Haqiqiy sonning moduli va uning xossalar

Haqiqiy sonning moduli va uning xossalar
HAQIQIY SONLAR Haqiqiy sonlar - har qanday musbat, manfiy son yoki nol. Haqiqiy sonlar toʻplami ratsional sonlar va irratsional sonlar toʻplamining birlashmasidan iborat. Haqiqiy sonlar toʻplami son oʻqi deb ham ataladi Haqiqiy sonlar toʻplamining muhim xususiyatlaridan biri uning uzluksizligidir. Uzluksizlik prinsipi turli shakllarda bayon qilinishi mumkin. Haqiqiy sonlar nazariyasi mat.ning muhim masalalaridan biri boʻlib, bu nazariya 19-asrning 2-yarmida Veyershtrass, R.Dedekind, G.Kantor tomonidan yaratilgan. Barcha fizik kattaliklarni oʻlchash natijalari Haqiqiy sonlar bilan ifodalanadi.
HAQIQIY SONLAR Ratsional va irratsional sonlar HAQIQIY SONLAR deyiladi va R bilan belgilanadi. Haqiqiy sonlarni sonlar o‘qida tasvirlaydigan bo‘lsak, har bir haqiqiy songa o‘qda bitta nuqta mos keladi va aksincha, sonlar o‘qidagi har bir nuqtaga faqat bitta haqiqiy son mos keladi.
RATSIONAL SONLAR
Kishilik jamiyatida turmushning talabi asosida son to‘g‘risida tushuncha paydo bo‘lgan. Masalan, narsalarni sanashga ehtiyoj natijasida natural sonlar kelib chiqqan. Boshqacha aytganda, bu
to‘plamda qancha element bor, degan savolga javob berish natural sonlar to‘plami tushunchasiga olib kelgan.
Natural sonlar to‘plami N bilan belgilanadi. Natural sonlar to‘plamiga 0 soni qo‘shilsa, manfiy boimagan butun sonlar to‘plami Z0= {0, 1, 2, 3, ...} = NU{0} ni hosil qilamiz. Ammo amaliyotda musbat sonlar bilan birga tabiatda boiadigan hodisalarni o‘rganishda manfiy sonlarni kiritishga to‘g‘ri keldi. Masalan, havoning 0 gradusdan yuqori va pastki temperaturasini belgilash uchun musbat yo‘nalishga qarama-qarshi manfiy yo‘nalish kiritishga to‘g‘ri keladi.
Shuning uchun 4 soniga — 4 soni qarama-qarshi sanaladi va hokazo. Umuman aytganda, n soniga qarama-qarshi — n soni hisoblanadi va aksincha. Natural sonlar, nol va natural sonlarga qarama-qarshi sonlar, birgalikda butun sonlar Z to‘plamini tashkil qiladi:
Z = NU{0}U N ,
bu yerda N — natural sonlarga qarama-qarshi sonlar. Kattaliklarni yanada aniqroq oichash butun sonlar to‘plamini kengaytirib, kasr sonlarni kiritishga olib keldi. Masalan, daraxtning balandligini oichashda ko‘pincha u butun sonlar bilan ifodalanmasligi mumkin yoki vaqtni hisoblashda minutlar soat oichovining ma’lum qismini tashkil qilishi mumkin (Daraxtning balandligi 5,7 m ni, 15 min 1/4 soatni tashkil qiladi). Butun va kasr sonlar birgalikda ratsional sonlar to‘plamini tashkil qiladi. Har qanday ratsional son ™ ko‘rinishida
belgilanadi, bu yerda meZ, nGN (ya’ni surat butun, maxraj natural 5 3
sonlar). Masalan, - j va hokazo.
Butun sonni ham ~ ko‘rinishda yozish mumkin. Bizga ”
ko‘rinishdagi ratsional son berilgan boisa, unda m ni n ga boiish natijasida chekli yoki cheksiz o‘nli kasrlar hosil boiadi. Masalan,
^ = 0,25; 1 = 0,666...; -J = -0,75.
Maxrajning tuzilishiga qarab, kasrlar ichida cheksiz davriy o‘nli kasrlar boiishi mumkin:
Masalan, j = 0,333... = 0,(3),
у = 0,16666... = 0,1(6).
Bundan ko‘rinadiki, har qanday ratsional son cheksiz davriy o‘nli kasr ko‘rinishida tasvirlanishi ham mumkin.
Chekli o‘nli kasrni cheksiz davriy kasr ko‘rinishida yozish mumkin. Masalan,
i = 0,2 = 0,2000. ..0,(2),
1 = 0,75 = 0,75000... = 0,75(0).
Ratsional va irratsional sonlar to‘plami birgalikda haqiqiy sonlar deyiladi. (Haqiqiy sonlar to‘plami deb cheksiz o‘nli kasrlarga aytiladi).
