Joanna Golińska



Yüklə 57,68 Kb.
tarix17.11.2018
ölçüsü57,68 Kb.

Joanna Golińska

MATEMATYKA WEDŁUG GÖDLA

Większość wykładających matematyków uczy matematyki tak, jak biolog uczy o faunie i florze. Mówią o pewnych obiektach dowodząc najczęściej istnienia tych obiektów i posiadanych przez nie własności. Sposób ich prezentacji świadczyć powinien o tym, iż przyjmują implicite „istnienie rzeczywistości matematycznej”. Mało prawdopodobne wydaje się, aby matematyk – wykładający na przykład analizę matematyczną – przekonywał swoich studentów, iż wszystko, co mówi jest grą na symbolach, kwestią umowy czy subtelną konstrukcją umysłową. Jednak praktykujący matematycy zapytani, czy rzeczywistość matematyczna istnieje, rzadko potwierdzają wprost istnienie tego, co ich akademicka działalność implikuje. Niektórzy odpowiadają negatywnie usprawiedliwiając się jednocześnie, iż taki właśnie sposób uprawiania matematyki jest wygodny. Inni – o większej wrażliwości filozoficznej – żądają uściślenia pojęć „rzeczywistość matematyczna”, „istnienie”. Zapytani jednak, czy ten oto przedmiot jest kartką papieru i istnieje, odpowiadają twierdząco. Przyznawanie się do realizmu matematycznego – funkcjonującego w społeczności filozoficznej jako filozofia naiwna – jest delikatnie mówiąc wstydliwe.

Kurt Gödel jako jeden z niewielu dwudziestowiecznych matematyków otwarcie przyznawał się do realizmu matematycznego. Zdumiewająca jest nie tylko jego odważna deklaracja, ale również żarliwość z jaką przez całe życie bronił tego stanowiska. Wydaje się, iż wiara w rzeczywistość matematyczną, w istnienie której – jak sam przyznaje – wierzył od czasów studenckich, wpłynęła znacząco na jego zainteresowania i osiągnięcia logiczne.

Celem pracy jest prezentacja platonizmu matematycznego Gödla. Artykuł stanowi bardziej zestawienie gödlowskich argumentów na rzecz platonizmu, niż próbę interpretacji czy analizę poprawności argumentów.




* * *

Realizm1 to stanowisko uznające istnienie obiektów z pewnej dziedziny dyskursu. Realista w dyscyplinie S może utrzymywać, że: (1) istnieją przedmioty, które opisuje S; (2) ich istnienie nie zależy od nas, nie jest artefaktem umysłu, języka czy schematu pojęciowego; (3) zdania należące do S nie są redukowalne do innych rodzajów zdań; (4) zdania należące do S posiadają warunki prawdziwości, są bezpośrednimi opisami aspektów dziedziny dyskursu i to fakty czynią je prawdziwymi lub fałszywymi; (5) potrafimy docierać do prawdy w S i całkowicie zasadne jest akceptowanie twierdzeń, które formułujemy w S. Natomiast platonizm, który przypisuje się Gödlowi i do którego sam się przyznawał, jest po prostu realizmem dotyczącym obiektów abstrakcyjnych, w szczególności obiektów matematycznych. Oczywiście realizm (a co za tym idzie również platonizm) w zależności od tego, które z tez (1) – (5) zostaną przyjęte i jak zinterpretowane, może przyjmować różne formy. Filozoficzne uwagi Gödla – rozproszone w wielu jego artykułach – sugerują, iż Gödel przyjmował wszystkie z tez (1) – (5). Pierwsze wyznanie platonizmu można odnaleźć w Russell’s Mathematical Logic:


