Gaia Data Release 1 Documentation release 0

2.4.5.2.3
KF propagation equations
The KF propagation equations consist of two parts: the state system
model and the state covariance equations. The first one
˙x(t)
= F(t)x(t) + G(t)µ(t)
(2.26)
can be propagated using a numerical integrator, such as the fourth-order Runge-Kutta method. The F matrix is
called the transition matrix, Q the system noise covariance matrix and G the system noise covariance coupling
matrix.
The transition matrix can be expressed as:
F
=
0.5
Ω(ω) 0.5Θ(q)
0
3×4
F
˙
ωω
(2.27)
where
Θ(q) =














q
w
−q
z
q
y
q
z
q
w
−q
x
−q
y
q
x
q
w
−q
x
−q
y
−q
z














(2.28)
and
F
˙
ωω
= − I
−1
sc
([ω×]I
sc
− [(I
sc
ω)×]) .
(2.29)
Here the matrix notation [a×] represents the skew symmetric matrix of the generic vector a. For the state covari-
ance propagation, the Riccati formulation is used:
˙P
= FP + PF
T
+ GQG
T
.
(2.30)
Its prediction can be carried out through the application of the fundamental matrix
Φ (i.e. first order approximation
using the Taylor series) about F which becomes now.
Φ(∆t) ≈ I + F · ∆t
(2.31)
where
∆t represents the propagation step. The process noise matrix Q used for the Riccati propagation Equa-
tion 2.30 is considered to be
GQG
T
= diag (10
−8
)
2
, (10
−8
)
2
, (10
−8
)
2
, (10
−8
)
2
, (10
−8
)
2
, (10
−8
)
2
, (10
−8
)
2
(2.32)
since OGA1 will depend more on the measurements (even if not so accurate at this stage) than on the system
dynamic model.
2.4.5.2.4
KF update equations
The KF update equations correct the state and the covariance estimates with
the measurements coming from the satellite. In fact, the measurement vector y
k
consists of the so called measured
along scan angle η
m
, and the measured across scan angle ζ
m
, and they are the values as read from the AF1 CCD’s.
On the other hand, the calculated field angles (h(x
t
)
= [η
c
, ζ
c
]) are the field angles calculated from an ASC for
each time of observation. The set of the update equations are listed below:
ˆx
+
k
= ˆx
−
k
+ K
k
y
k
−
h
k
( ˆx
−
k
)
(2.33)
P
+
k
= I − K
k
H
k
( ˆx
−
k
) P
−
k
(2.34)
K
+
k
= P
−
k
H
T
k
H
k
P
−
k
H
T
k
+ R
k
−1
(2.35)
where the measurement sensitivity matrix H
k
is given by
H
k
=







∂η
k
∂q
0
1×3
∂ζ
k
∂q
0
1×3







(2.36)
112

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and the measurement noise matrix R is chosen such that
R
=
σ
2
η
0
0
σ
2
ζ
(2.37)
The standard deviation for the field angle errors along and across scan are computed and provided by IDT.
2.4.5.2.5
The processing scheme
The OGA1 process can be divided in 3 main parts: input, processing and
output steps.
1) The inputs are:
• Oga1Observations (OGA1 needs these in time sequence from IDT) composed essentially by:
– transit identifiers (TransitId)
– observation time (TObs)
– observed field angles (FAs) including geometry calibration
• A raw attitude (IOGA), with about 7 noise (in B-splines).
• A crossmatch table with pairs of: SourceId-TransitId, plus proper direction to the star at the instance
of observation.
2) The processing steps
The OGA1 determination is a Kalman filter (KF) process, i.e. essentially an optimization loop over the individual
observations, plus at the end a spline-fitting of the resulting quaternions. The main steps are:
• Sort by time the list of elementaries. Then, sort the list of crossmatch sources by the transit identifier
with the ones from the sorted list of elementary. The unmatched elementary transits are simply
discarded.
• Initialize the KF: interpolate the B-spline (IOGA attitude format) in order to get the first quaternion
and angular velocity to start the filter. Optionally, the external torque can be reconstructed in order
to have a better accuracy for the dynamical system model.
• Forward KF: for a generic time t
i
, predicting the attitude quaternion from the state vector at the time
t
i−
1
of the preceding observation.
• Backward KF: for a generic time t
i−
1
, predicting the attitude quaternion from the state vector at the
earlier time t
i
of the preceding observation.
• From the pixel coordinates compute the field coordinates from SM and AF measurements, using a
Gaia calibration file. As observed field angles OGA1 will use the AF2 values.
• The calculated field coordinates of known stars (from ASC) are computed.
• Correct the state using the di
fference between the observed and the calculated measurements in the
along-scan (
∆η) and across-scan (∆ζ) directions.
• At the end of the loop over the measurements generate a B-spline representation for the whole time
interval for output.
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