Indecidibilidad en lenguaje natural- de epimenides a gödel
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- 2 - PROPOSICIONES CALIFICABLES DE VERDADERAS O FALSAS
- 5 - CONDICIONES EN QUE UNA PROPOSICIÓN ES CALIFICABLE DE VERDADERA O FALSA
- 6 - UNA PROPOSICIÓN NO CALIFICABLE DE VERDADERA O FALSA
- "La sentencia Nº2 es Falsa" es Falsa
- REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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INDECIDIBILIDAD EN LENGUAJE NATURAL DE EPIMÉNIDES A GÖDEL * RESUMENA partir del análisis lógico de un problema en apariencia sencillo, pero que no lo es en absoluto, se obtiene una solución muy simple y convincente a la paradoja del mentiroso y se pone de manifiesto un error en la exposición de Gödel previa a su teorema de incompletitud. Destacamos tres puntos del presente artículo:
Keywords: Gödel, Godel, indecidibilidad, recursividad, Epimenides 2000 Mathematics Subject Classification: 03B65 - Logic of natural languages
* Actas del VIII CONGRESO DE LENGUAJES NATURALES Y LENGUAJES FORMALES Universidad de Barcelona 1992. Martín Vide, Ed. INDECIDIBILIDAD EN LENGUAJE NATURAL DE EPIMÉNIDES A GÖDEL 1 - LENGUAJEEl lenguaje, maravillosa herramienta de creación, de comunicación, (¿de confusión?), de pensamiento y de evolución no ha cesado de sorprendernos desde el Cratilo de Platón. [7] En general no ha existido conciencia (y hoy a menudo olvidamos) que los lenguajes naturales se resisten con frecuente éxito a cualquier intento de encasillar sus contenidos. Hasta que en la década de 1960 los investigadores en Inteligencia Artificial se abocaron a los problemas de tratamiento del lenguaje y tropezaron en la operativa concreta con las dificultades de orden semántico y pragmático de los significados abiertos, existía la ilusión de que esos temas eran fácilmente resolubles. 2 - PROPOSICIONES CALIFICABLES DE VERDADERAS O FALSASVeremos que el análisis de las condiciones en que una proposición formulada en lenguaje natural es Calificable de Verdadera o Falsa no es obvio. La aplicación de ese análisis es una de las vías que nos llevarán a objetar la afirmación hecha por Gödel en la explicación previa a su teorema de incompletud *1, donde deduce que una sentencia indecidible es verdadera. Señalemos que el teorema ha sido objetado por varios motivos, pero nunca *2 por afirmar (previo a su demostración), que es verdadera esta sentencia indecidible (que como veremos, no es en absoluto verdadera). La sentencia citada tiene gran similitud con la paradoja de Epiménides. Dice de ella J. Mosterín: "Bordeando la paradoja del mentiroso, pero sin caer en ella (la sentencia es a la vez verdadera e indeducible, y en ello no hay paradoja alguna, aunque si sorpresa)…" - J. Mosterín [1; 48] En ninguno de los dos casos la afirmación es Calificable de Verdadera o Falsa; y aunque a priori lo parezca, la sentencia citada no es verdadera. Ambas proposiciones han sido tratadas como Calificables de Verdaderas o Falsas, la de Epiménides y la de Gödel, que además ha sido aceptada como verdadera. 3 - MARCO LÓGICOEncontramos el concepto de verdadero en un delicado punto de articulación entre la sintáctica y la semántica, desde verdadero en un sistema formal en el cual es derivable de las premisas básicas (válido, analítico, demostrable, [2; 216]) hasta verdadero por la concordancia atribuida a una proposición en lenguaje natural con una cierta realidad (Ej. : Afuera llueve). Calificar algo de verdadero implica el acuerdo con determinadas reglas de un sistema específico dentro del cual es entonces válida la calificación. Sin embargo cuando afirmemos aquí que una proposición (o seudo-proposición) es No Calificable de Verdadera o Falsa, aunque se llegue a eso por consideraciones sintácticas, ello implica la atribución de una falta de sentido que la invalida para una calificación similar en cualquier sistema lógico y no sólo en uno específico. Cuando digamos entonces No Calificable de Verdadera o Falsa esto implica no sólo adhesión a la lógica binaria Aristotélica, sino