Klasy i pojęcia mogą być pojmowane jako rzeczywiste obiekty istniejące niezależnie od naszych definicji i konstrukcji, mianowicie, klasy jako wielości rzeczy czy jako struktury zawierające wielość rzeczy, zaś pojęcia jako własności rzeczy czy relacje między nimi.2
Warto zauważyć, iż sformułowanie „klasy i pojęcia mogą być pojmowane” nie jest równoznaczne z „klasy i pojęcia istnieją”. W Gibbs Lecture Gödel stwierdza jednak istnienie obiektów matematycznych jednoznacznie:
Obiekty i fakty matematyczne, lub przynajmniej coś w nich, istnieją obiektywnie i niezależnie od naszych aktów mentalnych i decyzji.3
oraz
(...) przedmioty i twierdzenia matematyki są tak samo obiektywne i niezależne od naszych wolnych wyborów oraz naszych twórczych działań, jak to ma miejsce w świecie fizycznym.4
Zacytowane fragmenty potwierdzają więc, iż Gödel przyjmował tezy (1) i (2). Wyjaśniają jednocześnie pojęcie „niezależności”: obiekty matematyczne istnieją niezależnie od artefaktów umysłu, języka czy symboli w takim samym sensie, jak świat fizyczny istnieje niezależnie od naszych doświadczeń zmysłowych. Argumenty Gödla przeciwko logicyzmowi Russella, psychologizmowi i innym koncepcjom matematyki – przedstawione w dalszej części pracy – świadczą z kolei o tym, iż uznawał tezę (3). Natomiast argumenty pozytywne na rzecz realizmu, przemawiają za przypisaniem Gödlowi również tez (4) i (5).
Gödel zdawał sobie sprawę z trudności z jakimi musi zmagać się realista matematyczny. Jednak – o czym była już mowa we wstępie – przez całe życie bronił swego stanowiska. Argumenty rozwijał i udoskonalał. Uwydatniają one subtelność jego rozważań filozoficznych i mogą zaskoczyć niejednego rasowego filozofa swoją trafnością.

Rdzeń argumentacji Gödla na rzecz realizmu matematycznego stanowią argumenty „negatywne” – to znaczy argumenty przeciwko alternatywnym ujęciom natury obiektów matematycznych. Argumenty tego rodzaju przedstawiam w pierwszej kolejności. Prawdopodobnie obrona pozbawiona konstruktywnego uzasadnienia nie byłaby w pełni wartościowa i z miejsca narażona na krytykę. Gödel rozczaruje jednak ewentualnych krytyków.


Argumenty negatywne skierowane były przede wszystkim przeciwko koncepcji obiektów matematycznych jako „tworów ludzkiego umysłu”, stanowisku lingwistycznemu, psychologizmowi oraz realizmowi arystotelesowskiemu.

W Gibbs Lecture Gödel opowiada się przeciwko jakiejkolwiek redukcji pojęć matematycznych do „naszych kreacji”. Argumenty Gödla są następujące5:


1. Jeśli matematyka jest naszą wolną kreacją, wówczas niewiedza dotycząca wytworzonych obiektów wynikałaby wyłącznie z faktu, iż niezbyt jasno i wyraźnie uświadamiamy sobie to, co stworzyliśmy. A zatem, jeśli tylko niejasność ta zniknie, wówczas powinniśmy znać odpowiedź na wszelkie pytania dotyczące wytworzonych przez nas obiektów. Tymczasem, mimo iż w ramach badań podstaw matematyki osiągnięto już maksymalny stopień dokładności i precyzji, większość fundamentalnych problemów matematycznych pozostaje nierozwiązana.
2. Nawet, jeśli aksjomaty pewnych teorii matematycznych byłyby wynikiem czystej wyobraźni, musimy przyznać, iż matematyk wymyśliwszy podstawowe własności tworzonych obiektów jest u celu swych możliwości twórczych i nie może już zagwarantować prawdziwości twierdzeń samym aktem własnego tworzenia. Jeśli w ogóle istnieje w matematyce coś takiego, jak akt tworzenia, wówczas jakiekolwiek twierdzenie ogranicza wolność tworzenia. Jednakże to, co ogranicza, musi oczywiście istnieć niezależnie od aktu tworzenia i stwórcy.

3. Jeśli obiekty matematyczne są naszymi kreacjami, wówczas liczby całkowite i zbiór liczb całkowitych będą dwoma różnymi kreacjami. Pierwsza z nich nie wymaga drugiej. Jednakże, kiedy dowodzimy pewnych zdań o liczbach całkowitych, pojęcie zbioru liczb całkowitych jest konieczne. A zatem, w porządku odkrywania własności, jakie posiadają obiekty czystej wyobraźni, pierwszą musi być kreacja pewnych innych obiektów. To jednak bardzo dziwna konsekwencja!
Kolejne „negatywne argumenty” – sformułowane po raz pierwszy w Gibbs Lecture – wymierzone są przeciwko pozytywistycznej koncepcji matematyki. W późniejszej pracy Is Mathematics Syntax of Language? – mającej sześć różnych wersji i nigdy przez Gödla nie opublikowanej – Gödel podejmuje kolejną próbę obalenia stanowiska „lingwistycznego”. Jak wiadomo żadna z sześciu wersji nie satysfakcjonowała Gödla.

