Fl 2: Ons 3/9: fördjupning I nuvärdesmatematik och investeringsbedömning Kapitel 8: Beräkning av nuvärden från olika typer av kassaflöden

VFT015 ht 2014 Fastighetsmarknaden Ingemar Bengtsson

FL 2: Ons 3/9: fördjupning i nuvärdesmatematik och investeringsbedömning

Kapitel 8: Beräkning av nuvärden från olika typer av kassaflöden

• 
  Enkla kassaflöden
  
  • 
    Ett kassaflöde – en period
    
  • 
    Ett kassaflöde – flera perioder
    
• 
  Upprepade kassaflöden över flera perioder
  
  • 
    Kan förstås nuvärdesberäkna varje kassflöde och sedan addera ihop dem. Dock arbetsamt.
    
  • 
    Om man istället kan anta en viss regelbundenhet i kassaflödena så finns det enklare sätt att beräkna värdet
    
  • 
    Beräkning av geometrisk summa
    
    • 
      S. 162
      
  • 
    Annuitet – konstant, betalning i efterhand
    
    • 
      S. 163-164
      
  • 
    Annuitet – konstant växande, betalning i efterhand
    
    • 
      S. 164-165
      
  • 
    Evighet – konstant (växande) summa i oändlig serie (Gordons Growth Model)
    
    • 
      S. 165-166
      
  • 
    Beräkning av framtida värden
    
    • 
      S 168
      
  • 
    Beräkning av kassaflöden
    
    • 
      S 169
      
  • 
    Beräkning av antal perioder
    
    • 
      S 169
      

Kapitel 9: Beräkning av avkastning

• 
  Att beräkna avkastningen från en investering handlar om att bedöma dess lönsamhet
  
  • 
    I alla enkelhet: att relatera vinsten – överskottet – till den satsade summan. Alla avkastningsmått är uttryckta på detta sätt, och uttrycks därmed ofta i procentuella termer.
    
  • 
    Avkastningen gör olika stora investeringar jämförbara, på ett sätt som vinsten inte gör.
    
  • 
    Man måste dock även ta hänsyn till när kassaflöden inträffar och vilken risk respektive investering medför.
    
• 
  Periodavkastning och multiperiodavkastning
  
  • 
    Det enklaste sättet att beräkna avkastning är att beräkna den enkla periodavkastningen (Holding Period Return – HPR).
    
  • 
    Periodisk avkastning
    
    • 
      Total avkastning r_t=(CF_t+V_t-V_t-t) / V_t-1
      
    • 
      Income return / current yield y_t = CF_t / V_t-1
      
    • 
      Capital return g_t = (V_t-V_t-1) / V_t-1
      
    • 
      r_t = y_t + g_t (notera kopplingen till direktavkastningskrav, förväntad tillväxt och avkastningskrav!)
      
    • 
      HPR kan beräknas korrekt under förutsättning att alla kassaflöden inträffar antingen i periodens början eller i dess slut. T.ex. om du köper en aktie vid årets början, håller den hela året och säljer den vid årets slut. Om du betalade 100 kr vid årets början och erhöll 110 kr vid årets slut (ingen utdelning dessemellan) så har du fått 10 % i HPR.
      
    • 
      Vi kan också beräkna genomsnittlig HPR över flera perioder genom att ta det aritmetiska medelvärdet av periodavkastningarna.
      
      • 
        Om du t.ex. höll din aktie i ett år till och sålde den för 111 kr, så fick du 110/100-1 = 10 % + 111/110-1 = 0,91 %, d.v.s. 5,45 % i genomsnitt.
        

Eller…?

100*1,0545*1,0545 = 111,2 kr, alltså mer än vad du faktiskt fick.

Varför?

• 
  Här måste vi skilja på aktiens periodavkastning och din investerings avkastning.
  
• 
  Det ÄR sant att aktien gav i genomsnitt 5,45 % i avkastning.
  
• 
  Men, eftersom du hade ett större belopp investerat under perioden med lägre avkastning, så blir din genomsnittliga avkastning lägre. Du hade ju 100 kr investerade till 10 % och 110 kr investerade till 0,9 %. (om, å andra sidan aktiens avkastningar hade varit omvända, hade resultatet ändå blivit detsamma; nu av skälet att du i genomsnitt hade mindre kapital investerat (samma 100 första året men endast 100,9 inför andra – högavkastande - året jämfört med 105,45 ifall avkastningen hade varit jämnhög). Med konstant avkastning båda perioderna kommer dock det aritmetiska medelvärdet ge rätt resultat.
  
