Bir Tavla Sorusu
83
B
ir tavla maç› 5’te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu
tavla maç›n› kazan›r. Kimi tavlac›lar maç›n 5-4 bitmesi-
ne raz› olmazlar, aradaki fark›n en az 2 olmas›n› isterler,
6-4, 7-5, 8-6 gibi... Maç›n skorunda en az iki fark olmas› kimin
ifline gelir? Zay›f oyuncunun mu yoksa güçlü oyuncunun mu?
‹lginç bir soru. En az›ndan ben ilginç buldum.
fiöyle bir ak›l yürütme yapabiliriz. Aradaki fark›n en az 2
de¤il de en az 100 olmas›n› istedi¤imizi düflünelim. Elbette o
zaman güçlü oyuncunun kazanma flans› artacakt›r. Dolay›s›yla
aradaki fark›n en az 2 olmas› kural› güçlü oyuncunun maç› ka-
zanma olas›l›¤›n› art›racakt›r.
Bu flimdilik yaln›zca bir tahmin. Bakal›m matematiksel he-
saplar ne sonuç verecek?
Tavlac›lar›m›za A ve B diyelim. A, B’den daha iyi bir tavla-
c› olsun, örne¤in A’n›n bir oyunu kazanma olas›l›¤› 2/3 olsun.
Beraberlik olamayaca¤›ndan,
1
B’nin bir oyunu kazanma olas›-
l›¤› da 1/3 elbette.
1
Do¤rusunu söylemek gerekirse, her tavla oyununun sonlu bir zaman içinde yüzde
yüz olas›l›kla bitece¤inin kan›t›n› bilmiyorum. San›r›m biter. Bu yaz›da, her tavla
oyununun sonlu bir zaman içinde yüzde yüz olas›l›kla bitece¤ini varsayal›m.
Soruyu biraz basitlefltirelim: Mars olmad›¤›n› varsayal›m.
Birinci Soru: Beflte biten bir tavla maç›n› A’n›n (iyi oyuncu-
nun) kazanma olas›l›¤› kaçt›r?
2
‹kinci Soru: “En az iki puan fark” kural›yla oynanan tavla
maç›n› A’n›n kazanma olas›l›¤› kaçt›r?
3
Birinci Sorunun Yan›t›. Oyunun alaca¤› durumu afla¤›daki
›zgarada gösterebiliriz.
Sol alt köfleden, yani (0, 0) noktas›ndan bafllayarak, A’n›n
kazand›¤› her oyun için bir sa¤a, B’nin kazand›¤› her oyun için
bir yukar› gidelim. Sa¤daki (dikey) kal›n çizgiye eriflildi¤inde
maç› A kazan›r, yukardaki (yatay) çizgiye eriflildi¤inde maç› B
kazan›r. Sa¤a bir ad›m gitme olas›l›¤›m›z 2/3, yukar› bir ad›m
ç›kma olas›l›¤›m›zsa 1/3’tür. Sa¤daki yatay çizgiye ulaflma ola-
s›l›¤›n› hesaplayaca¤›z.
Maç bir türlü 5-0 bitebilir: Her oyunu A’n›n kazanmas› ge-
rekmektedir, yani hep (tam 5 kez) sa¤a gitmeliyiz. Dolay›s›yla
maç›n 5-0 bitme olas›l›¤› (2/3)
5
dir.
84
B
A
2
Mars olmad›¤›n› varsayal›m, yani kazanan hep 1 puan als›n, kaybeden de 0
puan.
3
“En az iki puan fark” kural›yla oynanan tavla maç› ilk bak›flta sonsuza dek
uzayabilirmifl gibi görünse de siz görünüfle aldanmay›n. Bu kuralla oynanan bir
tavla maç›n›n sonsuza dek uzama olas›l›¤› s›f›rd›r.
Maç kaç türlü 5-1 bitebilir? B’nin bir tek oyun kazanmas›
gerekiyor. B, befl ayr› zamanda oyun kazanabilir. Yani, yukar-
daki flekilde 1 ad›m yukar›, 5 ad›m sa¤a gitmeliyiz, yukar› at›-
lacak ad›m› befl ayr› zamanda yapabiliriz. (Son ad›m sa¤a ya-
p›lmal›.) Bir baflka deyiflle, (0, 0) noktas›ndan (5, 1) noktas›na
5 de¤iflik biçimde gidebiliriz. Dolay›s›yla maç›n 5-1 bitme ola-
s›l›¤› 5 u (1/3) u (2/3)
5
tir.