Stanowiskiem lingwistycznym nazywa Gödel pogląd głoszący, iż matematyka może być zredukowana (i faktycznie nie jest niczym więcej) do składni języka, to znaczy prawdziwość twierdzeń matematycznych polega wyłącznie na tym, że są one konsekwencjami pewnych składniowych konwencji dotyczących użycia symboli, a nie na tym, że opisują pewną rzeczywistość. Tak więc twierdzenia matematyczne są prawdziwe, ale pozbawione treści. Stanowisko lingwistyczne można więc uznać za pewną kombinację nominalizmu i konwencjonalizmu. Lingwistyczna koncepcja matematyki była najsilniej głoszona przez Carnapa, Hahna, Schlicka oraz Ramsey’a. Podstawowym celem Hahna i Schlicka było pogodzić empiryzm z aprioryczną pewnością matematyki. Cel stanowiska lingwistycznego można więc również sformułować następująco: zbudować matematykę jako system zdań prawdziwych niezależnie od doświadczenia bez użycia intuicji matematycznej czy odwoływania się do jakichkolwiek matematycznych obiektów i faktów. Jak utrzymuje Gödel, zwolennicy stanowiska lingwistycznego dowodzą faktycznie, że:


I. Matematyka może być zinterpretowana jako syntaktyka języka, o ile terminy „język”, „syntaktyka”, „interpretacja” (ewentualnie jeden z tych terminów) są rozumiane w uogólnionym lub osłabionym sensie, lub jeśli bierzemy pod uwagę małą część tego, co zwykle jest uważane za „matematykę”.
II. Twierdzenia matematyczne nie posiadają treści, o ile termin „treść” („znaczenie”) jest rozumiany w znaczeniu akceptowalnym wyłącznie przez empirystę.
Powyższe wyniki mają przemawiać w zamierzeniu autorów za przyjęciem stanowiska lingwistycznego. Gödel argumentuje jednak, że w przypadku, gdy terminy z punktu I są rozumiane w zwykłym sensie, wówczas – z wyjątkiem małej części matematyki – tezę I można obalić. Z kolei krytyczne badanie tezy drugiej prowadzi zdaniem Gödla do wniosku, iż
obiekty i fakty matematyczne istnieją i są tak samo obiektywne (to znaczy niezależne od naszych konwencji i konstrukcji), jak obiekty i fakty fizyczne czy psychiczne, pomimo ich całkowicie odmiennej natury. Wniosek powyższy dotyczy również tej części matematyki, która może być zredukowana do syntaktyki w dosłownym sensie.6
A zatem, stanowisko, zgodnie z którym nauki empiryczne opisują „pewną rzeczywistość”, podczas gdy matematyka nie, wydaje się trudne do utrzymania.

Punktem wyjścia krytyki Gödla jest analiza pojęć występujących w tezie I. Proponuje on pewną eksplikację kluczowych terminów i jak twierdzi przyjęcie przedstawionych znaczeń jest konieczne dla celów programu syntaktycznego.