Haqiqiy sonlar to‘plami R bilan belgilanadi. Haqiqiy sonlarni sonlar o‘qining nuqtalari bilan tasvirlash mumkin.
Agar cheksiz to‘g‘ri chiziqda:
1) sanoq boshi hisoblangan 0 nuqta;
2) strelka bilan ko‘rsatilgan musbat yo‘nalish;
3) uzunlikni o‘lchash uchun masshtab berilsa, u to‘g‘ri chiziq sonlar o‘qi deyiladi. Agarx, son musbat bo‘lsa, u 0 nuqtadan o‘ngda OM = x{ masofada yotuvchi Ml nuqta bilan tasvirlanadi. Agar x2 manfiy bo'lsa, u 0 nuqtadan chapda OM2= x2 masofada yotuvchi M2 nuqta bilan tasvirlanadi (70-chizma).
Sonlar o‘qining har bir nuqtasi bitta haqiqiy sonni ifodalaydi. Ixtiyoriy ikkita haqiqiy son orasida bitta ratsional yoki irratsional son topiladi. Ayrim hollarda R haqiqiy sonlar to'plamini sonlar to‘g‘ri chizig‘i, haqiqiy sonlarning o‘zini esa bu to‘g‘ri chiziqning nuqtalari deb ataladi.
HAQIQIY SONNING ABSOLUT QIYMATI (MODULI)
1-ta’rif. x haqiqiy sonning absolut qiymati (yoki moduli) deb quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi manfiy bo‘lmagan haqiqiy songa aytiladi, x sonning absolut qiymati |x| bilan belgilanadi:
x > 0 bo‘lsa, | x| = x; x = 0 bo'lsa, | x | =0; x < 0 bo‘lsa, | x | = - x.
Misollar: | 3,12 | = 3,12, | 0 | = 0, | -2,7 | = -(-2,7) = 2,7, | cos x — 2 | = — (cos x - 2) = 2 - cos x.
Istalgan x haqiqiy son uchun x2 < |x| tengsizlik o‘rinli ekanligi ta’rifdan ko‘rinadi.
124
Haqiqiy sonlarning absolut qiymati ta’rifidan kelib chiqadigan teoremalarni ko‘rib o‘tamiz.
1 - teorema. Ikki yoki bir necha qo ‘shiluvchilar yig ‘indisining absolut qiymati, qo ‘shiluvchilarning absolut qiymatlariyig‘indisidan katta emas: \x + y\< |*|+ |y|.
Isbot. Aytaylik, |x + y|>0 bo‘lsin, u holda ta’rifga ko‘ra:
| л: + у | = x + у < | л: | + | у I, chunki, x < | у |; у < | у |. Endi x + у < 0 bo‘lsin, u holda ta’rifga ko‘ra: | л: + у | = -(x + у) = (—x) + ( — у) < | X | + | у |. Demak, | x + у | < | x | + \y\.
Keltirilgan isbot qo‘shiluvchilar soni bir necha bo‘lgan hoi uchun ham oson umumlashtiriladi.
2-teorema. Ikki son ayirmasining absolut qiymati bu sonlar absolut qiymatlarining ayirmasidan kichik emas: | x — у | > | x | — | у |.
Isbot. x — y—z deb olamiz, u holda 1-teoremaga ko‘ra:
I x I = | у + z | < | у | + \z | = | у | + | x - у I, bundan esa | x | —
- | у | < | x - у |. Demak, |x-y|> | x J — |y|.
3-teorema. Ко ‘paytmaning absolut qiymati ко ‘paytuvchilar absolut qiymatlarining ко ‘paytmasiga teng: |x-y| = |x|-|y|.
Isbot. Aytaylik, x > 0 va у > 0 boisin. Ta’rifga ko‘ra: | x | = x,
IУ I — У, u holda x-y>0 boigani uchun ta’rifga asosan:
| x -y | -x'у. Bundan esa | x -y | = | x | • |y | ga ega boiamiz.
Endi x < 0 va у < 0 deb faraz qilamiz. U holda (—x) > 0, (-y) > 0 va ta’rifga ko‘ra | x | = -x, | —у | = -y boiadi.
Oldingi holdan foydalansak, | x -y | = | — (x) • (—y) | = (—x)x x(-y) = |x | • | у | ga ega boiamiz. Endi x va у lar qarama-qarshi ishorali boigan holni tekshiramiz. Aniqlik uchun x < 0 va у > 0 boisin. x • у < 0 va | x | = -x boiganidan va absolut qiymat ta’rifidan foydalansak, | x *y | = - (x • y) = (-x) • у = | x | • | у | ga ega boiamiz.
4-teorema. Bo ‘linmaning absolut qiymati bo ‘linuvchi va bo ‘luvchi absolut qiymatlarining bo ‘linmasiga teng:
Bu teorema isboti ham absolut qiymat ta’rifidan bevosita kelib chiqadi.