Hochbewegliche zweidimensionale Lochsysteme in GaAs/AlGaAs

2.2. Magnetotransport in 2D-Halbleitersystemen
19
Ladungsträgerdichte der Probe zu bestimmen.
Analog zu den Minima im Längswiderstand bilden sich Plateaus im Hallwiderstand
ρ
xy
bei ganzzahligen Werten von ν aus. Trotz der durch das B-Feld induzierten Lor-
entzkraft kann kein Ladungstransfer über den inneren Bereich der Probe in gegen-
überliegende Randkanäle stattfinden, somit wird das elektrische Feld in y-Richtung
nicht verändert. Diese so genannten Hall Plateaus nehmen somit konstante Wider-
standswerte in der Höhe des reziproken Leitwertquants und der reziproken Anzahl
der Randkanäle an:
ρ
xy
=
1
ν
h
e
2
(2.18)
In idealen Proben, also ohne streubedingte Verbreiterung der Landauniveaus, kann
die Fermienergie aus einem Mangel an besetzbaren Zuständen nicht zwischen zwei
Landauniveaus lokalisiert werden. Die Entleerung von Ladungsträgern des jeweils
energetisch höchsten besetzten Landauniveaus an der Fermikante durch ein steigen-
des B-Feld hat zur Folge, dass die Fermienergie im idealisierten System von Niveau
zu Niveau springt, statt sich kontinuierlich zu verändern. Dies wird durch den Land-
aufächer in Abbildung 2.5 illustriert. In Abbildung 2.6 ist zu sehen, dass neben den
ganzzahligen Werten von ν auch Minima in ρ
xx
und Plateaus in ρ
xy
bei Füllfak-
toren der Form ν = p/q entstehen können. Dabei ist p eine beliebige und q eine
ungerade natürliche Zahl. Dieser Effekt wird als fraktionaler Quanten-Hall-Effekt
[4] bezeichnet und kann in 2D-Systemen mit außerordentlich hoher Mobilität beob-
achtet werden. Die Höhe der Hallplateaus ist gegeben durch Gleichung 2.6 mit der
Adaption ν = p/q. Die fraktionalen Zustände gruppieren sich um Symmetriezentren,
welche den Werten ν = 1/2 und ν = 3/2 entsprechen. Arbeiten von J. Eisenstein
et al. [29] [30] zeigen, dass auch die Zustände ν = 5/2 und ν = 7/2 derartige Sym-
metrien aufweisen können. Diese p/2 -Zustände zeigen jedoch mit Ausname des 5/2
-Zustandes keine Plateaus in ρ
xy
.
Der fQHE resultiert aus der Coulomb-Wechselwirkung zwischen den Ladungsträgern
und kann mit der Theorie zu Viel-Teilchen Wellenfunktionen beschrieben werden.
Ein weiterer Ansatz zur Beschreibung geht aus der Theorie der nicht wechselwirken-
den Composit-Fermions hervor. Composit-Fermions sind Quasiteilchen, bestehend
aus einem Ladungsträger zusammen mit zwei magnetischen Flussquanten. In die-
sem Bild kann der fQHE als ganzzahliger QHE von Composit-Fermions betrachtet
werden. Eine detaillierte Beschreibung kann z.B. [25] entnommen werden. Im Rah-
men dieser Arbeit dient die beobachtbare Anzahl der fraktionalen Zustände in den
Messungen der hergestellten Strukturen als Vergleichskriterium der Probenqualität.