1. Skoro jednym z celów programu syntaktycznego jest wykazanie, iż w działalności matematycznej nie ma miejsca dla intuicji matematycznej, przy czym próbuje się jednocześnie zachować użyteczność matematyki w naukach empirycznych, zatem konieczne jest uzasadnienie, iż matematyka może być rzeczywiście zastosowana w naukach empirycznych, a faktycznie że dotyczy to matematyki klasycznej. Jednakże pewne części matematyki klasycznej – na przykład teoria continuum – nie mogą być rozważane jako część fizyki. Termin „matematyka” musi więc oznaczać matematykę klasyczną. To samo zresztą dotyczy matematyki intuicjonistycznej. W obu przypadkach w tezie I matematyka musi być traktowana jako system zdań, o których możemy wiedzieć, iż są prawdziwe. Tak więc problemem stanowiska syntaktycznego pozostaje faktycznie wykazanie, że odrzucając intuicyjną treść matematyki możemy pomimo to otrzymać uznane i stosowane twierdzenia matematyczne.
2. Termin „język” musi oznaczać dla empirysty pewien symbolizm, który może być faktycznie zastosowany w świecie empirycznym. To z kolei oznacza, iż zdania tego języka muszą być zbudowane ze skończonej liczby symboli. Tak więc zdania nieskończonej długości, jako że nie istnieją oraz nie mogą być wyprodukowane w świecie empirycznym, są czysto matematycznymi obiektami. Dlatego też obiekty tego rodzaju, występujące często w matematyce, należałoby przyjąć na samym początku.
3. Z tych samych powodów empirysta powinien wymagać od reguły syntaktycznej, aby posiadała własność „skończoności”, to znaczy reguła syntaktyczna nie może zawierać sformułowań takich, jak: „jeśli istnieje nieskończony zbiór wyrażeń posiadających pewną własność” czy „jeśli wszystkie wyrażenia z pewnego nieskończonego zbioru mającego pewną własność”. Wyrażenia powyższe nie posiadają znaczenia, chyba że przyjmiemy istnienie pewnej intuicji o obiektach matematycznych, takich jak całość wszystkich możliwych wyrażeń czy pojęcie poprawnego dowodu, lub też przyjmiemy dodatkowe założenie o istnieniu takich obiektów i posiadanych przez nie własności.
4. Reguła dotycząca prawdziwości zdania może być nazwana regułą syntaktyczną tylko wtedy, gdy jest wyraźne lub w jakiś sposób wiemy to wcześniej, że nie implikuje prawdziwości lub fałszu jakiegolwiek zdania empirycznego. Ale wymóg ten będzie spełniony tylko wtedy, gdy reguła ta będzie niesprzeczna, gdyż sprzeczność implikuje wszystkie zdania, zatem również zdania empiryczne.
5. Wyrażenie „Matematyka może być zinterpretowana jako syntaktyka języka” musi więc oznaczać: (1) że aksjomaty i procedury dowodu matematycznego mogą być wywiedzione z odpowiednio wybranych reguł syntaktycznych oraz (2) wnioski z twierdzeń matematycznych oraz z aksjomatów pierwotnie uznanych za intuicyjnie prawdziwe mogą być uzasadnione za pomocą rozważań czysto syntaktycznych. Stwierdzenie drugie wymaga dowodu niesprzeczności wybranych reguł syntaktycznych. Jednak do dowodu niesprzeczności danej reguły konieczne jest „ponowne” użycie pojęć abstrakcyjnych. W szczególności, nie możemy dowieść niesprzeczności abstrakcyjnych pojęć matematycznych takich, jak „zbiór nieskończony”, „funkcja”, bez odwoływania się do pojęć abstrakcyjnych. Rozważmy następujący przykład: o ile interpretujemy matematykę jako system obiektywnie prawdziwych zdań, wówczas na podstawie dowodu hipotezy Goldbacha, będzie można orzec, iż maszyna licząca znajdzie dwie liczby pierwsze, których suma jest pewną daną dużą liczbą n. Jeśli jednak interpretujemy matematykę syntaktycznie, wówczas to samo stwierdzenie wymaga wiedzy o niesprzeczności reguł. Jeśli bowiem maszyna nie znajdzie rozkładu danej liczby, wówczas powinno to oznaczać, że istnieje formalny dowód obalający hipotezę Goldbacha. Z drugiej strony, jeśli hipoteza Goldbacha wynikałaby z dowolnych arbitralnie przyjętych reguł, wówczas nie można by sformułować żadnych wniosków dotyczących zachowania maszyny.

Oczywiście, poprzez mechaniczne stosowanie pewnych reguł otrzymamy te same zdania, które formułujemy intuicyjnie. Jednak intuicja matematyczna pozwala dodatkowo sformułować przypuszczenie, że jeśli zdania te wyrażają obserwowalne fakty oraz były otrzymane w wyniku zastosowania matematyki do weryfikacji fizycznych praw (lub wyrażają matematyczne fakty możliwe do sprawdzenia), to fakty te zostaną potwierdzone przez obserwacje (lub obliczenia). A zatem, syntaktyka – o ile ma być substytutem intuicji matematycznej możliwym do zaakceptowania – musi również dostarczyć odpowiednich argumentów przemawiających za przypuszczeniami tego rodzaju, a to jest niemożliwe bez dowodu niesprzeczności.



6. Zgodnie z tym, co zostało powiedziane w punktach (2) i (3) konieczne jest aby (1) warunek skończoności dotyczył nie tylko reguł syntaktyki, lecz również aksjomatów matematycznych oraz dowodów ich konsekwencji, oraz (2) dopuścić wyłącznie te procedury dowodu, które nie mogą być odrzucone przez kogokolwiek, kto wie, jak stosować reguły.