Maç türlü 5-2 skoruyla bitebilir. Neden? Çünkü en son
oyunu A kazanmal› ve bu en son oyunu saymazsak, oynanan
5+2, yani yedi oyunun ilk alt›s›ndan ikisini B kazanmal›. Dola-
y›s›yla maç›n 5-2 bitme olas›l›¤›
dir.
Maç, türlü 5-3 bitebilir, çünkü oynanan 5+3, yani se
kiz oyunun ilk yedisinde B üç oyun kazanmal›. Dolay›s›yla ma-
ç›n 5-3 bitme olas›l›¤›
dir.
Bunun gibi maç›n 5-4 bitme olas›l›¤›,
dir.
fiimdi art›k maç› A’n›n kazanma olas›l›¤›n› hesaplayabiliriz.
Bu befl say›y› toplayal›m:
85
‹kinci Sorunun Yan›t›. Maç›n 5-0, 5-1, 5-2 ve 5-3 skoruyla
bitme olas›l›klar›n› yukarda hesaplam›flt›k. fiimdi, maç›n, n t 4
için, (n+2)-n sonucuyla A’n›n lehine bitme olas›l›¤›n› hesapla-
yal›m. Toplam 2n + 2 oyun oynan›yor ve son iki oyunu A ka-
zan›yor. Geri kalan 2n oyunun n tanesini B kazanmal›.
Örne¤in e¤er maç 6-4 bitmiflse, son iki oyunu A kazanm›fl
olmal›. Yani maç ancak 4-4 olduktan sonra 6-4 bitebilir. Maç,
de¤iflik biçimde 4-4 skoruna ulaflabilir.
Dolay›s›yla maç›n 6-4 bitme olas›l›¤›
d›r.
Maç›n 7-5 bitme olas›l›¤›n› hesaplayal›m. Maç›n 7-5 bitebil-
mesi için son iki oyunu A almal›, yani skor bir ara 5-5 olmal›.
Skorun 5-5 olabilmesi için de skorun daha önce 4-4 olmas› ge-
rekir. Skor 4-4 olduktan sonra, 5-5 skoruna iki de¤iflik biçimde
ulafl›l›r: Ya ilk oyunu A, ikinci oyunu B kazan›r ya da ilk oyunu
B ikinci oyunu A kazan›r. Yani maç›n 7-5 bitme olas›l›¤›,
86
d›r.
Genel olarak maç›n (n+2)-n skoruyla bitme olas›l›¤›n› he-
saplayal›m. Maç›n bu skorla bitmesi için, son iki oyunu A al-
m›fl olmal›, yani skor bir ara n-n olmufl olmal›. Ama skor daha
önce de (n 1)-(n 1) olmufl olmal›... Hatta oyun ilk önce 4-4 ol-
mufl olmal›. Bir eflitlikten bir sonraki eflitli¤e 2 de¤iflik biçimde
ulafl›l›r. Yani 4-4’ten n-n skoruna 2
n 4
de¤iflik biçimde ulafl›l›r.
Demek ki maç›n (n+2)-n skoruyla bitme olas›l›¤›,
d›r.
Bu say›lar› toplarsak, maç› A’n›n kazanma olas›l›¤›n› bul-
mufl oluruz. Toplayal›m.
say›s›yla,
say›s›n› toplayaca¤›z.
‹kinci sonsuz toplam› toplayal›m:
87
Birinci toplam›n 0,7413504039... oldu¤u kolayl›kla bulu-
nur. Demek ki olas›l›k
0,7413504039... + 0,136564548... = 0,87791495....
dir. Demek ki “aradaki fark›n en az 2 olma” kural›, güçlü
oyuncunun kazanma flans›n› yüzde iki kadar art›r›yor. Pek o
kadar fazla de¤il, ilk tahminimden daha az.
88
Dostları ilə paylaş: |