Kafedra: Fizika vY riyaziyyat



Yüklə 1,68 Mb.
səhifə1/15
tarix06.05.2018
ölçüsü1,68 Mb.
#42581
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15

AZЏRBAYCAN DЦVLЏT AQRAR UNЭVERSЭTETЭ

Kafedra: Fizika vY riyaziyyat

FYnn: Riyaziyyat

MьhazirYзi: R.F.D. dosent Orucova RYna Ьzeyir qэzэ

ЏdYbiyyat:

1. MYmmYdov R.H. Ali riyaziyyat kursu. Bakэ, Maarif, 3 hissY 1978.

2. Џ.B.Џliyev, A.Hьseynov. Riyaziyyat, Bakэ 2005

3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. Москва, Наука, 1971.

4. Кудрявцев В.А. ; Демидович Б.П. Краткий курсвысшей математики, Москва, Наука, 1989.

5. Џ.A.VYliyev vY baєqalarэ. Ali riyaziyyatdan mYsYlY vY misal hYllinY rYhbYrlik. I vY II hissY Bakэ,2001.

6. AlmYmmYdov M.S. vY baєqalarэ. Эqtisadзэlar ьзьn ali riyaziyyat kursuna aid mYslY vY misallar. Bakэ,2009.

7. Шипачев В.С. Высшая математика, Москва, Высшая школа 1990.

8. Маркович Э.С. Курс высшей математики. Москва, Высшая школа, 1972.

9. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. Учебник. М;2010.

10. Тихомиров В.М. Дифференциальное исчисление (теория и приложения), М;2002.

11. Слободская В.А. Краткий курс высшей математики, Москва, Высшая школа, 1969.

12. Abdullayev F.S. Adi diferensial tYnliklYr.Kompleks dYyiєYnli funksiyalar. Bakэ, Kьr, 2002.

13. Orucova R.Ь. Qeyri-mьYyyYn inteqral. MьYyyYn inteqral. Зoxqat vY YyrixYtli inteqrallar. DYrs vYsaiti. GYncY, 2016.

14. Hьseynov O.M. Adi differensial tYnliklYrdYn mYsYlY vY misallar. AKTA, GYncY 2003.

15. MYsimova S.N. Ali riyaziyyatэn Ysaslarэ, Bakэ, Yeni NYsil, 2009

16.Piskunov N.S. Diferensial vY inteqral hesabэ. Bakэ, Maarif, 1986.

17. Qmurman V.Y. Ehtimal nYzYriyyYsi vY riyazi statistika mYsYlYlYrinin hYllinY dair rYhbYrlik. Bakэ, Maarif, 1980.

18. 1. ЏkbYrov M. Ali cYbr, Bakэ, Maarif, 1976.

19. Naрэyev Џ. ЏdYdi sistemlYr, Bakэ, Maarif, 1976.

20. Эbrahimov Э.Э. ЏdYdlYr nYzYriyyYsinin Ysaslarэ, Bakэ, 1955.

21. Sultanov R.M. XYtti cYbrin Ysaslarэ, Bakэ, 1960.

ADAU - 2017

Mцvzu 1


Matris anlayэєэ. Determinantlar vY onlarэn xassYlYri.

1. Matris anlayэєэ, onlarэn ьzYrindY YmYllYr.

2. Determinantэn tYrifi vY Ysas xassYlYri.

3. TYrs matris anlayэєэ.

4. Matrisin ranqэ.

1. Matris anlayэєэ, onlarэn ьzYrindY YmYllYr.

єTutaq ki, m vY n natural YdYdlYrdir. mn sayda YdYddYn dьzbucaqlэ єYklindY dьzYldirmiє , m sayda sYtri vY n sayda sьtunu olan cYdvYlY (m · n) ЁC цlзьlь matris deilir. Matrisi

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

. . . . .

am1 am2 ..amn

vY ya


a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

- - - - - - - - - -

am1 am2 ..amn

єYklindY yazэrlar. BYzYn qэsa olmaq ьзьn matrisi bцyьk hYrflY (A, B, C, X, Y, ...), vY ya щшai jщш (i=1,2, ... n) єYklindY iєarY edirlYr.

Matrisi tYєkil edYn ai j YdYdlYrinY onun elementlYri deyilir. Elementin aєaqэsэnda yazэlan iki (ij) indeksin birincisi (i) onun yerlYєdiyi sYtrin nцmrYsini, ikincisi (j) isY yerlYєdiyi sьtunun nцmrYsini gцstYrir.

(m · n) цlзьlь (1) matrisinin sYtir vY sьtunlarэnэn sayэ bYrabYr (m=n) olduqda, ona kvadrat matris deilir. Bu halda n YdYdinY kvadrat matrisin tYrtibi deyilir. MYsYlYn

0 1 3


A = 3 5 B = 2 4 7

7 8 0 3 4

matrislYrinin birincisi iki, ikincisi isY ьзtYrtiblidir. Bir elementdYn ibarYt olan matrisY birtYrtibli matris deyilir. BirtYrtibli matrisi onu tYєkil edYn yeganY YdYdlY eynilYєdirirlYr: щшa11щш= a11.

