La funzione esponenzialeApplicazioni del modello esponenzialeI logaritmiApplicazioni del modello logaritmico e la scala logaritmica
La funzione esponenziale La funzione esponenziale è una delle più importanti funzioni in matematica.Fissato un numero reale a>0 e a≠1 si chiama funzione esponenziale di base a la funzione di equazione y=ax, il cui dominio è R e il codominio è R+ - {0} .Se a=1 ,poiché 1x =1, la funzione esponenziale degenera nella retta parallela all’asse x di equazione y=1.Per x=0 si ha y=1 ( a≠0) quindi il grafico della funzione interseca l’asse y nel punto (0,1)Se a≠1 si distinguono due casi: a>1 e 0
La funzione y=ax con a>1 al variare di a
I logaritmi Come nascono i logaritmiDefinizione di logaritmoProprietà dei logaritmiCambiamento di baseLa funzione logaritmicaScala logaritmicaApplicazioni del modello logaritmico e della scala logaritmica
Michael Stilef ha individuato: LA PROGRESSIONE GEOMETRICA
L’invenzione dei logaritmi John Napier: “ Mirifici logarithomorum canonis desriptio” ( Descrizione della regola meravigliosa dei logaritmi)(1614) seguita nel 1619 dal libro “Mirifici logarithomorum canonis constructio” in cui si desrivono i metodi da lui usati nella costruzione delle sue tavole. Henry Briggs: “ Logarithmorum chilia prima”(1617) logaritmi dei numeri da 1 a 1000
Proprietà dei logaritmi loga(b*c)=logab+logacloga (b/c)=logab-logaclogaan=n*logaalogaloga(1/n)=-logan
Cambiamento di base logab= logcb/logcalogab= 1/logba
Le basi più comuni
La funzione logaritmica
Scala lineare: è quella maggiormente utilizzata. La parola lineare indica il fatto che ciascun intervallo di graduazione è costante. Scala logaritmica: la scala logaritmica si differenzia dalla scala lineare per il fatto che la proporzionalità tra le due grandezze non è costante ma ha un andamento logaritmico.
Confronto tra scala lineare e logaritmica:
Costruzione della scala logaritmica Si segna 1 nell’estremo sinistro di un segmentoSi segna 100 nell’estremo destro del segmentoSi prende il punto medio tra 1 e 100 e lo si chiama 10Si prende il punto medio tra 1 e 10 e lo si chiama √10=3,162
I LOGARITMI FACILITANO I CALCOLI per la semplificazione dei calcoli e trovanoancora impiego e applicazione in diversediscipline come la biologia, l’ astronomia, le scienze della terra e le operazioni finanziarie
La funzione Dati due insiemi A e B, si dice funzione da A in B ogni relazione che ad ogni elemento si A fa corrispondere uno ed un solo elemento di B.
Funzione iniettiva Una funzione si dice iniettiva se ogni elemento di B ha al massimo una controimmagine in A;cioè se due elementi diversi appartenenti ad A hanno immagini diverse in B.
La funzione suriettiva Una funzione si dice suriettiva se ogni elemento di B ha almeno una controimmagine in A.
La funzione bigettiva Una funzione f:A->B si dice bigettiva o biunivoca se è iniettiva e suriettiva.
La funzione invertibile Se una funzione f:A B risulta essere bigettiva,allora è invertibile e avrà come funzione inversa inversa f -1:B ANel piano cartesiano f e f -1 hanno rappresentazioni grafiche coincidenti ma se si scambia la x con la y in f -1 i grafici di y=f(x) e y=f -1(x) risultano simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante
Applicazione nel suono L’apparato uditivo umano è sensibile alla variazione di pressione atmosferica e la traduce in variazione di segnali elettro-chimici. Questo legame è logaritmico e si misura con la scala del decibel. Il decibel è un’unità di misura di tipo logaritmico che esprime il rapporto fra due livelli di cui uno, quello al denominatore, è preso come riferimento
Applicazione nella finanza Nelle scale logaritmiche ad uguali variazioni percentuali del prezzo corrisponde un medesimo movimento sull’asse y del grafico indipendentemente dalla variazione del prezzo in valore assoluto mentre nelle scale aritmetiche non sono apprezzabili le variazioni del prezzo in quanto sono messe in evidenza solo le variazioni assolute
Intensità: misura la grandezza dei terremoti attraverso gli effettiMagnitudo: esprime la grandezza di un terremoto attraverso la misura dell’ampiezza massima della traccia registrata dal sismografo.
Il sismografo Strumento utilizzato per registrare i fenomeni sismiciÈ costituito da una serie di elementi che consentono la rappresentazione grafica dell’andamento del segnale sismometrico nel tempo.Esistono due scale: Mercalli e Richter
Applicazione nella chimica È possibile esprimere la basicità o l’acidità di una sostanza mediante la scala del pH, che consente di trasformare numeri molto piccoli in numeri che vanno da 0 a 14. Oggi il pH viene definito come il logaritmo negativo, in base 10, della concentrazione molare degli ioni idrogeno. pH=-log[H+]
Il decadimento radioattivo Un nucleo radioattivo può trovarsi in uno stato tale da rendere possibile sia l'emissione di particelle dotate di energia cinetica, sia di radiazioni elettromagnetiche. Si dice allora che il nucleo ha subito un decadimento radioattivo che tende a portarlo in uno stato più stabile, cioè caratterizzato da minore energia.Sebbene in un dato intervallo di tempo si disintegri una ben definita frazione di nuclei, non è dato sapere quali essi siano, anche se ogni nucleo radioattivo ha una data probabilità di disintegrarsi e questa probabilità non cambia nel tempo.Così come si può valutare quanti nuclei di una data specie decadranno in un certo tempo, possiamo anche valutare quanto tempo deve trascorrere perché la quantità di nuclei presenti ad un dato istante si dimezzi. Tale tempo è detto tempo di dimezzamento T.
La legge di Malthus Malthus sostiene che la popolazione (umana) cresce secondo una progressione geometrica (per esempio 2, 4, 8, 16, ...), mentre le risorse necessarie per la sua alimentazione crescono secondo una progressione aritmetica (per esempio 3, 6, 9, 12, ...). Non importa quali siano i numeri di partenza: prima o poi la popolazione supera le risorse e la crescita non può continuare. Questa è nota come "legge di Malthus" (in economia, non in biologia).
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