Hochbewegliche zweidimensionale Lochsysteme in GaAs/AlGaAs

2.2. Magnetotransport in 2D-Halbleitersystemen
15
dinger Gleichung für ein derartiges System lautet:
(
1
2m
∗
(p + eA)
2
+ V (z) + U (y))ψ = Eψ
(2.12)
Diese ist um ein Quantisierungspotential V (z) und ein Randpotential U (y), welches
der endlichen Ausdehnung der Probe Rechnung trägt erweitet. Ein Separationsan-
satz hat, zunächst unter Vernachlässigung von U (y), die Energieeigenwerte unter
Berücksichtigung der Spinaufspaltung der Landauniveaus zur Lösung:
E = E
i
+ n +
1
2
ω
c
+ sg
ef f
µ
B
B, n = 0, 1, 2, . . .
(2.13)
Hierbei bezeichnet g
ef f
den effektiven Lande-Faktor, s = ±
1
2
die Spinquantenzahl
und µ
B
das Bohrsche Magneton. Der energetische Abstand zwischen den Landauni-
veaus beträgt ω
c
.
In realen Proben sind die δ-förmigen Landauniveaus durch Streuung an Defekten
zumeist gaußförmig verbreitert (siehe Abbildung 2.4). Die Zustände in der unmittel-
baren Umgebung der Maxima werden als nichtlokalisiert oder ausgedehnt bezeichnet
und tragen, sofern durch Ladungsträger besetzt, zum Transport in den Randkanä-
len der Probe bei. In den Bereichen zwischen den Maxima befinden sich lokalisierte
Zustände, deren Ladungsträger am Ort gebunden sind und nicht zum Transport
beitragen können. Zusätzlich ist jedes Landauniveau jeweils nur mit einer Spinsor-
te von Ladungsträgern besetzt. Bei hinreichend grossen B-Feldern und sehr tiefen
Temperaturen, für welche k
B
T
g
ef f
B (k
B
Boltzmannkonstante) gilt, ist eine Auf-
spaltung der Zustände nach ihrer Spinart beobachtbar.
Da die Zahl der Landungsträger bei Erhöhung des B-Feldes im System konstant
bleibt, eine zunehmende Anzahl von Landauniveaus dabei aber über die Fermikante
verschoben und somit von Ladungsträgern entleert werden, steigt die Zahl der La-
dungsträger pro Landauniveau, der so genannte Entartungsgrad n
L
, kontinuierlich
an. Unter Einbeziehung des Spinentartungsfaktors g
s
folgt n
L
folgender Gleichung:
n
L
= g
s
s
eB
h
(2.14)
Der Füllfaktor ν, welcher die Anzahl der Spin aufgespalteten Landauniveaus unter
der Fermikante angibt, ist definiert als:
ν =
n
s
n
L
(2.15)
Aus der Formation der Landauniveaus resultieren zwei in Magnetotransportun-
tersuchungen beobachtbare Effekte, die Shubnikov-de-Haas (SdH) Oszillationen im
Längswiderstand ρ
xx
und der ganzzahlige Quanten-Hall Effekt (QHE) im Quers-
widerstand ρ
xy
[20], [26]. Das Auftreten dieser Quanteneffekte kann durch das aus

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Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0
100
200
300
400
4
5
6
8
10
12
14
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
r
 [
W
/
]
x
x
£
B [T]
n
 =
 
E
E
F
D(E)
2
r
 [
h
/e
]
x
y
Abbildung 2.3: Tieftemperaturmessung von Shubnikov-de-Haas Oszillationen und
Quanten-Hall Effekt. Für ganzzahlige Füllfaktoren ν bilden sich Plateaus in ρ
xy
sowie
Minima in ρ
xx
aus. Der Inset illustriert die Lage der Fermikante in Bezug auf die Landau-
niveaus für ganzzahlige ν. Für B < 0.1T gilt hier das Drude Model, bei B ∼ 0.6 T wird
die Spin Aufspaltung der Landauniveaus sichtbar (aus [25]).
dem Landauer-Büttiker Formalismus hervorgehende Randkanal-Modell beschrieben
werden. Wird bei der Lösung der Gleichung 2.10 das die endliche Ausdehnung der
Probe beinhaltende Potential U (y) berücksichtigt, erfolgt dies durch störungstheo-
retische Rechnungen erster Ordnung. Die Zustände im Probeninneren bleiben davon
unbeeinflusst. An den Rändern der Probe krümmen sich die Landauniveaus jedoch in
Richtung größerer Energien. Die Schnittpunkte der gekrümmten Landauniveaus mit
der Fermienergie bilden jeweils einen eindimensionalen Randkanal mit konstantem
Leitwert
G =
e
2
h
.
(2.16)
Für ganzzahlige Füllfaktoren liegt die Fermienergie im Probeninneren exakt zwi-
schen zwei Landauniveaus und schneidet ν Randkanäle je Probenrand. Da durch

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2.2. Magnetotransport in 2D-Halbleitersystemen
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lokalisiert
ausgedehnt
g*µ B
B
ħ
w
C
D(E)
E
Abbildung 2.4: Schematische Darstellung der verbreiterten und nach Spin aufgespalteten
Landauniveaus eines realen Systems. Die Gauß-förmige Verbreiterung in lokalisierte und
nichtlokalisierte (ausgedehnte) Zustände resultiert aus der Streuung der Ladungsträger an
Defekten im Halbleiter (aus [24]).
Abbildung 2.5: Landaufächer einer idealisierten Probe. Die Entleerung des n-ten Land-
auniveaus hat zur Folge, dass die Fermienergie in das (n-1)-te Landauniveau springt. In
realen Proben ist der Übergang durch die Präsenz lokalisierter Zustände eher kontinuierlich
(aus [27].)
das Minimum der Zustandsdichte im Probeninneren der Ladungstransport von ei-
nem Rand der Probe zum anderen unterdrückt ist, können Ladungsträger weitge-
hend ungestört entlang der Randkanäle die Probe durchlaufen, was in einem Mini-

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Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
mum im Längswiderstand ρ
xx
resultiert. Für hinreichend große B-Felder und tiefe
Temperaturen verschwindet der Längswiderstand, d.h. ρ
xx
= 0. Für die dazwischen
liegenden Werte von B schneidet die Fermienergie die ausgedehnten Zustände der
Landauniveaus im Probeninneren, wodurch der Ladungstransport einen endlichen
Widerstand erfährt, ρ
xx
oszilliert somit in Abhängigkeit eines veränderlichen ma-
gnetischen Feldes (siehe Abbildung 2.3). Aufeinander folgende Minima n und n+1
Abbildung 2.6: Messung zum fraktionalen Quanten-Hall-Effekt von R. Willett et al. [28]
an einem 2DEG von außerordentlich hoher Mobilität bei Temperaturen unter 150 mK.
Die Erzeugung von B-Feldern bis 30 T erfordert die Verwendung von Hybrid Magneten,
weshalb gezeigte Messung aus mehreren Einzelmessungen zusammengesetzt ist (Unterbre-
chung der x-Achse bei etwa 12 T).
in den SdH Oszillationen folgen der Periodizität im reziproken B-Feld:
1
B
n+1
−
1
B
n
= ∆(
1
B
) =
g
s
e
n
s
h
(2.17)
Aufgrund dieser Relation eröffnet sich, ergänzend zur Auswertung der Steigung des
Hallwiderstandes im klassischen Drude-Bereich (Gleichung 2.9), die Möglichkeit die

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