Ancaq bir sYtri olan matrisY sYtir-matris, ancaq bir sьtunu olan matrisY sьtun-matris deyilir. MYsYlYn,

A = 2, 7, 8, 9 B = a, b, c

matrislYri sYtir-matrislYr,

0 a1

C = 2 , D = b1



1 c1

4 d1


matrislYri isY sьtun-matrislYrdir.

n-tYrtibli kvadrat

a11 a12 ... a1n

A = a21 a22 ... a2n

. . . . .

am1 am2 ..amn

matrisinin sol yuxarэ kьncьndY olan a11 elementi ilY saр aєaрэ kьncьndY olan amn elementini birlYєdirYn dьz xYtt parзasэ ьzYrindY yerlYєYn a11, a22, a33, ..., anm elementlYri зoxluрu hYmin matrisin baє diaqonalэ adlanэr. Ancaq baє diaqonalэnэn elementlYri sэfэrdan fYrgli olan kvadrat matrisY diaqonal matris deilir. Bьtьn elementlYri vahidY bYrabYr olan diaqonal matris vahid matris adlanэr vY In ilY iєarY olunur. BirtYrtibli vahid matris

µ §


ikitYrtibli vahid matris

µ §


ЬзtYrtibli vahid matris µ § vY s.olar.

Bьtьn elementlYri sэfra bYrabYr olan kvadrat matrisY sэfэr matris deyilir vY O ilY iєarY olunur. MYsYlYn,

µ § µ §

matrislYri uyрun olaraq ikitYrtibli vY ьзtYrtibli sэfэr matrislYrdir.

Verilmiє A matrisinin bьtьn sYtir vY sьtunlarэnэn yerinin dYyiєilmYsinY (nцmrYsini saxlamaqla) hYmin matrisin зevrilmYsi (transponirY edilmYsi) deyilir vY Aр ilY iєarY olunur. MYsYlYn,

1 3


1 2 0 р = 2 4 0 2 р = 0 5

3 4 7 0 7 , 5 -7 2 -7 ,

µ §

Aydэndэr ki, (A*)* = A olar. A = A* olduqda A matrisinY simmetrik matris deyilir. (2) matrisinin simmetrik olmasэ єYrtini ai j = ai j ( i, j = 1, 2, ..., n ) kimi yazmaq olar.



ai j = - ai j olduqda A matrisinY зYpsimmetrik matris deyilir.

Bьtьn elementlYri hYqiqi YdYdlYr olan matrisY hYqiqi, heз olmasa bir elementi kompleks YdYd olan matrisY isY kompleks matris deyilir. Biz burada hYqiqi matrislYrY baxэrэq.

Eyni цlзьlь vY bьtьn uyрun elementlYri bYrabYr olan matrislYrY bYrabYr matrislYr deyilir.

єMatrislYrin cYmindYn (fYrgindYn), YdYdY vY baєqa matrisY hasillYrindYn danэєmaq olar.

Eyni (m · n) ЁC цlзьlь A =щшai jщш vY B = щшbi jщш (i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ...,n) matrislYrinin cYmi hYmin цlзьlь vY hYdlYri

ci j = ai j + bi j (i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ...,n) (1)

kimi tYyin olunan C = щшci jщш (i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ...,n) matrisinY deyilir vY C = A+B ilY iєarY olunur. Xьsusi halda,

a11 a12 a13 + b11 b12 b13 = a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13

a21 a22 a23 b21 b22 b23 a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23

TYrifdYn aydэndэr ki, matrislYrin toplanmasэ yerdYyiєmY vY qruplaєdэrma xassYlYrinY malikdir, yYni eyniцlзьlь A, B vY C matrislYri ьзьn

A + B = B + A,

A + ( B + C ) + (A + B ) + C

mьnasibYtlYri doрrudur.

Eyniцlзьlь A matrisi vY O (sэfэr) matrisi ьзьn hYmiєY

A + O = A

mьnasibYti doрrudur.

Eyniцlзьlь A vY B matrislYrinin fYrgi hYmin цlзьlь elY C matrisinY deyilir ki, onu B ilY topladэqda A-ya bYrabYr olsun: A = C + B. A vY B matrislYrinin fYrgini

A ЁC B = C

ilY iєsarY edirlYr. Aydэndэr ki, hYmiєY:

A ЁC A = O

Verilmiє A =щшai jщш (i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ...,n) matrisinin hYqiqi л YdYdinY hasili, hYdlYri

bi j = л ai j (i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ...,n)

kimi tYyin olunan B = щшbi jщш (i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ...,n) matrisinY deyilir vY B = лA( vY ya B = Aл ) ilY iєarY olunur. Aydэndэr ki, ixtiyarэ A, B matrislYri vY hYqiqi л, м YdYdlYri ьзьn

( лм ) A = л ( мA ), л ( A + B ) = лA + лB,

( л + м )A = лA + мA

xassYlYri doрrudur.

