Beleška o piscu

manje  količine — blokira  predstavu  dvodimenzionalne  situacije.  Dečak 
je  omanuo,  ne  zato  što  misli  »apstraktno«,  nego  zato  što  apstrahuje  od 
drukčije  opažajne  situacije.
Algebra,  baš  kao  i  aritmetika,  ima  potpuno  opažajnu  osnovu. 
U  stvari,  sugestija  K.  Gatenja  da  se  algebra  uči  pre  aritmetike  psiho­
loški  je ispravna  (C.  Gattegno).  Opažanje  pretežno počiva  na  odnosima 
a  ne  na  apsolutnim  vrednostima,  a  opštosti  prethode  posebnostima  u 
čulnom  doživljaju.  Obojeni  Kuizenerovi  štapići  predstavljaju  odnose 
među  kvantitetima,  pri  čemu  njihova  apsolutna  dužina  ne  igra  ni­
kakvu  ulogu  i  lako  se  transponuje.
Međutim,  kada  se  primeni  prosto  kao  formula,  algebra,  baš  kao 
i  aritmetika,  može  da  spreči  razumevanje  geometrije.  Ko  se  ne  bi  od 
srca  složio  sa  sledećom  napomenom  Žan-Žaka  Rusoa  u  njegovim  Ispo- 
vestima  (Jean-Jacques  Rousseau,  Confessions):
»Nikada  nisam  dospeo  toliko  daleko  da  istinski  shvatim  primenu 
algebre  na  geometriju.  Nije  mi  se  sviđalo  kada  se  nešto  radi  a  ne  zna  se 
šta  se  čini,  dok  mi  je  rešavanje  geometrijskog  problema  jednačdnama  ličilo 
na  sviranje  neke  melodije  okretanjem  ručice.  Kada  sam  prvi  puit  računski 
utvrdio  da  se  kvadrat  binoma  sastoji  od  kvadrata  njegova  dva  delà  plus 
njegov  dvostruki  proizvod,  odbijao  sam  da  u  to  poverujem  sve  dok  nisam 
nacrtao  sliku.  Algebra  kao  čisto  apstraktna  količina  mnogo  mi  se  sviđala; 
ali,  kada  se  primenjivala  na  širi  pojam,  želeo  sam  da  vidim  kako  izlazi 
na  kraj  sa  linijama;  inače,  ništa  više  nisam  razumevao.«
a  
+ 
Xr
0?
oJSr
o
A
Slika  182
Dovoljan  je  samo  jedan  pogled  na  si.  182,  da  bi  se  videlo  zašto 
je  kvadrat  od  (a  +   h)  jednak  kvadratu  od  a  plus  kvadrat  od  b  plus 
dvostruki  pravougaonik  ab.  Uprkos  tome,  čitave  generacije  učenika 
učile  su  formulu  bez  slike,  jer  je  u  nastavnom  planu  bila  predviđena 
algebra  a  ne  geometrija.
182