Albowiem, jeśli intuicję matematyczną oraz założenie matematycznych obiektów i faktów można zastąpić środkami syntaktycznymi, wówczas niezbędny jest wymóg, aby podstawą zastosowania „abstrakcyjnych” i „pozaskończonych” pojęć matematycznych, które nie mogą być zrozumiane i stosowane bez odwoływania się do intuicji matematycznej lub założeń dotyczących ich własności, były rozważania finitystyczne. Gdyby jednak w sformułowaniu reguły syntaktycznej, w dowodzie niesprzeczności czy w przyjętych aksjomatach zastosowano pewne abstrakcyjne lub pozaskończone pojęcia, wówczas koncepcja syntaktyczna zmieni całkowicie swoje oblicze: zamiast wyjasnić znaczenie niefinitystycznych pojęć matematycznych w terminach reguł syntaktycznych zastosuje te terminy do sformułowania reguł, zamiast uzasadnić aksjomaty matematyczne poprzez ich redukcję do reguł syntaktycznych, wykorzysta te aksjomaty (lub niektóre z nich) jako konieczne do uzasadnienia niesprzeczności tych reguł. Można wprawdzie argumentować, iż faktycznie nie jest konieczne stosowanie niekonstruktywnych aksjomatów, a jest dopuszczalne stosowanie indukcji empirycznej. Na przykład, niesprzeczność mogłaby być oparta na fakcie, iż nie wystąpiła żadna sprzeczność. Jeśli jednak niesprzeczność ma dotyczyć manipulowania fizycznymi symbolami, zatem jest empirycznie weryfikowalna, tak jak prawa fizyczne. Ale wówczas aksjomaty i zdania matematyczne zostają pozbawione ich „konwencjonalnej” natury, „braku treści” oraz „aprioryczności” i stają się raczej wyrażeniami empirycznych faktów.


Według Gödla, teza „matematyka jest syntaktyką języka” uzasadnia nominalizm oraz konwencjonalizm, a obala realizm, tylko wtedy, gdy spełnione są warunki (1) – (6). Niestety, żadna z rozważanych przez Gödla wersji stanowiska lingwistycznego warunków tych nie spełnia. Ramsey potrzebuje zdań mających nieskończoną długość. Carnap używa niefinitystycznych reguł syntaktycznych i argumentów. Tymczasem stanowisko lingwistyczne nie spełniające tych warunków może dostarczyć podstaw wyłącznie dla małej części matematyki. Oczywiście, niepowodzenia rozważanych koncepcji jeszcze o niczym nie świadczą. Problemem pozostaje, czy niepowodzenia te dotyczą wyłacznie tych szczególnych prób czy też istnieją inne poważniejsze przyczyny, dla których jakakolwiek próba zbudowania „matematyki syntaktycznej” skazana jest na niepowodzenie. Jak utrzymuje Gödel, odpowiedź na to pytanie zależy od zakresu pojęcia „finitystyczne rozumowanie kombinatoryczne”. Zgodnie z wynikami Gentzena7, każde rozumowanie tego rodzaju można wyrazić formalnie w klasycznej arytmetyce. Jednakże na mocy twierdzenia Gödla, nie można dowieść niesprzeczności danego systemu zawierającego sformalizowaną arytmetykę efektywnie aksjomatyzowalną w ramach tego systemu. A zatem nawet niesprzeczności klasycznej arytmetyki nie możemy dowieść za pomocą finitystycznego rozumowania.

Wynika z tego, że niemożliwe jest uzasadnienie stanowiska syntaktycznego, które spełniałoby jednocześnie wszystkie warunki (1) – (6) (czy nawet warunki (1) – (3), drugą część (5) oraz (6)). Co więcej, jest to prawdą niezależnie od tego, czy termin „matematyka” jest rozumiany jako matematyka klasyczna, intuicjonistyczna, konstruktywistyczna czy nawet jako intuicjonistyczna arytmetyka. Tylko wówczas, gdy „matematyka” jest ograniczona do finitystycznego rozumowania kombinatorycznego lub zawiera niefinitystyczne pojęcia a jej aksjomaty są wyłącznie sztucznymi restrykcjami lub też nie zawiera sformalizowanej arytmetyki efektywnie aksjomatyzowalnej, program syntaktyczny ma szansę na uzasadnienie tak, aby spełnione były warunki (2) – (6).

