Gaia Data Release 1 Documentation release 0

Figure 2.4: The PSF model used by IDT when processing 2D windows is the cross-product of 1D AL and AC
LSFs. The LSFs seen in Figure 2.3 have been used to reconstruct the PSF. It is clear that, although the gross
structure is present, the asymmetry information has been lost. Figure: N. Rowell.
95

---

be available for the cyclic processing systems (described elsewhere), where there are fewer processing constraints
than in the daily pipeline. We have confirmed that the AC×AL approximation does not introduce significant bias
into the measured observation times for 2D windows. Experiments to compare the fitted observation times using
the AC×AL versus a full 2D PSF indicate a systematic bias of 2.3 × 10
−4
pixels. An example of the PSF and its
reconstruction via the AC×AL model is presented in Figure 2.3 and Figure 2.4.
LSF calibrations are obtained by selecting calibrator observations. These are chosen to be healthy (e.g. nominal
gate, regular window shape) and not a
ffected by charge injections or rapid charge release. Image parameter and
colour estimation for the observation must be successful; good bias and background information must be available.
With these data Equation 2.12) can be used to provide an LSF measure per unmasked sample. In the case of
2D windows, the observation is binned in the AL or AC direction as appropriate to give LSF calibrations. The
quantity of data available varies with calibration unit. Note that a ‘calibration unit’ in the Gaia pipeline is a given
combination of window class (e.g. 1D, 2D), gate, CCD, telescope, possibly time interval (days, weeks, months),
and possibly other parameters, e.g. AC coordinate interval on a CCD. For the most common configurations (faint
un-gated windows) there are many more eligible observations than can be handled, thus a thinned-out selection of
calibrators is used.
A least-squares method is used with the LSF calibrations to fit the basis weight coe
fficients. The Householder
least-squares technique is very useful here as it allows calibrators to be processed in separate time batches and
for their solutions to be merged. The merger can also be weighted to enable a running solution to track changes
in the LSFs over time (see van Leeuwen 2007a). Various automated and manual validations are performed on an
updated LSF library before approval is given for it to be used by the daily pipeline for subsequent image parameter
determination. There are checks on each solution to ensure that the goodness-of-fit is within the expected range,
that the number of degrees-of-freedom is su
fficiently positive, and that the reconstructed LSFs are well-behaved
over the necessary range of u. Individual solutions may be rejected and the corresponding existing ‘best-available’
solution be carried forward. In this way an operational LSF library always has a full complement of solutions for
all devices and nominal configurations.
The LSF solutions are updated daily within the real-time system, although they are not approved for use at that
frequency. Indeed, a single library generated during commissioning has been used throughout the period covered
by this first Gaia data release, in order to provide stability in the system during the early mission. This library has
a limited set of dependencies including field-of-view and CCD, but it does not include important parameters such
as colour, AC smearing or AC position within a CCD. As such it is essentially a library of mean LSFs and AC×AL
PSFs. This will change for future Gaia data releases.
2.3.2.1
S-spline representation of the LSF
This section motivates and defines the special kind of spline functions, here called S-splines, used to represent
the cores of the Line Spread Functions (LSFs) via the basis functions B
m
(u) (see Section 2.3.2). In some earlier
internal documentation the S-splines are called ’bi-quartic’ splines; however, that term should be reserved for two-
dimensional quartic splines, and may be particularly confusing in the context of PSF modelling. In Prod’homme
et al. (2012) the S-spline is referred to as a special quartic spline.
A physically realistic model of the LSF L(u) should satisfy a number of constraints, including non-negativity
(L(u) ≥ 0) and that it is everywhere continuous in value and derivative. Since di
ffraction is involved, one can also
expect that spatial frequencies above f
max
= D/λ
min
3.6 × 10
6
rad
−1
are negligible, where D
= 1.45 m is the
along-scan size of the entrance pupil and λ
min
400 nm the short-wavelength cut-o
ff. The effective LSF, which
96

---

includes pixelisation (Section 2.3.2), should in addition satisfy the shift-sum invariance condition,
∞
j
=−∞
L
( jp − u
0
)
=
∞
−∞
L
(u) du
for all u
0
,
(2.14)
where p is the pixel size. This condition immediately follows from the conservation of energy: the intensity of the
image corresponds to the total number of photons, independent of the precise location of the image with respect
to the pixel boundaries. Numerical experiments indicate that the fitted LSF model should be shift-sum invariant in
order to avoid estimation biases as function of sub-pixel position.
A cubic spline is a piecewise polynomial function that is continuous in value and first two derivatives. It is naturally
smooth, and therefore to some degree band-limited, and the non-negativity constraint can be enforced by the fitting
procedure. A cubic spline defined on a regular knot sequence with knot separation p is, moreover, strictly shift-sum
invariant, and would thus appear to be ideal for the LSF modelling. Unfortunately, it turns out that a cubic spline
with knot separation p is not always flexible enough to represent the core of the LSF for Gaia. The basic reason
for this is that the optical images in Gaia are under sampled by the CCDs: f
max
1.0 pix
−1
, while the sampling
theorem requires f
max
≤ 0.5 pix
−1
. Increasing the order of the spline does not help: it makes the spline smoother,
but not more flexible.
To obtain greater flexibility it is necessary to decrease the knot interval, but then the shift-invariance condition is in
general not satisfied. However, among the splines that use a fixed knot interval p/n (for integer n ≥ 2), there exists
a subset of splines that do respect the shift-sum condition. These are the S-splines. The simplest way to construct
an S-spline is to take an ordinary spline of order M ≥ 3, defined on a regular knot sequence with knot interval p/n,
and convolve it with a rectangular (boxcar) function of width p. It is readily seen that the result is a spline of order
M
+ 1, with the same knot interval p/n as the original spline, but respecting the shift–sum invariance. Since the
original spline can be expressed as a linear combination of B-splines (splines with minimal support), the S-spline
can be expressed as a linear combination of B-splines convolved with the rectangular function.
The S-splines used to represent the cores of the basis functions B
m
(u), and hence of L(u), were obtained with n
= 2
and M
= 4. They are thus quartic splines defined of a regular knot sequence with knot separation p/2, and can be
written as a linear combination of the functions S
j
(u) ≡ S
0
(u − jp/2), where
S
0
(u)
=



























0
if
3
2
≤ x
2
3
(
3
2
− x)
4
if 1 ≤ x <
3
2
2
3
(
3
2
− x)
4
−
8
3
(1 − x)
4
if
1
2
≤ x
< 1
1
12
(11 − 24x
2
+ 16x
4
)
if 0 ≤ x <
1
2
(2.15)
for x
= |u|/p. Alternatively, S
0
(u) can be obtained by adding two adjacent quartic B-splines. Figure 2.5 shows this
function together with the cubic B-spline for knot interval p. Although both functions satisfy Equation 2.14, the
S-spline can clearly represent peaks of the LSF that are narrower than is possible with the B-spline. Other choices
than n
= 2 and M = 4 are possible but have not been tested.
While the decomposition of a given spline in terms of B-splines is always unique, the decomposition in terms of
S
j
(u) is not necessarily unique. This is not a problem as long as the coe
fficients of S
j
(u) are not directly used
to parametrise the LSF, but are only used to represent pre-defined basis functions such as B
m
(u). When fitting an
S-spline to B
m
(u) the possible non-uniqueness of the coe
fficients can be handled by using the pseudo-inverse.
2.3.3
Astrophysical background
Author(s): Nigel Hambly
97

---