Ikki qatlamli ayirmali sxemalarning kanonik shakli va turg`unligi

6 – ma`ruza

Ikki qatlamli ayirmali sxemalarning kanonik shakli va turg`unligi

Ma`ruza rejasi

1. 
   Ikki qatlamli ayirmali sxemalar(AS)ning umumiy ko`rinishi;
   
2. 
   Ikki qatlamli sxemalarning kanonik ko`rinishi;
   
3. 
   Issikliq o`tkazuvchanlik tenglamasi uchun ASni kanonik ko`rinishga keltirish;
   
4. 
   ASning boshlang`ich qiymatlar va o`ng taraf bo`yicha turg`unligini aniqlash;
   
5. 
   ASning tekis turg`unligini aniqlash;
   
6. 
   Boshlang`ich qiymatlar bo`yicha turg`unlik teoremasi;
   
7. 
   Issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasi uchun ASning turg`unligini tekshirish.
   

Tayanch iboralar: ikki qatlamli sxemalar, kanonik shakl, turg`unlik ta`rifi, tekis turg`unlik, turg`unlik teoremasi.


1. Ikki qatlamli ASning kanonik ko`rinishi
Statsionar masalalar uchun qulay bo`lgan ASning umumiy yozilishi operator tenglama ko`rinishida bo`lib, nostatsionar ASga o`tganda u yetarli emas. Shuning uchun, ikki qatlamli va uch qatlamli ASlarni tadqiq etishda boshqa kanonik ko`rinishlardan foydalaniladi.
[0,T] kesmada vaqt bo`yicha qadam bilan to`r kiritamiz

va diskret argumentli N_h qiymatlaridan tuzilgan y(t_n)H_h funktsiyani qaraymiz. y(t_n)H_h funktsiyalar h va  lardan parametrik bog`liq bo`ladi . Quyida belgilashni kiritamiz.

N_h da ta`sir qiluvchi V<sub>1</sub>, V<sub>2</sub> chiziqli operatorlar va funktsiya berilgan bo`lsin. Ikki qatlamli ayirmali sxema deb quyidagi ko`rinishdagi birinchi tartibli operator-ayirmali tenglamalar oilasiga aytiladi

(1)
- berilgan.
Ushbu
(2)
ayniyatni hisobga olib, har qanday ikki qatlamli ASni to`rda quyidagi ko`rinishda yozish mumkin
(3)
- berilgan, bu erda A=V₁+V₂, V=V₁ – chiziqli operatorlar.
(3) ko`rinishdagi yozuvga ikki qatlamli ASning kanonik formasi (ko`rinishi) deyiladi.
(3) sxema o`z ko`rinishi bo`yicha differentsial tenglamalar uchun abstrakt Koshi masalasini eslatadi
.
Kelgusida ikki qatlamli ASlarning turg`unlik shartlarini A va V operatorlarning xossalari yordamida ifodalash qulay ekanligiga ishonch hosil qilamiz.
Misol. Bir o`lchovli issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasi uchun vaznli sxemani qaraymiz
(4)


(4) sxemani (3) kanonik ko`rinishga keltiramiz. fazo sifatida quyidagi to`rda berilgan

va i=0, i=I larda nolga aylanadigan xaqiqiy funktsiyalar to`plamini olamiz.

Ushbu operatorlarni aniqlaymiz

(5)
orqali vektorlarni belgilaymiz, bu erda . U holda (4) ayirmali masalani kanonik shaklda bo`lmagan operator ko`rinishda yozamiz:
(6)
(2) dan foydalanib, (3) AS ni olamiz, bu erda .
Shunday qilib, (4) ayirmali sxema (3) kanonik ko`rinishida yoziladi, bu erda _n=0, A operator (5) ga muvofiq aniqlangan va . Natijada,
.