Powyższe wyniki mają interesujące konsekwencje. Pokazują bowiem, że klasyczny rachunek zdań może być rzeczywiście zinterpretowany syntaktycznie, a ponadto, iż do dowodu niesprzeczności danego systemu konieczny jest system bogatszy. Nawet jeśli pewne kluczowe pojęcia czy aksjomaty danego systemu nie występują w systemie, w którym dowodzimy niesprzeczności, to i tak inne pojęcia – równoważnej mocy – muszą być w nim obecne. Pojęcie „równoważnej mocy” można uściślić na wiele sposobów. Na przykład następująco: musi być możliwa konstrukcja „modelu” teorii, której niesprzeczności dowodzimy (to znaczy zdefiniowanie pojęć spełniających dane aksjomaty, a nie spełniających jakichkolwiek zdań nie wynikających z aksjomatów), za pomocą pojęć i aksjomatów zastosowanych w dowodzie niesprzeczności. Jeśli więc przyjmujemy istnienie intuicji matematycznej, wówczas musimy również przyjąć istnienie treści matematycznej. Jeśli natomiast odrzucamy intuicję matematyczną, wówczas aksjomaty stają się założeniami możliwymi do obalenia, a to również oznacza, że posiadają treść. Fenomen ten Gödel nazywa nieeliminowalnością treści matematyki przez interpretację syntaktyczną.

Argumentacji powyższej można zarzucić, iż:


1. jest antropomorficzna, gdyż powołuje się na możliwość dowodu w skończonej liczbie kroków; jeśli jednak pominiemy praktyczne trudności związane z nieskończonym uniwersum, wówczas matematyka może być oparta na konwencjach, a zatem, że obiektywnie pozbawiona jest treści,
2. niezależnie od przedstawionych argumentów można nadal utrzymywać, iż prawdą jest, że o ile matematyka jest niesprzeczna, to nie posiada treści, to znaczy, że albo matematyka jest błędna albo nie posiada treści, ponieważ jeśli jest poprawna, to jest zgodna z wszystkimi możliwymi doświadczeniami zmysłowymi.
W odpowiedzi na zarzut pierwszy Gödel stwierdza, iż zlekceważenie tych „praktycznych” trudności implikuje, że również nauki empiryczne staną się pozbawione treści. Wystarczyłoby bowiem zdefiniować pojęcia empiryczne poprzez wyliczenie wszystkich obiektów podpadających pod te pojęcia. Natomiast wniosek drugi jest nieprawdziwy nawet z punktu widzenia empirysty. Albowiem
prawa natury bez matematyki są w takim samym stopniu „pozbawione treści”, jak matematyka bez praw natury. Tylko prawa natury wraz z matematyką (lub logiką) mają konsekwencje weryfikowalne przez doświadczenie zmysłowe. (...) Oczywiście, w twierdzeniach matematycznych nie formułuje się nowych własności rzeczywistości fizycznej stwierdzonych przez prawo natury, a raczej własności pojęć odnoszących się do rzeczywistości fizycznej. Co więcej, własności te są tak samo obiektywne, jak własności fizyczne, a nawet weryfikowalne przez doświadczenie przy założeniu, że zachodzą pewne prawa natury, które mogą być potwierdzone niezależnie od matematyki właściwej. W szczególności jest możliwe, iż pewne własności pojęć zawierających kwantyfikator ogólny nie będą wynikały z definicji czy znaczeń terminów, lecz będą poznawalne w takim samym sensie, jak prawa natury.8
Przedstawione argumenty dotyczą również samej matematyki finitystycznej. Tak więc, nawet jeśli matematyka mogłaby być zredukowana do finitystycznej syntaktyki zgodnie z warunkami (2) – (6), nie oznaczałoby to, że nie posiada treści, lecz conajwyżej, że posiada nie więcej treści niż finitystyczna kombinatoryka.

