propulsion à une différence de débit massique…

Parmi les réflexions fautives qui nous sont venues, à propos de la différence des deux propulsions il y a aussi celle-ci :

Si la propulsion se fait par un jet unique, ce jet unique va accélérer la Masse à Vide de la fusée et cette masse à vide est très faible.

Par contre, si la propulsion est faite par de nombreux jets, les premiers jets accéléreront une fusée notablement lourde (parce qu’elle embarque encore la plus grande partie de sa Masse d’Appui) :

La propulsion à jet unique peut donc paraître donner plus d’accélération à la fusée. Or nous savons que ce n’est pas le cas.

Une autre réflexion qui nous est venue est celle qui consiste à imaginer une propulsion progressive de la fusée avec un débit massique extrêmement fort (presque infini).

On pourrait alors penser qu’avec un tel débit quasi-infini, on se rapprocherait de la propulsion par jet unique.

C’est également faux car aussi fort que soit le débit massique, la propulsion reste, par définition, progressive et le très faible temps de propulsion reste toujours sécable en une infinité de pas de temps dt, de sorte qu’à la moitié de la propulsion, par exemple, la fusée s’est allégée de la moitié de sa Masse d’Appui.

Autrement dit, même avec un débit massique quasi infini, la propulsion progressive reste toujours justiciable de la formule de Tsiolkovski et surtout elle ne s’approche pas, par ses effets, de la propulsion par jet unique ⁵²…

Le texte du MIT, n’explique pas à quoi est dû la différence d’efficacité des deux types de propulsion (instantanée ou progressive) : il constate cette différence et c’est tout.

Pour notre part, nous avons déjà expliqué que, dans l’expérience de la barque de Tsiolkovski, la vitesse de ladite barque est créée par l’appui (opéré par l’opérateur) sur une masse (celle de chaque pierre) qui se dérobe quelque peu à cet appui (la pierre prenant de la vitesse vers l’arrière).

Il n’y a guère que si la pierre projetée était de masse quasi infinie (par exemple si elle était un rocher dépassant de l’eau (mais ancré parfaitement au reste de la planète) que cette pierre ne reculerait pas (du moins de façon significative) : nous avons déjà dit que dans ces conditions limites la vitesse résultante de la barque ne pourrait être que la Vitesse d’Éjection (qui est la vitesse d’éloignement de la barque et du rocher).

C’est une façon de montrer que la propulsion par jets successifs donne des résultats différents de la propulsion progressive ; mais ce n’est nullement une façon de l’expliquer…
Il reste donc à réfléchir…

Bernard de Go Mars !

http://perso.numericable.fr/fbouquetbe63/gomars/physique.htm

le 14/10/15

Lien où se trouve la version la plus récente de ce texte :

http://perso.numericable.fr/gomars2/aero/expe_barque_tsiol.doc

Nous l’avons également composé en HTML, au lien :

http://perso.numericable.fr/gomars2/expe_tsiol/expe_barque_tsiol.htm,

format dans lequel les animations peuvent être affichées avec le texte (à ouvrir dans Firefox).

BIBLIOGRAPHIE ET LIENS :

Notre animation de l’expérience de la barque de Tsiolkovski versée aux Wiki Commons :

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Exp%C3%A9rience_de_Tsiolkovsky.gif?uselang=fr )

Animation disponible également dans nos propres greniers :

http://perso.numericable.fr/gomars2/expe_tsiol/experience_barque_de_tsiolkovsky_hd.gif

Notre animation du sillage de gouttes d’eau de la fusée MiniJab de Papyjo :

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sillage_MiniJab_Papyjo.gif

(cette image comporte des zones sensibles produisant des commentaires)

Animation disponible également dans nos propres greniers :

http://perso.numericable.fr/gomars2/expe_tsiol/sillage_minijab_papyjo_sur_wikicommons.gif

Notre concaténation des images de ce même sillage :

http://perso.numericable.fr/gomars2/aero/concatenation_bande_av_courbes.jpg

…et en plus haute définition :

http://perso.numericable.fr/gomars2/expe_tsiol/concatenation_av_courbes_thd.png

Notre animation de l’expérience de la paille coudée :

http://perso.numericable.fr/gomars2/expe_tsiol/anim_expe_paille_coudee25pc.gif

Konstantin Tsiolkovsky His Life and Work, par A. Kosmodemyansky, traduit par X. Danko, Paperback, Décembre 2000

COLLECTED WORKS OF K. E. TSIOLKOVSKIY, VOLUME II - REACTIVE FLYING MACHINES

A. A. Blagonravov, Editor in Chief

Translation of "K. E. Tsiolkovskiy. Sobraniye Sochineniy,

Tom II. Reaktivnyye Letatel' nyye Apparaty"

Izdatel' stvo Akademii Nauk SSSR, Moscow, 1954.

http://epizodsspace.no-ip.org/bibl/inostr-yazyki/tsiolkovskii/tsiolkovskii-nhedy-t2-1954.pdf

La page russe consacrée au texte de Tsiolkovski publié en 1903 : http://www.tsiolkovsky.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=64

Variable Mass Systems, the Rocket Equation, Massachusetts Institute of Technology OpenCourseWare

http://ocw.mit.edu/courses/aeronautics-and-astronautics/16-07-dynamics-fall-2009/lecture-notes/MIT16_07F09_Lec14.pdf

