Va inersiya momenti

ikki karrali integrali
deyiladi va



D
ds
y
x
f
,
simvol bilan belgilanadi.
Ikki karrali integral aniq integralning ikki o’zgaruvchili(argumentli) funksiya uchun 
umumlashgan holidir.
Ikki karrali integral ham aniq integralning asosiy xossalariga ega. Aniq integralning 
xossalarini takrorlashni tavsiya etamiz. 
2. Ikki karrali integralni hisoblash.
Ikki karrali integralni hisoblash ikkita aniq integralni ketma-ket hisoblashga 
keltiriladi. 
D
soha 
)
(
),
(
2
1
x
y
y
x
y
y


funksiyalar grafklari hamda 
b
x
va
a
x


to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan bo’lsin, ya’ni 
 
 







x
y
y
x
y
b
x
a
2
1
tengsizliklar bilan aniqlangan bo’lsa, ikki karrali integral quyidagicha hisoblanadi:




 
 


 
 















D
b
a
x
y
x
y
b
a
x
y
x
y
dy
y
x
f
dx
dx
dy
y
x
f
ds
y
x
f
2
1
2
1
,
,
,
(1)
Oxirgi aniq integral
ichki integral
 
deb ataladi va uni hisoblashda 
x
ni o’zgarmas deb, 
integrallash 
y
bo’yicha olib boriladi. Ichki integralni hisoblash natijasi
 
tashqi integral
 
uchun integral osti funksiyasi bo’ladi. 
D
soha
 
 







y
x
x
y
x
d
y
с
2
1
tengsizliklar bilan aniqlangan bo’lsa , ikki karrali integral
 
 
 
 
 
 
 



 










D
d
s
y
x
y
x
d
s
y
x
y
x
dx
y
x
f
dy
dy
dx
y
x
f
dxdy
y
x
f
2
1
2
1
,
,
,
formula yordamida ikkita aniq integralni hisoblashga keltiriladi.

---

________________________________________________________________ 
"Экономика и социум" №2(93) 2022 www.iupr.ru
1-misol. 

D
ydxdy
x
ln
integralni 
D
soha: 
4
0


x
, 
e
y


1
to’g’ri to’rtburchak 
bo’lganda hisoblang. 
Yechish. (1) formulaga asosan, 











D
e
e
x
y
y
y
xdx
ydy
xdx
ydxdy
x
0
4
0
4
0
2
1
4
0
8
2
ln
ln
ln
. 
2-misol. 




D
dxdy
y
x
integralni 
1
2
,
2
:
2




x
y
x
y
D
, chiziqlar bilan chegaralangan 
soha bo’lganda hisoblang. 
Yechish. Birinchi chiziq uchi (0,2) nuqtada 
OY
o’qiga simmetrik bo’lgan parabola. 
Ikkinchisi chiziq to’g’ri chiziq. Bu chiziqlarning kesishish nuqtalarini topamiz: 







1
2
2
2
x
y
x
y
tenlamalar sistemasini yechib, 
)
1
,
1
(
),
7
;
3
(
B
A


nuqtalarni topamiz. (1) formulaga asosan,









D
x
x
dy
y
x
dx
dxdy
y
x
1
3
2
1
2
2
)
(
)
,
(







































1
3
1
3
2
2
2
2
2
1
2
2
2
)
1
2
(
)
1
2
(
2
)
2
(
)
2
(
2
2
dx
x
x
x
x
x
x
dx
y
xy
x
x




































1
3
1
3
2
3
4
2
2
4
2
3
1
3
2
3
2
2
1
2
1
4
4
2
2
4
4
2
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
x
x
x
x
 










1
10
1
4
2
3
1
2
3
2
4
4
15
5
4
3
2
3
1
x
x
x
x
x
bo’ladi. 
2.
 
Ikki karrali integralning tatbiqlari. 
 
dxdy
y
x
f
D

,
.
1
integralda 
1
)
,
(

y
x
f
bo’lsa, 

D
dxdy
integral 
D
figuraning yuzini 
ifodalaydi, ya’ni


D
dxdy
S
1-misol.
6
,
4
2




y
x
y
y
x
chiziqlar bilan chegaralangan sohaning yuzini toping.

---

________________________________________________________________ 
"Экономика и социум" №2(93) 2022 www.iupr.ru
Yechish. 
Berilgan 
chiziqlarning 
kesishish 
nuqtalarini 
topamiz. 
)
3
;
3
(
)
2
;
4
(
;
3
,
4
;
3
,
2
,
0
6
5
,
6
4
6
,
4
1
2
1
2
2
2
B
va
A
x
x
y
y
y
y
y
y
y
dan
y
x
y
y
x














kesishish nuqtalari bo’ladi. 
Shunday qilib, yuza 

























3
2
3
2
2
2
3
2
4
6
3
2
4
6
6
5
6
4
2
2
dy
y
y
dy
y
y
y
dy
x
dx
dy
dxdy
S
D
y
y
y
y
y
y
6
1
6
3
2
5
3
2
3
2










y
y
y
(kv. birlik) 
2. Yuqoridan 
 
y
x
f
z
,

sirt, quyidan 
0

z
tekislik, yon tomondan to’g’ri silindrik 
sirt bilan hamda 
XOY
tekislikda 
D
sohani hosil qiladigan
 
silindrik jismning xajmi
 
 