Można wykazać – utrzymuje Gödel – iż w rozumowaniu prowadzącym do wniosku, że nie istnieją żadne fakty matematyczne, popełnia się petitio principii, to znaczy termin „fakt” utożsamia się z „fakt empiryczny”. Przy takim założeniu teza, iż twierdzenia matematyczne są pozbawione treści, wydaje się oczywista – również dla realisty. Jednakże realista odrzuca to wstępne założenie utrzymując, że treść polega na relacji między pojęciami a innymi abstrakcyjnymi obiektami, które istnieją niezależnie od naszych zmysłowych postrzeżeń. Carnap definiuje treść wykorzystując relację logicznej konsekwencji. Zgodnie z jego koncepcją, te zdania mają tę samą treść, które są logicznie równoważne. Jak twierdzi Gödel nie istnieją żadne sensowne powody, dla których mielibyśmy ograniczać w ten sposób zakres pojęcia „treść”. Definicja Carnapa jest arbitralna, a jego „treść” powinna być raczej nazwana treścią „ekstralogiczną” lub „empiryczną”.

Trzeci z obalanych stanowisk to psychologizm. Gödel rozważa dwie formy psychologizmu. W pierwszej z nich utrzymuje się, iż matematyka bada ralacje i pojęcia, które nie mogą być tworami naszego umysłu oraz obiekty matematyczne dane nam są jako pewna rzeczywistość, której nie możemy zmieniać. Jednakże w odróżnieniu od platonizmu psychologizm utrzymuje, iż pojęcia te są wyłącznie psychologicznymi strukturami bądź dyspozycjami naszego umysłu, to znaczy obiekty matematyczne są niczym więcej jak psychologicznymi prawami naszego myślenia. Gödel zarzuca takiemu stanowisku, iż uznanie jego tez wyklucza jakąkolwiek wiedzę matematyczną. Nie moglibyśmy na przykład posiadać wiedzy, iż 2 + 2 = 4, lecz jedynie, że nasz umysł jest tak skonstruowany, iż przyjmuje prawdziwość tego stwierdzenia. Co więcej, nie istnieją żadne sensowne powody, dla których nie moglibyśmy otrzymać wniosku przeciwnego o takim samym stopniu pewności na podstawie innych praw myślenia. Jednakże – konkluduje Gödel – istnieje pewna dziedzina stwierdzeń matematycznych, o której wiemy, że jest prawdziwa. Psychologizmu tego rodzaju nie można więc utrzymać.

Druga forma psychologizmu przyjmuje, iż to nie pojęcia matematyczne, lecz obiekty, do których pojęcia te się odnoszą, są czysto subiektywnymi czy umysłowymi operacjami umysłu. Jeśli zwolennik tego stanowiska przyjmuje, iż zdania o bytach umysłowych, którymi są obiekty matematyczne, są analityczne, wówczas musi również uznać, iż nasza wiedza o zdaniach analitycznych jest ograniczona do zdań odnoszących do zjawisk umysłowych. To jednak – jak stwierdza Gödel – jest nienaturalne i nieakceptowalne. Jeśli natomiast przyjmuje, iż zdania o bytach umysłowych są syntetyczne, wówczas staje przed problemem, jak wyjaśnić wiedzę o ogólnych zdaniach matematycznych nie powołując się na uogólnianie za pomocą indukcji.

