Hochbewegliche zweidimensionale Lochsysteme in GaAs/AlGaAs

28
Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
sehen. Ausgangspunkt beider Methoden ist eine Schrödinger Gleichung für Löcher
im periodischen Kristallpotential, wobei die Wellenfunktionen in bekannter Weise
(siehe z.B. [20]) als Bloch Funktionen mit gitterperiodischem Anteil dargestellt wer-
den. Um Lösungen Ψ(r) zu finden, wird die Gleichung zunächst für k = 0 analytisch
berechnet. Die allgemeine Lösung für k = 0 kann dann aus der Entwicklung aller
für k = 0 erhaltenen Blochfunktionen ermittelt werden:
Ψ(r) =
ν ,σ
ψ
ν ,σ
(r)u
ν 0
(r)|σ ,
(2.31)
wobei ψ
ν ,σ
(r) den Entwicklungskoeffizient, |σ
den Paulispinor und u
ν 0
(r) die
Lösungen der Blochfunktion für k = 0 darstellen. Nach der Entwicklung erhält
man ein unendlich-dimensionales Eigenwertproblem, welches nicht in endlicher Zeit
zu berechnen ist. Mit den Methoden der quasi-entarteten Störungstheorie und der
Theorie der Invarianten lässt sich der Ansatz auf ein endlich-dimensionales Matrix-
eigenwertproblem reduzieren. Die Anzahl der zu berücksichtigen wechselwirkenden
Bänder gibt die Dimension des so transformierten Hamilton Operators in der Ma-
trixdarstellung vor. Prominente Modelle sind das (4×4) Luttinger-Modell, das (8×8)
Kane-Modell und das (14 × 14) Extended-Kane Modell, welche je vier, acht und 14
Bänder berücksichtigen. Die Anzahl der mit einbezogenen Bänder spiegelt die Ge-
nauigkeit, aber auch den Rechenaufwand der Modelle wieder.
In Abbildung 2.10 ist eine numerische Berechnung der Dispersionsrelation eines
2DHGs mit 15 nm QW-Breite und einer Ladungsträgerdichte von 1.3 × 10
11
cm
−2
zu sehen (aus [44]). Die Berechnung basiert auf dem (4 × 4) Luttinger-Modell. Die
Präsenz der starken Spin-Bahn WW induziert ein Spin-Splitting der HH- und LH-
Zustände für k = 0. Deutlich ist zu erkennen, dass die Aufspaltung des HH-Bandes
in Subbänder einer Spinsorte im Bereich von 1 meV an der Fermikante liegt. Für
gleiche Werte von k hingegen ist die Fermienergie für die Subbänder verschieden,
was unterschiedliche Ladungsträgerdichten der einzelnen Subbänder zur Folge haben
muss. Auf die verwendeten Methoden um diesen Sachverhalt zu analysieren wird in
Kapitel 3.4 näher eingegangen.
In diesem Zusammenhang ist es wichtig zu erwähnen, dass trotz einer Spinpolari-
sation des HH-Subbandes für feste Werte von k, das Gesamtsystem nicht spinpo-
larisiert sein kann. Das für die Aufspaltung der Bänder verantwortliche B-Feld im
Ruhesystem der Ladungsträger ist für alle Werte von k verschieden. Eine Sum-
mation über alle besetzten Zustände von k ergibt keine Spinpolarisation für das
Gesamtsystem.

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2.5. Effektive Masse und Streuzeit
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Abbildung 2.10: Berechnete Bandstruktur mit der Envelopefunktions-Näherung im (4 ×
4)-Luttinger Modell bei T = 0 K. Als Grundlage diente eine einseitig dotierte QW-Struktur
mit einer QW-Breite von 15 nm und einer Ladungsträgerdichte von 1.3 × 10
11
cm
−2
(aus
[44]).
2.5
Effektive Masse und Streuzeit
Die effektive Masse m
∗
ist ein entscheidender Materialparameter für die Interpretation
weiterführender Experimente an 2D-Systemen, der maßgeblich die Beweglichkeit von
Ladungsträgern im periodischen Potential des Kristallgitters beeinflusst (Gleichung
2.6). Aufgrund der unbekannten Transportstreuzeit τ
t
kann m
∗
für B = 0 nicht direkt
aus Gleichung 2.6 ermittelt werden und muss mit Hilfe magnetfeldabhängiger Me-
thoden bestimmt werden. Gängige Verfahren zur Bestimmung der effektiven Masse
sind Zyklotron-Resonanz (CR) Experimente [45], [46], Auswertung der temperatu-
rabhängige Dämpfung des oszillatorischen Anteils der SdH- (TSdH) Oszillationen
in Magnetotransportuntersuchungen [47], aber auch Faraday-Rotations Experimen-
te [48] und Magnetophonon-Resonanz Experimente [49]. Im Rahmen dieser Arbeit
werden überwiegend CR-Untersuchungen zur Interpretation von Daten herangezo-

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Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
gen bzw. TSdH-Experimente selbst durchgeführt (siehe Kapitel 6).
Es ist zu beachten, dass durch optische oder elektrische Anregung der Ladungsträger
der experimentelle Zugang zu einer so genannten Gleichgewichtsmasse, wie die aus
Berechnungen der Fermikontur hervorgehenden Zustandsdichtemasse (m
∗
DOS
), ver-
wehrt bleibt. Da in Transportmessungen die Anregung von Ladungsträgern durch
das Einprägen eines Messstroms inhärent ist, kann zur Interpretation dieser Ex-
perimente eine Nicht-Gleichgewichtsmasse, wie sie aus CR- und TSdH Messungen
hervorgeht, herangezogen werden. Bei beiden Verfahren wird m
∗
bei endlichen B-
Feldern ermittelt, um diese dann für den Fall B = 0 zu extrapolieren.
Erste CR-Messungen im GaAs/AlGaAs Heterosystem wurden an Be-dotierten in
[100]-Richtung gewachsenen 2DHGs durchgeführt [50], [51]. Weitere Untersuchungen
wurden an den seit den 90er Jahren zur Verfügung stehenden Si-dotierten Lochgasen
in [311]A-Richtung vorgenommen [52]. Seit der Einführung von Kohlenstoff als Ak-
zeptor für ultrahochbewegliche 2DHGs in [001]- und [110]-Richtung durch vorliegen-
de Arbeit und in [53] wurden CR-Messungen an [001]-orientierten QW-Strukturen
von verschiedenen Gruppen durchgeführt [54], [55] und [44]. In allen Arbeiten wird
deutlich, dass die effektive Masse von Löchern durch die Anwesenheit von Spin-Bahn
Kopplungseffekten, die sich in einer hochgradig komplexen und nichtparabolischen
Dispersionsrelation im Valenzband widerspiegeln, nicht konstant über k ist. In den
weiteren Kapiteln dieser Arbeit wird die Abhängigkeit der Ladungsträger-Mobilität
und somit der effektiven Masse von der Geometrie und den Symmetrieeigenschaften
des Einschlusspotentials, sowie der Einfluss der Ladungsträgerdichte auf m
∗
darge-
stellt. Weiterhin werden zum ersten Mal TSdH-Experimente an [110]-orientierten
hochbeweglichen 2DHGs in Abhängigkeit der Symmetrie des Einschlusspotentials
durchgeführt, weshalb im Folgenden auf die theoretischen Grundlagen zur Auswer-
tung dieser Experimente eingegangen werden soll.
Die Bestimmung der effektiven Masse von Ladungsträgern durch die Auswertung der
temperaturabhängigen Amplitude des oszillatorischen Teils des Längswiderstandes
ρ
xx
findet in der Literatur breite Anwendung für verschiedene III/V Halbleiter-
Heterostrukturen. So wurde die Gültigkeit des Verfahrens bereits 1966 von Fowler
et al. [56] an Elektronen in Silizium erprobt und in späteren Arbeiten von Fang
et al. [57] vertieft. Weiter Arbeiten an den Materialsystemen GaSb und GaN sind
[58] und [59] zu entnehmen. Eine experimentelle Arbeit zu hochbeweglichen 2DEG
Strukturen im GaAs/AlGaAs System ist in [60] vorgestellt. Im Jahr 2004 wurde
die TSdH-Methode erstmalig von Habib et al. an Be-dotierten, in [100]-Richtung
orientierten GaAs/AlGaAs 2DHGs angewendet.
Die Methode basiert auf der Auswertung des in Gleichung 2.20 beschriebenen os-
zillierenden Anteils des B-Feld abhängigen Längswiderstandes ρ
xx
in Abhängigkeit

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