La Barque de Tsiolkovski, Site du club d’astronomie de la Baule et la Presqu’île Guérandaise,

http://www.pecheurdetoiles.com/IMG/pdf/la_barque_de_tsiolkovski.pdf

La page d’Astrosurf consacrée à la formule de Tsiolkovsi :

http://www.astrosurf.com/levavasseur/tsiolkovsky/francais/tsiolkovsky_fr.html

La page de Wikipédia consacrée aux Lois du mouvement de Newton :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Lois_du_mouvement_de_Newton

et celle consacrée à l’équation de Tsiolkovski :

https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_de_Tsiolkovski

Le site consacré aux fusées à eau de Papyjo :

http://fusees.free.fr/

La vidéo du lancement de la MiniJab de Papyjo (exploitée par nous) :

https://www.youtube.com/watch?v=zAjO6gtq5Og

D’une façon générale,

les textes de la page Physique de la fusée du site Go Mars ! :

http://perso.numericable.fr/fbouquetbe63/gomars/physique.htm

dont :
LA PROPULSION DE LA FUSÉE À EAU

http://perso.numericable.fr/fbouquetbe63/gomars/prop_fao.pdf

AMENDEMENT ATMOSPHÉRIQUE À LA FAMEUSE FORMULE DE TSIOLKOVSKI :

http://perso.numericable.fr/fbouquetbe63/gomars/amendement_tsiolkovski.doc

Notre tourniquet à réaction, dans la série nommée Réaction de cette page :

http://perso.numericable.fr/fbouquetbe63/gomars/objets_gomars.htm )

1 “Everybody Knows from personal experience that if one jumps from a boat pushing one’s body off it (i.e. acquiring velocity in the horizontal direction), the boat will move…

Such a boat with men leaving i tat equal intervals may be likened τ a rocket.”

2 « Anker » signifie « ancre » en allemand, langue du sous-titrage.

3 Lorsqu’un corps est placé dans le courant d’une soufflerie, on peut en établir la Traînée en mesurant dans son sillage les pertes de Quantités de Mouvement subies par le fluide du fait de la présence du corps.

4 De la même façon la masse éjectée par nos fusées finit toujours par être ralentie par l’air où elle est projetée.

5 Et encore doit-on faire abstraction de l’énorme vitesse de satellisation qui entraîne le système. Dans l’espace, c’est donc plutôt à une constance dans le mouvement du CdM général qu’il faut faire appel.

6 Si l’on admet pour le poids une trajectoire purement parabolique, la vitesse initiale du poids est V₀ =  , L étant la portée ou plus exactement la distance à laquelle le poids repasse à son altitude de lancement et g l’accélération de la pesanteur.

7 Nous verrons plus bas qu’en fait le calcul est un peu plus complexe…

8 Cette permanence du CdM commun étant un résultat fortuit, comme nous l’avons dit, de la loi de conservation des Quantités de Mouvement.

9 “Were two men thus to thrust each other apart exerting the same force as I can, and Ican jump one-third of a meter high on Earth, then each of us would begin to move at a velocity of 12 kilometers per hour. I would reach the base 120 kilometers away in l0 hours. This kind of speed would be proper for horses.” [Nous trouvons quant à nous que la vitesse nécessaire à un saut de 1/3 m est 9,2 km/h, NBdGM]

10 “In this case it may be said: motion in free space is impossible without loss of matter.”

11 Le grand homme précise « dans ce cas » car il cite également l’exemple de mouvements alternatifs obtenus en éjectant des masses retenues par une cordelette : il y a bien dans ce cas création d’un mouvement limité en durée et en amplitude sans perte de matière…

12 …ou même dans leur code génétique pour les insectes (pensons au bousier qui passe une partie de sa vie à pousser .. des boules d’excréments)…

13 Newton avouait cependant « Si j'ai vu plus loin que les autres, c'est parce que j'ai été porté par des épaules de géants » (Il fait peut-être mention ici à Galilée, cf. cette page de Wikipédia)

14 À ce sujet, il faut se souvenir que les scientifiques contemporains de Goddard, le grand fuséiste précurseur états-unien, ne voulaient pas croire au principe de la réaction : ils s’accrochaient à l’idée que pour décoller une fusée s’appuie sur l’air ambiant, autrement dit ils étaient persuadés que la propulsion à réaction ne fonctionnerait plus dans le vide de l’espace !

15 Cette expérience est surtout quotidienne aux États-Unis où lorsqu’un étudiant tire sur ses collègues, il ressent très bien le recul de son arme…

16 Ce poussé peut-être organisé sur un sol bien roulant entre deux pratiquants de patin à roulettes.

17 Lorsque l’on tient la paille à la façon d’une pipe mais avec la petite extrémité de la paille coudée vers le bas, le fait de souffler dans la paille soulève celle-ci (si l’on garde les lèvres bien souples et bien humides). Lorsque l’on coude la petite extrémité vers la gauche ou vers la droite, son mouvement se fait latéral…

18 Dans notre premier calcul effectué plus haut à masse embarquée supposée constante, nous avons trouvé un gain de vitesse de 50 fois moins que 10 m/s, soit 0,2 m/s.

19 Nous y revenons à l’instant.

20 Donnons quelques chiffres décrivant cette propulsion à réaction :La fusée lunaire Saturne V projetait vers le bas