Realizm arystotelesowski utrzymuje z kolei, iż pojęcia są częściami czy „formami” czasowo–przestrzennych rzeczy. Jednakże na gruncie tego rodzaju realizmu poważną trudnością (o ile w ogóle jest to możliwe) jest przedstawienie zadowalającego wyjaśnienia pojęć wyższych rzędów, a takimi – jak twierdzi Gödel – są pojęcia matematyczne. Trudno przecież utrzymywać, iż obiekty matematyczne są pojedynczymi przedmiotami fizycznymi takimi, jak stos kamyków. Jeśli natomiast realista arystotelesowski utrzymuje, iż obiekty matematyczne to własności rzeczy i relacje między nimi, wówczas musi uznać, iż własności są częściami rzeczy.
W [2] można odnaleźć pierwszy z argumentów pozytywnych – najsławniejszy chyba argument gödlowski – odwołujący się do analogii między obiektami matematycznymi a ciałami fizycznymi:
Wydaje mi się, iż przyjęcie takich obiektów [klas i pojęć] jest tak samo uzasadnione jak uznanie ciał fizycznych i jest tyle samo powodów, aby wierzyć w ich istnienie. Są one w takim samym znaczeniu konieczne, o ile chcemy otrzymać zadowalający system matematyki, jak ciała fizyczne są konieczne, aby otrzymać zadowalającą teorię naszych postrzeżeń zmysłowych. W obu przypadkach niemożliwością jest interpretowanie zdań o tych bytach jako zdań wyłącznie o ”danych”.
W [4] odwołuje się ponownie do tej analogii:
Podobieństwo między intuicją matematyczną i zmysłami fizycznymi jest niezwykle uderzające. Arbitralnym byłoby rozważać bezpośrednie dane „to jest czerwone”, a nie rozważać zdania wyrażającego modus ponens czy indukcję zupełną (lub jakieś inne proste zdania, z których ta ostatnia wynika). Różnica, o ile to jest relewantne tutaj, polega wyłącznie na tym, iż w pierwszym przypadku postrzegamy zależność między pojęciem a konkretnym przedmiotem, podczas gdy w drugim relacje między pojęciami.9
W Gibbs Lecture przedstawia jeszcze inny argument z rozważaną analogią. Argumentacja ta opiera się na nazywanej przez Gödla „niewyczerpywalności” matematyki. Na podstawie twierdzenia o niezupełności – argumentuje Gödel – które implikuje, iż trafny system dla części matematyki można zawsze właściwie rozszerzyć, oraz z iteracyjnego pojęcia zbioru możemy dojść do nowych oczywistych aksjomatów. A zatem istnieje nieograniczona liczba niezależnych matematycznych „postrzeżeń”:
Niewyczerpywalność matematyki świadczy o podobieństwie między rozumem a zmysłami (...), ponieważ pokazuje, iż istnieje praktycznie nieograniczona liczba postrzeżeń również tego „zmysłu”.10
Oznacza to, iż choć umysł nie tworzy rzeczywistości, choć może ją jedynie postrzegać i opisywać, to jednak nie jest w tym bierny czy statyczny, lecz „nieustannie się rozwija”.

Rozważając konsekwencje niezależności hipotezy continuum Gödel formułuje argument za tezą (5). Stwierdza, że niezależność hipotezy continuum nie implikuje w żaden sposób – jak być może będą utrzymywać przeciwnicy realizmu – iż wartość logiczna CH jest nieokreślona. Skoro obiekty matematyczne istnieją niezależnie od naszych artefaktów – a Gödel uważa, że inne jego argumenty tego dowodzą – i o ile aksjomaty teorii mnogości opisują pewną dobrze określoną rzeczywistość, wówczas w tej rzeczywistości przypuszczenie Cantora musi być albo prawdziwe albo fałszywe, zaś nierozstrzygalność CH świadczy tylko o tym, iż nasze aksjomaty nie stanowią pełnego opisu tej rzeczywistości.

W Gibbs Lecture – które stanowią najbardziej syntetyczną obronę Gödla – stwierdza, iż „obalone” alternatywne stanowiska wobec platonizmu wraz z realizmem wyczerpują wszelkie możliwości. Wynika więc z tego, iż platonizm jest jedynym możliwym do obrony stanowiskiem. I co więcej jego przyjęcie jest jedyną „owocną” drogą działalności matematycznej.
Matematyka jest niezmysłową rzeczywistością, która istnieje niezależnie zarówno od aktów, jak i dyspozycji ludzkiego umysłu i jest tylko odkrywana, prawdopodobnie bardzo niekompletnie, przez ludzki umysł.11


Bibliografia

[1] S. Blackburn, Oksfordzki słownik filozoficzny, tłum. zbiorowe, Książka i Wiedza, Warszawa, 1997


[2] K. Gödel, Russell’s Mathematical Logic, w: The Philosophy of Bertrand Russell, P. A. Schilpp (ed), Tudor Publishing Co., New York, 1951
[3] K. Gödel, Some basic theorems on the foundations of mathematics and their philosophical implications, Josiah Willard Gibbs Lecture, w: Kurt Gödel: Unpublished Philosophical Essays, F. A. RodriguezF A Rodriguez-Consuegra (ed.), Basel, 1995
[4] K. Gödel, Is Mathematics Syntax of Language?, w: Kurt Gödel: Unpublished Philosophical Essays, F. A. RodriguezF A Rodriguez-Consuegra (ed.), Basel, 1995

1 Definicja „realizmu” za [1], ss. 338–339

2 [2], s. 137

3 [3], s. 136

4 [3], s. 151

5 [3], ss. 138–139

6 [4], s. 237

7 Dowód niesprzeczności teorii liczb.

8 Ibidem, s. 348

9 [4] s. 359

10 [4] s. 353

11 [3] s. 147



Dostları ilə paylaş:


Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2017
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə