5
Helmholtz
Hermann Helmholtz (1821-94) utbildade sig ursprungligen till läkare, men har gjort stora
vetenskapliga insatser inom vitt skilda områden av fysiken, såsom inom optik, matematisk
fysik och elektrodynamik. Med sin Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische
Grundlage für die Theorie der Musik (1:a upplagan 1863)
15
räknas han som den moderna
musikakustikens grundare. För att förstå akustiska teorier behöver vi bringa reda bland några
begrepp.
Toner som vi möter till vardags är nästan alltid komplexa. Med detta menas att luftmoleky-
lernas rörelser kan ses som summan av ett antal enklare rörelser. Var och en av de enklare
rörelserna kan beskrivas av en sinusfunktion
)
sin( t
ω
, där t är tiden och
ω
är deltonens vinkel-
frekvens, relaterad till den ljudande frekvensen
f genom
f
π
ω
2
=
. Alla toner kan uppdelas i
sinusformiga deltoner. Deltonernas frekvensförhållanden och inbördes styrkor bestämmer i
stort sett den uppfattade klangfärgen. Deltoner vars frekvenser kan skrivas som heltalsmul-
tipler av en viss grundtonsfrekvens, f
n
= nf
0
(n heltal), t.ex. 100, 200, 300, 400 Hz (f
0
= 100
Hz) eller 360, 480, 600, 720 Hz (
f
0
= 120 Hz), kallas harmoniska.
16
De flesta musikinstru-
ment, inklusive människorösten, alstrar harmoniska deltoner.
Två sinustoner vilkas frekvenser ligger tillräckligt nära varandra ger upphov till svävning-
ar, en styrkemässig pulsation.
17
Man uppfattar alltså en ton, och det är inte alltför svårt att
matematiskt visa, att tonens ljudande frekvens är genomsnittet av de två sinustonernas, medan
svävningsfrekvensen (styrkepulsationens frekvens) är lika med skillnaden mellan sinustoner-
nas frekvenser. Om svävningsfrekvensen är tillräckligt låg kan man urskilja de enskilda sväv-
ningarna, men om frekvensen ökas övergår svävningarna i ett allmänt surrande, något som
allmänt anses såsom obehagligt och illaljudande. På engelska talar man om roughness, på
svenska strävhet. Vid ännu högre svävningsfrekvens minskar så småningom strävheten och
man börjar uppfatta två separata toner. Övergångarna är gradvisa, och hela förloppet kan
åskådliggöras i en graf där man enbart tar hänsyn till den uppfattade strävheten som funktion
av svävningsfrekvensen, se figur 1.
18
Strävhet
Svävningsfrekvens
Figur 1. Strävhetens principiella beroende av svävningsfrekvensen.
15
För engelskspråkiga läsare mest känd i översättning, On the Sensations of Tone as a Physiological Basis for
the Theory of Music. Den nu tillgängliga översättningen är gjord efter den fjärde tyska upplagan, 1877.
16
Ofta omtalas harmoniska deltoner som övertoner eller naturtoner. Dessa begrepp kommer inte att användas
här.
17
På engelska beats, tyska Schwebungen.
18
Att tala om svävningsfrekvens när man inte längre kan höra de enskilda svävningarna är kanske något oegent-
ligt, eftersom svävningar snarast definitionsmässigt är urskiljbara en och en. Jag ska dock genomgående kalla
frekvensskillnaden mellan två sinustoner för svävningsfrekvens. Anledningen till att jag inte helt enkelt använder
beteckningen ”frekvensskillnad” är att ordet svävningsfrekvens har fördelen att man omedelbart förstår att det
rör sig om sinustoner.
6
Helmholtz lade märke till att ljusa sinustonspar inte gick att få lika sträva som mörka, men
han trodde att maximal strävhet uppträdde vid samma svävningsfrekvens oavsett hur mörka
eller ljusa tonerna var. Denna svävningsfrekvens ansåg han vara ungefär 33 Hz (Helmholtz
1877, s. 170f, 185, 192). Utifrån denna förutsättning, och givet att strävheten varierade med
svävningsfrekvensen enligt figur 1, beräknade Helmholtz summan av den strävhet som skapas
mellan alla parvisa deltoner för två komplexa toner med samma deltonsspektrum men olika
frekvenser. Han utgick från en violintons klangfärg, men resultatet blir ungefär detsamma för
alla vanliga västerländska melodiinstrument. Helmholtz fick så en kurva med utseende som i
figur 2.
Figur 2. Efter Helmholtz (1877), fig. 60A, s. 193, och Jeans (1942), fig. 53, s.
146.
I figur 2 tänker man sig att två komplexa toner har harmoniska deltoner. En av tonerna ligger
stilla på den lägsta tonen längs
x-axeln (c’), medan den andra kan röra sig längs
x-axeln. För
ett stort antal frekvensförhållanden har den sammanlagda strävheten från alla parvisa deltoner
beräknats och summerats. Fler än nio deltoner hos varje komplex ton har Helmholtz inte brytt
sig om.
Det intressanta med figuren är förstås de mer eller mindre markerade minima som finns
här och där, och som beror på att ingen kombination av deltoner ger speciellt sträva svävning-
ar där. Dessa minima uppkommer vid enkla frekvensförhållanden, som
2
3
,
3
5
,
4
5
etc., vilka
som bekant motsvarar de intervall som i varierande grad ansetts konsonanta i den västerländ-
ska musikhistorien. Helmholtz var säker på att han därmed givit en naturvetenskaplig förkla-
ring till konsonans och dissonans. Han skriver sammanfattande:
When two musical tones are sounded at the same time, their united sound is
generally disturbed by the beats of the upper partials, so that a greater or less part
of the whole mass of sound is broken up into pulses of tone, and the joint effect is
rough. This relation is called Dissonance. But there are certain determinate ratios
between pitch numbers, for which this rule suffers an exception, and either no
beats at all are formed, or at least only such as have so little intensity that they
produce no unpleasant disturbance of the united sound. These exceptional cases
are called Consonances. (Helmholtz 1877, s. 194, kursiv i orig.)
Helmholtz’ formulering kan verka definitiv, men mycket tyder på att han insåg att hans för-
klaring inte täckte alla aspekter av konsonans- och dissonansbruket i den samtida musiken.
Hans mycket exakt formulerade teori blev dock en tacksam måltavla för senare konsonans-
och dissonansforskare.
(Bilden saknas i denna
pdf-version.)