D
dxdy
y
x
f
V
,
integral bilan xisoblanadi. 
2-misol. 
2
1
x
y


, 
0
,
5
,
3



z
y
x
z
sirtlar bilan chegaralangan I oktantadagi jismning 
hajmini hisoblang. 
Yechish. Hajmi hisoblanishi kerak bo’lgan jism yuqoridan 
x
z
3

tekislik, yondan 
2
1
x
y


parabolik silindr, 
5

y
tekislik bilan chegaralangan. Shunday kilib 




.
.
12
12
24
4
2
2
2
3
4
2
4
3
4
3
)
1
(
5
3
3
3
4
2
2
0
2
0
2
0
4
2
3
5
1
2
0
2
2
бир
куб
x
x
dx
x
x
dx
x
x
dy
xdx
xdxdy
V
D
x


































3.
Plastinka har bir nuqtasidagi zichlik funksiyasi 
 
y
x
,

bo’lsa, uning massasi
 


D
dxdy
y
x
m
,

integral bilan hisoblanadi.
Plastinkaning 
OY
va
OX
o’qlarga nisbatan 
statik momentlari
.
 
 

D
x
dxdy
y
x
y
M
,

, 
 
 

D
y
dxdy
y
x
x
M
,

formulalar bilan hisoblanadi.
Plastinka birjinsli, ya’ni 
nt
cos


bo’lganda uning 
og’irlik markazining 
koordinatalari
S
xdxdy
S
M
x
х
c



S
ydxdy
S
M
y
D
x
c



formulalar yordamida topiladi, bu yerda
S
,
D
sohaning yuzi.
Plastinkaning OX va OU o’qlariga nisbatan
 
inertsiya momentlari
 

---

________________________________________________________________ 
"Экономика и социум" №2(93) 2022 www.iupr.ru
 


D
x
dxdy
y
x
y
J
,
2

, 
 


D
y
dxdy
y
x
x
J
,
2

formulalar bilan, koordinatlar boshiga nisbatan inertsiya momenti


 





D
y
x
J
J
dxdy
y
x
y
x
J
,
2
2
0

formula bilan aniqlanadi. Yuqoridagi formulalarda 
1
)
,
(

y
x

deb tekis figuralarning 
geometrik inertsiya momentlarini topish formulalarini olamiz.
3-misol.
4
2
,
4
4
2
2





x
y
x
y
chiziqlar bilan chegaralangan figuraning 
og’irlik markazining koordinatlarini toping.
Yechish. Chiziqlar 
OX
o’qiga nisbatan simmetrik bo’lganligi uchun 
0

с
y
c
x
ni 
topamiz: 




























dy
y
dy
y
y
dy
dy
dxdy
S
D
y
y
2
0
2
4
4
4
2
0
2
0
2
2
2
2
2
4
3
3
2
4
4
2
4
2
2
8
12
8
2
6
12
6
2
0
3






 









y
y































L
y
y
c
dy
y
y
dy
y
y
xdxdy
dy
xdxdy
x
2
0
2
4
4
4
2
0
2
0
4
2
2
2
2
2
16
3
2
3
3
8
1
16
4
4
4
8
1
2
8
1
8
1
5
2
80
3
2
3
8
1
2
0
5
3










y
y
y
. Demak 
)
0
;
5
2
(
C
.

Adabiyotlar ro’yxati
: 
1.
Сlaudio Сanuto, Anita Tabacco “Mathematical Analysis”, Italy, Springer,
I-part, 2008, II-part, 2010.
2.
W. WL.Chen “Linear algebra ”, London, Chapter 1-12, 1983, 2008. 
3.
W.WL.Chen “Introduction to Fourier Series”, London, Chapter 1-8, 2004, 2013. 
4.
W.WL.Chen “Fundamentales of Analysis”, London, Chapter 1-10, 1983, 2008. 
5.
Soatov Yo U. Oliy matematika. Т., O’qituvhi, 1995. 1- 5 qismlar. 
6.
Azlarov Т., Мansurov Х. Matematik analiz, - Тoishkent, O’qituvhi, 1-qism, 1989. 
7.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные 
интегралы. Рады. Функции комплексного переменного. - Наука, 1997. 
8.
V.Ye.Shneyder, А.I.Slutskiy, А.S.Shumov. Qisqaha oliy matematika kursi. Т., 1985.,
2-qism. 

---

________________________________________________________________ 
"Экономика и социум" №2(93) 2022 www.iupr.ru
9.
Беклемишев. Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. -М.: 
Наука, 1984. 
10.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. 
М.: Наука, 1983.