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20
Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
2.3
Streumechanismen
Aus der Definition für die Beweglichkeit µ von Ladungsträgern in Gleichung 2.6 geht
hervor, dass diese direkt proportional zur Streuzeit τ
t
ist. Die Vielzahl relevanter
Streuprozesse lassen sich in zwei Gruppen zusammenfassen:
• Streuung an polar optischen Phononen und akustischen Phononen eines Defor-
mationspotentials oder piezoelektrischen Felds. Phononen sind jedoch bei sehr
tiefen Temperaturen, wie sie für die hier vorgestellten Messungen angewendet
werden, weitgehend unterdrückt, weshalb derartige Streuprozesse vernachläs-
sigbar klein sind.
• Streuung an Störstellen, welche sich unterteilen lassen in Streuprozesse an:
– Grenzflächenrauhigkeiten (interface roughness, IR), der Streuung an der
Potentialschwelle des GaAs/AlGaAs Übergangs.
– entfernten, ionisierten Dotier-Ionen (remote ionized donors, RI), Streuung
am Coulomb-Potenzial der δ-Dotierung
– Hintergrundverunreinigungen (background impurities, BI), Streuung an
geladenen oder ungeladenen Störstellen aufgrund während des Wachs-
tumsprozesses unerwünscht eingebauter Fremdatome aus der UHV-Atmosphäre
der MBE
Jedem der Streuphänomene i an Störstellen kann eine Streuzeit zugeordnet werden,
woraus sich die Beweglichkeit der Ladungsträger eines Systems aus der Mathiessen-
Regel ergibt:
µ
−1
=
i
µ
−1
i
(2.19)
Beweglichkeit und Dichte stehen ferner in einem allometrischen Zusammenhang [31],
[32]:
µ(n) = a · n
b
,
(2.20)
wobei der Wert des Exponenten b für den dominierenden Streuprozess charakteris-
tisch ist. Konkrete Werte sind in den oben genannten Referenzen zu finden:
• IR: b < 0
• RI: 1 ≤ b ≤ 1.5
• BI: 0.5 ≤ b ≤ 1

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2.4. Spin-Bahn Kopplungseffekte in GaAs
21
Für die Transportstreuzeit τ
t
optimierter hochbeweglicher 2DEG Strukturen sollte
der Anteil aus RI und IR Streuung kleiner als 10 % sein, so dass überwiegend BI
aufgrund der technischen Limitierungen bei der Erzeugung der hochreinen UHV-
Umgebung der MBE als dominierender Streuprozess verbleibt. Jedoch spielt die
Beweglichkeit der Ladungsträger nicht die alleinig ausschlaggebende Rolle für die
Qualität von 2D Systemen, welche überwiegend für die Observation von Quanten-
phänomenen Anwendung finden. Nach [33] kann der oszillierende Anteil des Längs-
widerstandes ρ
xx
im Quanten-Hall-Regime wie folgt dargestellt werden:
1
2
∆ρ
x
x
ρ
0
= 2
χ
sinh(χ)
exp(
−π
ω
c
τ
q
)cos(
2π
ω
c
− π),
(2.21)
wobei χ/sinh(χ) einen temperaturabhängigen Dämpfungsterm (siehe Abschnitt.
2.5),
= E
F
− E
1
die Energiedifferenz zwischen Fermienergie und der Energie des
ersten besetzten Bandes und τ
q
die Quantenstreuzeit darstellen. Solang kurzreich-
weitige Streuphänomene wie IR und BI dominieren, sind beide Streuzeiten gleichzu-
setzen. Für langreichweitige Streuprozesse wie RI unterscheiden sich die Streuzeiten
durch einen Gewichtungsfaktor (1 − cos(Θ)) [33]:
1
τ
q
=
P (Θ)dΩ
(2.22)
und
1
τ
t
=
P (Θ)(1 − cos(Θ))dΩ,
(2.23)
wobei P (Θ) die Streurate um den Winkel Θ ist und die Funktion über den ge-
sammten Raumwinkel dΩ integriert wird. Kleinwinkelstreuung wird somit in der
Transportstreuzeit τ
t
kaum berücksichtigt, weshalb Beweglichkeit und Ausprägung
von SdH Oszillationen und Hallplateuas nicht unbedingt in direktem Zusammen-
hang stehen müssen.
2.4
Spin-Bahn Kopplungseffekte in GaAs
Spin-Bahn Kopplung
Als Spin-Bahn Kopplung bezeichnet man die Wechselwirkung (WW) des Bahndre-
himpulses von Elektronen mit ihrem Spin. Die erstmalige Entdeckung dieser Kopp-
lung fand in der Atomphysik statt und hatte die Einführung relativistischer Korrek-
turterme im Energiespektrum von Atomen zur Folge, die so genannte Feinstruktur.
Dem Hamilton-Operator des Wasserstoff Atoms werden aus der nicht-relativistischen

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