que pretende ser válido en otros sistemas, y mantendremos la designación “No Calificable VoF” para señalar que "El dulce de leche es dodecafónico" no es, en la lógica trivalente aymará, Calificable ni de Verdadero ni de Falso ni de Incierto. Tampoco tiene sentido en la "Lógica de lo probable" de Hans Reichenbach, que atribuye al valor "verdad" de una proposición un valor entre cero y uno, asignarle una medida al valor verdad o a la probabilidad de ser cierta esa sentencia (o conjunto de signos que parece tal), y entonces tampoco en ella es Calificable su Valor de Verdad. En resumen, “No Calificable de Verdadera o Falsa” implica una descalificación y la atribución de falta de sentido tanto en su “interpretación natural” en el ámbito informal de lo que llamamos “sentido común” como en los dominios formales de los sistemas lógicos que utilicemos. 4 - MARCO FORMALAunque sabemos que los lenguajes naturales tienen una fluidez y flexibilidad que no los hacen los más adecuados para un análisis riguroso, los dos casos que nos ocupan (Epiménides y Gödel) están formulados en ellos. 4.1 - La afirmación cuestionada de Gödel se expresa en la introducción y enunciado previo al desarrollo de su Teorema de Incompletitud (al cual le da especial sentido) y se produce fuera de todo sistema formal: "De la observación de que [R(q);q] dice de sí misma que no es deducible se sigue inmediatamente que [R(q);q] es verdadera, pues [R(q);q] no es deducible (ya que no es decidible). La sentencia indecidible en el sistema PM ha sido, pues, finalmente decidida mediante consideraciones metamatemáticas. El análisis preciso de esta extraña situación conduce a resultados sorprendentes...". Gödel [1;59] Esta afirmación, hecha en lenguaje natural, nunca ha sido cuestionada (J. Mosterín, ver pag. 2). 4.2 - El otro caso, la antinomia del mentiroso, formulada también en lenguaje natural, ha sido exorcizada de diversas maneras:
Veremos que el problema puede resolverse de modo simple y radical dentro del lenguaje natural y fuera de sistemas formales. En lo que sigue, pues, no estaremos sujetos a ningún ámbito formalizado específico. 5 - CONDICIONES EN QUE UNA PROPOSICIÓN ES CALIFICABLE DE VERDADERA O FALSACarnap estableció en su "Sintaxis lógica del lenguaje" la manera de construir la sintaxis de un lenguaje formalizado, incluyendo la necesidad de definir la noción de "expresión bien formada", es decir, enunciar las reglas de formación. Tarski, también para lenguajes formalizados, describió como construir una semántica y dar una definición rigurosa de la noción semántica de verdad, consecuencia lógica, validez. Ambos fueron escépticos al considerar la posibilidad de extender a los lenguajes naturales la aplicación de los métodos que habían creado. Se ha sostenido que no existe diferencia teórica importante entre lenguaje formal y natural – Montague [5]. Pero junto al problema planteado por D. Davidson: Todo sujeto hablante reconoce como perteneciente a su léxico un número finito de palabras y sabe aplicar un número finito de reglas de formación. ¿Cómo es capaz, en estas condiciones, de reconocer el carácter "bien formado", "gramatical" o "con sentido" de un número infinito de frases? – Davidson [6] sigue por muchos motivos vigente la afirmación de Carnap: La sintaxis gramatical de un lenguaje natural no es capaz de realizar la tarea de eliminar todos los casos de combinaciones de palabras que resultan sin sentido. Carnap [3;13] Al explicitar cuales son las condiciones para que una sentencia formulada en lenguaje natural sea en algún contexto Calificable de Verdadera o Falsa, debemos mantener como requisitos básicos previos, como mínimo, los siguientes: A - Identificación inequívoca de los sujetos a los cuales nos referimos. B - Identificación inequívoca de lo atribuido a esos sujetos. C - Posibilidad de coherencia entre sujetos y atributos. Esto no implica unicidad en el análisis que determine o separe los términos de la proposición. En: 2 + 3 = 5
Si existe por lo menos una forma de describir o analizar la sentencia de modo tal que cumpla las tres condiciones, entonces existe una Calificación de Verdadera o Falsa que tiene sentido. Si ningún análisis de la sentencia le permite cumplir con las tres condiciones señaladas, no existe una Calificación de Verdadera o Falsa que tenga sentido y la proposición (o seudo-proposición) es No Calificable de Verdadera o Falsa. 6 - UNA PROPOSICIÓN NO CALIFICABLE DE VERDADERA O FALSA6.1 - Supongamos que existe en correspondencia con una cierta realidad física la situación siguiente: 6.1.1 - Hay dos cofres numerados 1 y 2. 6.1.2 - Uno de los cofres contiene un botín. 6.1.3 - Cada cofre tiene un cartel con una sentencia sobre cuya veracidad no nos responsabilizamos. 6.1.4 – La Nº1 dice "El botín está en este cofre" La Nº2 dice "Sólo uno de los carteles es cierto"
6.2.2 - Si la sentencia Nº2 es Falsa, la Nº1 no puede ser Verdadera, pues en ese caso tendríamos sólo una cierta y la Nº2 sería Verdadera, contrariamente a lo supuesto. Entonces la sentencia Nº1 es Falsa. 6.2.3 - Como en ambos casos la Nº1 es Falsa (“El botín está en este cofre”) el botín está en el cofre Nº 2.
7 - EPIMÉNIDESComo nos resulta cómodo y entrañable poder Calificar de Verdadera o Falsa a sentencias que parecen calificables como tales, sólo aceptaremos la conclusión anterior si nos convencemos que la sentencia descalificada es una seudo-sentencia, o viola algo más próximo que una compleja formalización. Felizmente ocurre eso, la descalificada no cumple siquiera los requisitos mínimos establecidos en 5-A y 5-B. Cabe agregar que Calificable de Verdadero o Falso no es un distintivo gratuito aplicable a todo, sino a algo que esperamos tenga algún sentido. Tal vez "El dulce de leche es dodecafónico" encuentre algún sentido en un ámbito gastronómico, musical o surrealista, pero el análisis nos va a demostrar que dentro de lo que llamamos “sentido común” no existe ningún significado coherente atribuible a "Esta sentencia es falsa", o "Esta proposición es indecidible". Si la sentencia Nº1 del ejemplo anterior es Verdadera, la Nº2 (“Sólo una es cierta”) significa "Esta sentencia es Falsa", lo cual nos coloca directamente en la paradoja del mentiroso. Tomemos entonces a la paradoja de Epiménides en la forma que la encontramos en el ejemplo analizado: No2: La sentencia Nº2 es Falsa Si explicitamos sustituyendo “La sentencia Nº2” por la expresión completa de la segunda sentencia obtenemos: "La sentencia Nº2 es Falsa" es Falsalo que (en general) equivale a decir: La sentencia Nº2 no es FalsaVeamos que nos exigen los requisitos 5-A y 5-B. Nuestro sujeto sería la sentencia Nº2 y el atributo la falsedad. Con la primera sustitución de equivalentes (o presuntos equivalentes, si fuera inequívoca la identificación del sujeto), nuestro sujeto cambió, o cambió lo que le atribuimos. Si seguimos sustituyendo “La sentencia Nº 2” por su expresión completa, aquello que parecía claramente identificado saltará alternativamente a lugares opuestos. Esta frase que cambia de "es Falsa" a "no es Falsa" no cumple lo antes establecido. El tratar la afirmación de Epiménides como Verdadera o Falsa (o sea Calificable de Verdadera o Falsa) nos conduce a la paradoja de concluir que es falsa si la suponemos verdadera y viceversa. Esta contradicción es similar a la que se produciría si tratáramos la afirmación de Epiménides como si fuera positiva o negativa (calificable >0 ó <0, suposición que violaría 5-C) y pudiéramos concluir que es negativa si la suponemos positiva y viceversa. Esto no constituiría una real paradoja, sería un erróneo juego de aplicación de calificaciones mal o no definidas. La paradoja se produce al atribuirle erróneamente el valor de Verdadero o de Falso a una sentencia que como vimos en el punto 6 no es Calificable de Verdadera o Falsa. Independientemente de no tener sentido, lo que dice Epiménides no es Calificable de Verdadero o Falso; no es Verdadero y no es Falso. 8 – GÖDELKurt Gödel demostró en 1931 que todos los sistemas formales con cierto contenido aritmético son incompletos (puede construirse en ellos una sentencia tal que ni ella ni su negación son deducibles en el sistema). Para ello construyó efectivamente una sentencia con esas características, y mediante consideraciones metamatemáticas exteriores al sistema concluyó (fuera del sistema formal) que esa sentencia era verdadera. Quedó entonces demostrada la incompletitud de los sistemas formales, ya que podían contener una proposición (verdadera) que en el sistema no podía ser calificada de verdadera ni de falsa. Pero la sentencia que Gödel afirma que es verdadera (fuera del sistema formal) no lo es en absoluto. Tampoco es falsa, no es calificable de verdadera o falsa ni dentro del sistema formal (lo prueba Gödel) ni en "su interpretación natural". El resultado que el propio Gödel califica de sorprendente deja entonces de serlo. Aunque el teorema sea inobjetable sintácticamente, su significado aparece como: "Si en un sistema formal logramos construir una sentencia tan incoherente que sea a priori no calificable de verdadera o falsa, tampoco podremos decidir si es verdadera o falsa dentro de los límites de ese sistema" La afirmación que la sentencia es verdadera (lo cual le da un especial significado al hecho de que el sistema formal no pueda decidir si es verdadera o falsa) se produce en la presentación informal previa a la demostración y fuera de todo sistema formal. Dice Gödel: "Así pues, tenemos ante nosotros una sentencia que afirma su propia indeducibilidad. Frente a lo que podría parecer, un tal enunciado no tiene nada de circular, pues se limita a afirmar que una fórmula determinada (a saber, la obtenida mediante cierta sustitución a partir de la fórmula q-ava según el orden lexicográfico) no es deducible. Sólo posteriormente (y por así decir, por casualidad) resulta que esta fórmula es precisamente aquella que expresa ese mismo enunciado". Gödel [1;58] Parece obvio que las sentencias: No 1: La sentencia No n es indeducible No 2: La sentencia No n es falsa no tienen un status uniforme en todos los valores de n; e independientemente de si fue la casualidad quien condujo al valor que las vuelve circulares, éste exige un tratamiento particular, entre otras cosas para determinar si tiene sentido. (Hemos visto en el segundo caso que no lo tiene). El delicado punto cuestionado es expresado así por Gödel: "De la observación de que [R(q);q] dice de sí misma que no es deducible se sigue inmediatamente que [R(q);q] es verdadera, pues [R(q);q] no es deducible (ya que no es decidible). La sentencia indecidible en el sistema PM ha sido, pues, finalmente decidida mediante consideraciones metamatemáticas." Gödel [1;59] Decimos punto delicado entre otras cosas porque parece evidente que una sentencia que afirma su indeducibilidad, si es indeducible, entonces es verdadera. Fue evidente para Gödel y parece evidente para nosotros. Aún viendo que no cumple los requisitos expresados antes para ser Calificable de Verdadera o Falsa, parece evidente que es verdadera. Felizmente la razón es coherente, y como ha sucedido con tantas cosas evidentes que se demostraron erradas y sustituido por algo más profundamente armonioso, de lo anterior no se infiere que la sentencia sea verdadera. Es una esperable convergencia que no sea Verdadera una proposición que no es Calificable de Verdadera o Falsa, pero como no existe el hábito de establecer si esa calificación corresponde (y nos cuesta convencernos de que eso es suficiente), veámoslo de otras maneras. 8.1 - La tesis que parecía evidente es: "Esta Proposición es Indeducible" (Esta P es I) si es Indeducible, entonces es Verdadera. Tratemos de explicitar sustituyendo sucesivamente "Esta P…" por la expresión completa de la proposición y numeremos para identificar de que estamos hablando:
8.1.1 - La tesis 8.1 y lo que dice Gödel es, literalmente: Si K1 es I entonces K1 es Verdadera 8.1.2 - K1 es I es lo que afirma K2, de modo que lo anterior equivale a: Si K2 es V entonces K1 es V
solamente ("Esta P es I" es indeducible), y no "Esta P es I".