---

OČIGLEDNA  GEOMETRIJA
Ovde  nije  reč  o  razlici  između  brojeva  i  linijskih  slika.  Radi 
se  o  tome  da  li  se  matematička  radnja  izričito  odnosi  na  opažajnu 
konfiguraciju  koja  kazuje  zašto  je  rezultat  zadatka  takav  kakav  jeste. 
Geometrija  može  da  ne  zadovolji  ovaj  zahtev  baš  kao  i  aritmetika  i 
algebra.  Još  je  Šopenhauer  žestoko  osuđivao  ono  što  je  on  zvao  mađi- 
oničar9kim  trikovima euklidovskog  tipa  geometrijskog dokaza, u  kome, 
kako  je  on  govorio,  istina  gotovo  uvek  ulazi  na  zadnja  vrata  i  pro- 
ističe  iz  slučajnih  a  ne  bitnih  okolnosti.  Zamerao  je  pomoćnim  lini­
jama,  koje  su  se  upotrebljavale  za  dokazivanje  Pitagorine  teoreme: 
ne  zna  se  zašto  se  crtaju  i  tek  posle  se  sazna  da  su  to  klopke  koje 
se  neočekivano  a  čvrsto  zatvore  i  ulove  pristanak  učenika  zbunjenog 
što  mora  da  se  složi  sa  nečim  što  mu  ostaje  potpuno  neshvatljivo  u 
svom  unutrašnjem  kontekstu.
Ovde  se  radi  o  obrazovnoj  stvari  od  prvostepene  važnosti.  Isto- 
rijski,  možda  kao  najbolja  ilustracija  može  da  posluži  razlika  između 
grčkog  i  indijskog  pristupa  geometrijskom  dokazivanju.  Herman  Han- 
kel,  u  svojoj  istoriji  matematike,  ukazao  je  na  to  da  je  još  u  petom 
veku  pre  n.e.  grčka  geometrija  odbijala  da  se  oslanja  na  neposredno 
vizuelno  poimanje.  Umesto  toga,  svaki  dokaz  se  izvodi  korak  po  karak 
iz  nekoliko  aksioma  nizom  logično  povezanih  propozicija.  Geometričari 
stare  Indije,  s  druge  strane,  oslanjaju  se  izričito  na  jednu  teoremu, 
naime,  na  teoremu  kvadrata  nad  hipotenuzom.  Inače,  svaka  propozi­
cija  predstavlja  se  kao  samostalna  činjenica,  koja  se  oslanja  na  sop- 
stvenu  suštinsku  ispravnost.  Umesto  da  prikazuje  redosled  koraka, 
indijski  matematičar  pokazuje  odgovarajuću  sliku,  upotpunjenu,  ako 
je  potrebno,  pomoćnim  linijama  i  iznosi  je  ne  izgovarajući  nikakav 
drugi  komentar  sem  reci  »Pogledaj!«  Dokaz  se  sastoji  jednostavno  u 
onome  što  je  očigledno  u  datoj  slici.
Slika  183
Uopšte  uzev  rana  geometrija  oslanjala  se  uglavnom  na  opažajnu 
jednostavnost,  npr.  simetriju.  Sledeći  primer,  uzet  iz  Hankela,  može 
da  posluži  kao  ilustracija.  Kada  su  Indijci  hteli  da  dokažu  da  će  tro- 
ugao  čija  je  osnovica  prečnik  kruga  uvek  biti  pravougaon  si.  183a), 
povlačili  su  liniju  od  vrha  trougla  kroz  središte  kruga.  Time  su  dobi- 
jali  simetrično  u  krug  upisan  pravougaonik.  Po  položaju  u  ovom  pra- 
vougaoniku,  vidi  se  da  vrh  trougla  ima  90°.  Pogledaj!
183