• 
  Din investerings genomsnittliga avkastning är också lika med den geometriska medelavkastningen under perioden. 111 = 100 * (1+r)^2, vilket ger r = 5,36 %.
  
  • 
    100*1,0536*1,0536 = 111 kr.
    

    100	110	111
    	10,00%	0,91%	11,00%
    	arit	5,45%	5,50%
    	geo	5,36%
    		111
    100	100,9091	111
    	0,91%	10,00%	11,00%
    	arit	5,45%	5,50%
    	geo	5,36%
    		111
    100	105	110,25
    	5,00%	5,00%	10,25%
    	arit	5,00%	5,13%
    	geo	5,00%
    		110,25

• 
  Det aritmetiska medelvärdet tar inte hänsyns till investeringens varierande storlek för de olika perioderna.
  
• 
  Ett annat sätt att uttrycka samma sak är att det aritmetiska medelvärdet inte tar hänsyn till ränta-på-ränta effekten
  
• 
  Notera också att vi inte får fram något intressant mått genom att dividera hela avkastningen med antal perioder. (mörkskuggade siffrorna) Ifall vi gör det får vi ett slags aritmetiskt medelvärde där ränta-på-ränta finns med i täljaren men inte i nämnaren.
  
• 
  Det aritmetiska (tidsviktade) medelvärdet kan alltså endast beräknas ifall vi har tillgång till alla periodavkastningar.
  
• 
  Ifall vi endast har startvärde och slutvärde för en tid som är längre än en period, kan vi endast beräkna ett geometriskt medelvärde.
  
• 
  Vi behöver alltså veta varför vi mäter avkastningen, innan vi väljer mått
  

• 
  Användning av de olika måtten
  
  • 
    Periodavkastningar (HPR) och aritmetiskt medelvärde används för att beräkna risken hos investeringen. Risken mäts i spridningen i avkastningar. Spridningen mäts runt medelvärdet.
    
  • 
    Periodavkastningar ger också möjligheten att mäta samvariationen mellan olika tillgångar, vilket är nödvändigt att veta vid konstruktion av effektiva portföljer.
    
  • 
    Periodavkastningar är också rätt mått för att utvärdera en fondförvaltare som inte har kontroll över kassaflödet till fonden. Allt förvaltaren kan göra är att välja hur tillgängligt kapital ska placeras i varje stund, inte när. Om det blir ett stort inflöde av kapital till fonden precis innan en period med svaga avkastningar, kommer fonden ge en svag avkastning även om förvaltaren fattar de bästa placeringsvalen.
    
  • 
    Geometriska multiperiodsavkastningar medelvärden) har fördelen att man inte behöver känna till något annat än kassaflödena (plus start- och slutvärde ifall dessa inte genererar kassaflöde).
    

Sammanfattning: Flerperiodisk avkastning

• 
  Aritmetiskt genomsnitt – summera periodavkastningarna och dela med antal perioder
  
• 
  Geometriskt genomsnitt – multiplicera periodavkastningarna och ta roten ur
  

• 
  Om det inträffar kassaflöden mellan investeringsperiodens början och slut behövs ett värdeviktat avkastningsmått. Vanligen internräntan (IRR)
  
  • 
    Tidsviktad periodisk avkastning (9.2.2) läses vid sidan av, vi använder internränta istället.
    
• 
  IRR – internräntan: när kassaflödena är olika stora vid olika tidpunkter
  
• 
  NPV = 0 ger IRR
  

År	HPR	Satsar i början	Värde i slutet
1	12,0%	500,00 kr	560 kr
2	9,0%	1 000,00 kr	1 700 kr
3	7,0%	2 000,00 kr	3 959 kr
Aritmetiskt	9,33%
Geometriskt	9,11%
IRR	8,05%
NPV	0,00 kr

• 
  Notera att IRR är lägre än den geometriska medelavkastningen. Det beror på att det mesta kapitalet satsades efter perioderna med högst avkastning.