2ª. Esto fue impreso con tinta negra 3ª. Esta proposición es indeducible
Hipótesis 2 - A3 tiene la propiedad Q Tesis - A4 es verdadera Cuando Q implica P, A3 = A2 y A4 = A1 la conclusión es válida. El silogismo entonces dice: H 1 - A1 dice que A2 tiene la propiedad P H 2 - A2 tiene la propiedad P T - A1 es verdadera Para la primera sentencia, si llamamos: A2 = Esta frase tiene cinco palabras
Si podemos agregar esta equivalencia: Esta frase = "Esta frase tiene cinco palabras" y sustituimos en T'', obtenemos: (Esta frase tiene cinco palabras) es Verdadera
G2 = Esta proposición es Indeducible
No podemos agregar equivalencias similares al caso anterior porque:
No podemos entonces concluir que G2 sea Verdadera. 8.3 - El silogismo que expresa Gödel [1;59], es literalmente, con G = [R(q);q] el siguiente: H1 G dice que G es Indeducible H2 G es Indeducible T G es Verdadera
9 - CONCLUSIONES9.1 - Existen en lenguaje natural sentencias y/o seudo-sentencias no universalmente calificables de Verdaderas o Falsas. Si ese carácter no es evidente, deberemos recurrir a herramientas adecuadas para ponerlo de manifiesto. 9.2 - La paradoja del mentiroso aparece si cometemos el error de tratar la afirmación de Epiménides como calificable de Verdadera o Falsa, cuando en realidad no lo es. En los términos del ejemplo manejado en (6.3), si la proposición fuera “Verdadera o Falsa” el botín estaría siempre en el cofre Nº 2, en flagrante contradicción con la realidad. 9.3 - Gödel afirma, previo a su teorema de incompletitud, que una sentencia indecidible es verdadera, lo cual le confiere especial sentido al hecho de ser indecidible. El análisis muestra que dicha sentencia no es Verdadera. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS[1] - Kurt Gödel, Obras completas Alianza Universidad 286. Alianza Editorial S.A. Madrid, 1981
Routledge & Kegan Paul Ltd. London, 1937
Ediciones de La Casa del Estudiante Montevideo, 1976
Biblioteca de Psicología 35. Editorial Herder Barcelona, 1985
Yale University Press Yale, 1974
Philosophical Logic Dordrecht, 1959
Pettirossi Hnos. Montevideo, 1983 Referencias [obra; pág.] ÍNDICE RESUMEN 1 1 - LENGUAJE 2 2 - PROPOSICIONES CALIFICABLES DE VERDADERAS O FALSAS 2 3 - MARCO LÓGICO 3 4 - MARCO FORMAL 4 5 - CONDICIONES EN QUE UNA PROPOSICIÓN ES CALIFICABLE DE VERDADERA O FALSA 5 6 - UNA PROPOSICIÓN NO CALIFICABLE DE VERDADERA O FALSA 6 7 - EPIMÉNIDES 9 8 – GÖDEL 10 9 - CONCLUSIONES 16 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 17 1*1 En lo que sigue optaremos por el término “incompletitud” para referirnos a lo que en el texto citado de Gödel [1] se designa como “incompletud”. 2* Confirmado por Jesús Mosterín, compilador y traductor de Gödel Yüklə 95,3 Kb. Dostları ilə paylaş:
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