---

I  kod  Grka,  oslanjanje  na  jednostavnost  simetričnih  slika  može 
da  se  vidi  u  redosledu  kojim  su  neka  geometrijska  saznanja  otkri­
vana.  Pitagorina  teorema  bila  je  dokazana  najpre  za  ravnokrake  tro- 
uglove,  a  kasnije  i  za  druge  pravougle  trouglove  manje  pravilnog 
oblika.  Da  zbir  uglova  u  trouglu  iznosi  180°  prikazano  je  najpre  za 
ravnostrane,  zatim  za  ravnokrake  i  naposletku  za  raznostrane.  Eukli- 
dove  aksiome  zasnivaju  se  na  intuiciji;  a  već  sam  ranije  pomenuo 
da  prvobitno  sagledavanje  preseka  kupe  kao  zasebnih,  nezavisnih  slika 
odgovara  opažajnoj  tendenciji  ka  jednostavnom  obliku.
Možda  vredi  da  se  ovde  izričito  istakne  zašto  matematika  može 
da  se  oslanja  na  čulna  iskustva.  Ovo  se  ponekad  smatralo  nemogućim 
zato  što  se  matematika  bavi  idealno  savršenim  oblicima.  Opažanje, 
s  druge  strane,  nije  pouzdano,  kao  što  pokazuju  mnoge  optičke  varke, 
te  može  da  se  odnosi  samo  na  stvarne,  fizički  date  predmete,  koji 
su  uvek  nesavršeni.  Međutim,  fizički  predmeti  ne  smeju  da  se  brkaju 
sa  opažaj ima  dobivenim  od  njih.  Njihova  deformisanost  i  nesavršenost 
ne  moraju  nužno  da  utiču  na  opažaje.  Kada  neko  kaže  da  vidi  kvad­
rat,  on  nema  na  umu  fizički  nepotpun  primerak,  nego  čisti  oblik 
savršenog  kvadrata,  kojim  se  bavi  geometrija.  On  vidi  sliku  sa  odista 
pravim  uglovima  i  odista  jednakim  stranama.  Da  li  njegov  opažaj 
veroo govori o određenom  fizičkom predmetu  koji  ga je izazvao —  ako 
on  uopšte  posmatra  neki  predmet  dok  vidi  kvadrat  —  nije  nimalo 
važno,  baš  kao  što  ni  nesavršenosti  geometrijske  slike  koju  na  tabli 
crta  matematičar  nisu  važne  za  čiste  oblike  o  kojima  govori.  Mate­
matičar  radi  sa  propozicijama  »ako-onda«:  »Ako  je  ovo  pravougli  tro- 
ugao  i  ako  su  ovo  kvadrati  na  njegovim  stranama,  onda...«   Ako  neko 
vidi  linijski  crtež  kao  što  je  Pitagorina  geometrijska  slika,  on  može 
vizuelnom  analizom  da  odredi  da  je  kvadrat  nad  hipotenuzom  jednak 
zbiru  kvadrata  nad  katetama.
Šopenhauer  je  pobrkao  opažajnu  istinu  sa  ontološkom  istinom 
zato  što  je,  sledeći  Kanta,  smatrao  prostor  kao  a  priori  dat  uslov 
celokupnog  vizuelnog  saznanja.  Ali,  on  je  sigurno  bio  u  pravu  kada 
je  nastojao  na  tome  da  geometrijsko  dokazivanje  mora  da  počne  od 
neposredne  vizuelne  svesti  o  činjenici  koja  treba  da  se  dokazuje.  Pot­
rebno  prestrukturisanje  pri  dokazivanju  ne  sme  da  raščlani  datu  sliku 
oslanjajući  se  na  elemente  koji  nisu  njeni  pravi  sastavni  delovi.  Ko­
načno,  traži  se  objašnjenje  polazne  slike,  a  ne  neke  nezavisne  druge 
slike  koju  ona  slučajno  sadrži  kao  strano  telo  u  svojoj  utrobi.  Gore 
navedena  indijska  demonstracija  prestrukturiše  sliku  time  što  hipo- 
tenuzu  na  prečniku  preobražava  u  dijagonalu  pravougaonika.  Ali,  na 
kraju  je  prvobitni  trougao  još  vidljiv  u  krugu.
Zahtev  za  opažajnom  osnovom  teško  može  da  se  obesnaži  sve 
većim  uklanjanjem  matematike  iz  svakodnevnog  opažanja,  čisti  oblici 
koji  sačinjavaju  opažajnu  osnovu  operacija  mogu  da  budu  sve  ap­
straktniji,  ali  će  produktivni  rad  matematičara  i  dalje  da  se  odnosi 
na  tu  osnovu  iako  formalne  radnje  potrebne  za  izvođenje  mogu  to  i 
da  ne  čine.
Pošto  je  matematika  toliko  blisko  povezana  sa  opažajnim  izgle­
dom,  ona  može  da  izazove  živo  interesovanje  kod  neiskvarenih  ljudi. 
Ovo  se  zapaža  u  reagovanju  male  dece  na  strukturalnu  algebru  i  arit­
metiku.  Isto  to  važi  i  za  zrelog  čoveka.  Ako  se  on  prisiljava  da  radi
184

---