Fea-mandelbrot-mem dvi

---

The Influence of

Benoît B. Mandelbrot

on Mathematics

Edited by Michael F. Barnsley and Michael Frame

Michael F. Barnsley

Introduction

We begin this article, which deals largely with

Benoît B. Mandelbrot’s contributions to and influ-

ence upon mathematics, with a quotation from

the introduction to Fractals: Form, Chance, and

Dimension [16]. This essay, together with many

pictures and numerous lectures in the same vein,

changed the way science looks at nature and had

a significant impact on mathematics. It is easy for

us now to think that what he says is obvious; it

was not.

Many important spatial patterns of Nature

are either irregular or fragmented to such an

extreme degree that Euclid—a term used in

this essay to denote all classical geometry—

is hardly of any help in describing their form.

The coastline of a typical oceanic island, to

take an example, is neither straight, nor

circular, nor elliptic, and no other classical

curve can serve, without undue artificial-

ity in the presentation and organization of

empirical measurements and in the search

for explanations. Similarly, no surface in Eu-

clid represents adequately the boundaries of

clouds or rough turbulent wakes.…

Michael F. Barnsley is a professor at the Mathematical Sci-

ences Institute, Australian National University. His email

address is [e-mail].

Michael Frame is adjunct professor of mathematics at Yale

University. His email address is [e-mail].

DOI: http://dx.doi.org/10.1090/noti894

In the present Essay I hope to show that

it is possible in many cases to remedy this

absence of geometric representation by us-

ing a family of shapes I propose to call

fractals—or fractal sets. The most useful

among them involve chance, and their irreg-

ularities are statistical in nature. A central

role is played in this study by the concept

of fractal (or Hausdorff-Besicovitch) dimen-

sion.…Some fractal sets are curves, others

are surfaces, still others are clouds of discon-

nected points, and yet others are so oddly

shaped that there are no good terms for

them in either the sciences or the arts. The

variety of these forms should be sampled by

browsing through the illustrations.…

—Benoît B. Mandelbrot [16, pp. 1–2]

As with the now familiar principle that grav-

itational force tethers the earth to the sun, it

has become hard to imagine what it was like

not to know that many physical phenomena

can be described using nondifferentiable, rough

mathematical objects.

Important fractals such as the Cantor set, the

Sierpinski triangle, and Julia sets were well known

to some mathematicians, but they were neither

visible nor promoted to any practical purpose. To

me, looking back, it seems that these beautiful

things were hidden behind veils of words and

symbols with few diagrams, certainly no detailed

pictures; for example, the long text (in French)

of Gaston Julia failed to reveal to most people,

including most mathematicians, the full wonder of

1208

Notices of the AMS

Volume

59, Number 9

---

the endless arabesques and intricate visual adven-

tures in the boundaries of Fatou domains. It was as

though such objects were guarded by the priests

of mathematics, occasionally to be displayed, like

the monstrance at Benediction, to the inner core of

true believers. I was ritually inducted to calculus

in my first year at Oxford by Hammersley, who

took us through a full proof of the existence of

a Weierstrass nowhere differentiable continuous

curve from first principles. Half an hour with pic-

tures would have saved a lot of time and would

not have tainted our logical skills.

Benoît not only wrested these abstract objects,

these contrary children of pure mathematics, out

from the texts where they lay hidden, but he

also named them and put them to work to help

to describe the physical observable world. He

saw a close kinship between the needs of pure

mathematics and the Greek mythological being

Antaeus. In an interview [6] Benoît said, “The

son of Earth, he had to touch the ground every

so often in order to reestablish contact with

his Mother, otherwise his strength waned. To

strangle him, Hercules simply held him off the

ground. Separation from any down-to-earth input

could safely be complete for long periods—but

not forever.” He also said, “My efforts over the

years had been successful to the extent, to take an

example, that fractals made many mathematicians

learn a lot about physics, biology, and economics.

Unfortunately, most were beginning to feel they

had learned enough to last for the rest of their

lives. They remained mathematicians, had been

changed by considering the new problems I raised,

but largely went their own way.”

John Hutchinson is an example of a pure math-

ematician who was strongly influenced by Benoît’s

work.

In 1979 I was on study leave from the

Australian National University, visiting Fred

Almgren at Princeton for 6 months, as a re-

sult of my then interest in geometric measure

theory. While there, Fred suggested I read

Mandelbrot’s book Fractals: Form, Chance

and Dimension and look at putting it, or some

of it, into a unified mathematical framework.

As a result, we organised a seminar in which

I spoke about six times as my ideas de-

veloped. Participants included, besides Fred

and myself, Bob Kohn, Vladimir Schaeffer,

Bruce Solomon, Jean Taylor and Brian White.

Out of this came my 1981 article “Fractals

and self-similarity” [7] in the Indiana Uni-

versity Math. Journal, which introduced the

idea of an iterated function system (though

not with that name) for generating fractal

sets, similar ideas for fractal measures, and

Figure 1. An outlier Mandelbrot set (M-set)

(surrounded by yellow, then red) connected via a

branch of a tree-like path to the whole M-set.

The connectivity of the M-set was conjectured by

Benoît in 1980 and established by Adrien

Douady and John Hubbard in 1982.

Figure 2. Picture of F

16

(S)

F

16

(S)

F

16

(S) where S ⊂ R

2

S ⊂ R

2

S ⊂ R

2

,

F(S) = f

1

(S) ∪ f

2

(S)

F(S) = f

1

(S) ∪ f

2

(S)

F(S) = f

1

(S) ∪ f

2

(S), and f

1

, f

2

: R

2

→ R

2

f

1

, f

2

: R

2

→ R

2

f

1

, f

2

: R

2

→ R

2

are affine

contractions. The sequence (F

n

(S))

(F

n

(S))

(F

n

(S)) converges

in the Hausdorff metric to a self-similar set, a

fractal, with Hausdorff dimension less than two.

This article has been decorated with pictures, in

the spirit of Benoît.

various structure theorems for fractals. In-

terestingly, this paper had no citations for a

few years, but now it frequently gets in the

AMS annual top ten list.

Mandelbrot’s ideas were absolutely es-

sential and fundamental for my paper. I still

October

2012

Notices of the AMS

1209

---