Gaia Data Release 1 Documentation release 0

(Lindegren et al. 2012). Indeed, to increase the signal-to-noise the majority of windows are binned in the across-
scan direction and are observed as 1D profiles. A Line Spread Function is thus more useful than a 2D Point Spread
Function in these cases. The PSF is often understood as the response of the optical system to a point impulse,
however in practise for Gaia it is more useful to include also e
ffects such as the finite pixel size, TDI smearing
and charge di
ffusion. This leads to the concept of the effective PSF as introduced in Anderson & King (2000).
Pixelisation and other e
ffects are thereby included directly within the PSF profiles. Calibration of the LSF/PSF is
among the most challenging tasks in the overall Gaia data processing, due to the dependence on other calibrations,
such as the background and CCD health, and due to uncertainties in crucially measured inputs like colour. This
calibration will also become more di
fficult as radiation damage to the detectors increases through the mission,
causing a non-linear distortion. Discussion of these CTI e
ffects can be found in Fabricius et al. (2016). Here we
will focus on the LSF
/PSF of the astrometric instrument, which in the pre-processing step is assumed to be linear,
allowing a more straight-forward modelling and application. The LSF
/PSF varies over the relatively wide field of
view of each telescope (1.7
◦
by 0.7
◦
) and with the spectral energy distribution of an observed source. As previously
discussed, the observation time of a source depends on the gate used and, since the LSF
/PSF profile can vary along
even a single CCD, all gate configurations must be calibrated independently. This can be di
fficult for the shortest
gates due to the relatively low number of observations available. An LSF
/PSF library contains a calibration for
each combination of telescope, CCD and gate.
Several aspects must be considered when defining a model to represent the LSF
/PSF. Firstly, the LSF profiles must
be continuous in value and derivative, and they must be non-negative. By definition the full integral in the AL
direction is 1, thus neglecting the flux lost above and below the binned AC window. This AC flux loss is calibrated
as part of the photometric system. The LSF L is normalised as
∞
−∞
L
(u − u
0
) du
= 1 ,
(2.11)
where u
0
is the LSF origin. The origin should be chosen to be achromatic (the centroid of a symmetrical LSF
is aligned with the origin but this is not true in general), and since image locations are measured relative to it, it
should be tied to a physically well-defined celestial direction. However, it is not possible to separate geometric
calibration from chromaticity e
ffects within the daily pipeline; this requires the global astrometric solution from
the cyclic processing. The origin is therefore fixed as x
0
= 0 and consequently there will be a colour-dependent
bias in this internal LSF calibration. The LSF profile is used to model the expected de-biased photo-electron flux
N
(k) of a single stellar source, including noise, by
λ
k
≡ E (N
k
)
= β + αL(k − κ) ,
(2.12)
where β, α and κ are the background level, the flux of the source, and the along-scan image location. The index k
is the along-scan location of the CCD sample under consideration. The actual photo-electron counts will include a
random noise component, in addition.
For the practical application, the LSF can be modelled as a linear combination of basis components
L
(u)
=
N−
1
m
=0
w
m
B
m
(u) ,
(2.13)
where N basis functions are used. The value B
m
of each basis function m at coordinate u is scaled by a weight
w
m
appropriate for the given observation. A set of basis functions can be derived through Principal Component
Analysis (PCA) of a collection of LSF profiles chosen to represent the actual spread of observations, i.e. covering
all devices and a wide range of source colours and smearing rates. An advantage of PCA is that the basis functions
are ranked by significance, allowing selection of the minimum number of components required to reach a particular
level of residuals. These basis functions can in turn be chosen in a variety of ways; we have used a S-spline model
(see Section 2.3.2.1) with a smooth transition to Lorentzian profiles at the LSF wings. Further optimisation can be
achieved to assure the correct normalisation by transforming these bases, although this is beyond the scope of the
93

---

Figure 2.3: An example of a typical Point Spread Function for a device in the centre of the field-of-view. This 2D
map has then been marginalised in the along and across-scan directions to form AC and AL Line Spread Functions
(left and bottom respectively). Figure: N. Rowell.
current document. A set of 51 basis functions were determined from pre-flight simulation data, each represented
using 75 coe
fficients The 20 most significant functions have been found to adequately represent real LSFs, although
further improvements are possible.
With a given set of basis functions B
m
the task of LSF calibration becomes the determination of the basis weights
w
m
. These weights depend on the observation parameters including AC position within the CCD, e
ffective wave-
length, AC smearing and others. In general, the observation parameters can be written as a vector p and the
weights thus as w
m
( p). To allow smooth interpolation, each basis weight can be represented as a spline surface
where each dimension corresponds to an observation parameter. In the actually implemented calibration system,
each dimension can be configured separately with su
fficient flexibility to accommodate the actual structure in the
weight surface, i.e. via choice of the spline order and knots. In practise, the number of observation parameters has
been restricted to two: AC position and e
ffective wavelength (i.e. source colour) for AL LSF, and AC smearing
and e
ffective wavelength for the AC LSF. The coefficients of the weight surface are formed from the outer product
of two splines with k and l coe
fficients respectively. There are therefore k × l weight parameters per basis function
which must be fitted.
The rectangular telescope apertures in Gaia led to a simple model to approximate the PSF in the daily pipeline. The
PSF is formed by the cross product of the AL and AC LSFs. This model has a relatively small number of parameters
to fit at the price of being unable to represent all the structure in the PSF. A more sophisticated full 2D model shall
94

---