Qeyd edYk ki, A vY B matrislYrinin fYrgini

A + B = A + (-1 ) · B

kimi dY yazmaq olar. Bundan baєqa

( A + B )* = A* + B * vY (лA )* = лA* (2)

sadY xassYlYri dY doрrudur.

Indi iki matrisin hasilinin tYyin edYk. (m · n) ЁC цlзьlь A =щшai jщш (i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ...,n) matrisinin (n · p) ЁC цlзьlь B = щшbi jщш matrisinY hasili hYdlYri ci j

µ §i k bk j (i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ..., p) (3)

kimi tYyin olunan ( m · p) цlзьlь C = щшci jщш (i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ...,p) matrisinY deyilir vY C=AB ilY iєarY olunur.

TYrifdYn aydэndэr ki, istYnilYn цlзьlь iki matrisi vurmaq olmaz. A matrisini o zaman B matrisinY vurmaq olar ki; A-nэn sьtunlarэnэn sayэ B-nэn sYtirlYrinin sayэna bYrabYr olsun. Xьsusi halda,

a11 a12 · b11 b12 = ( a11 b12 + a12b21 ) ( a11b12 + a12b22 )

a21 a22 b21 b22 ( a21b11 + a22b21 ) ( a21b12 + a22b22 )

DemYli, AB vY BA hasillYrinin ikisinin dY eyni zamanda tYyin olunmasэ ьзьn A-nэn sьtunlarэnэn sayэ B-nэn sYtirlYrinin sayэna vY A-nэn sYtirlYrinin sayэ B-nэn sьtunlarэnэn sayэna bYrabYr olmalэdэr. A vY B matrislYri eynitYrtibli kvadrat matrislYr olduqda AB vY BA hasillYri dY eynitYrtibli kvadrat matrislYr olar.

Xьsusi halda, hYr bir kvadrat A matrisini цzь-цzьnY vurmaq olar. Bu halda hYmin matrisin kvadratэ, kubu vY s. alэnэr:

A·A=A2, A·A·A=A·A2=A3, ...

Bundan baєqa,

a1 a1x1 a2x2 ЎK a1xn

a2 a2x1 a2x2 ЎK a2xn

ЎK · x1, x2, ..., xn = . . . . . .

an anx1 anx2 ЎK anxn ,

a11 a12 ... a1n x1 a11x1 = a12x2 + ... + a1nxn

AX = a21 a22 ... a2n · x2 = a21x1 = a22x2 + ... + a2nxn

. . . . . . . ЎK . . . . . . . . . . . . . .

an1 an2 ... ann xn an1x1 = an2x2 + ... + annxn .

Qeyd edYk ki, eynitYrtibli iki A vY B kvadrat matrislYrinin hasili ьзьn yerdYyiєmY xassYsi doрru olmaya da bilYr. Doрrudan da,

A = 0 1 vY B = 0 1

0 0 0 0


matrislYri ьзьn

AB = 1 0 vY BA = 0 0

0 0 0 1

yYni AB = BA. Buradan aydэn ki, matrislYri vurarkYn onlarэn yerini dayiєmYk olmaz.

Lakin istYnilYn kvadrat A matrisi ilY eynitYrtibli olan I vahid vY O sэfэr matrislYrinin hasili ьзьn hYmiєY yerdYyiєmY xassYsi doрrudur:

IA = AI = A (4)

OA = AO = O (5)

(4) bYrabYrliyi gцstYrir ki, vahid I matrisinin hYqiqi vahid YdYdinin uyрun xassYsinY vardэr. MYsYslYn, ixtiyari A, B, C matrislYri ( lazэm olan цlзьlь ) vY hYqiqi л YdYdi ьзьn

(лA)B = A(лB) = л(AB),

(A+B)C = AC + BC

C(A+B) = CA + CB

A(BC) = (AB) · C

bYrabYrliklYri doрrudur. Eyni zamanda,

(AB)* = B* · A* (6)

2. Determinantэn tYrifi vY Ysas xassYlYri.

єЏvvYlcY ikitYrtibli

µ § (1)

matrisinY baxaq. Bu matrisin elementlYrindYn dьzYldilmYє.

a11 a22 ЁC a12 a21 = µ § (2)

kimi iєarY olunur. (1) matrisinin (2) determinantэnэ (A2) vY ya det A2 ilY iєarY edirlYr.

ЬзtYrtibli

a11 a12 a13

A3 = a21 a22 a23 (3) a31 a32 a33

matrisinin elementlYrindYn dьzYldilmiє.

a11 a22 a33 + a21 a23 a31 +a21 a32 a13 ЁC a13 a22 a31 ЁC a12 a21 a33 ЁC a11 a23 a32 (4)

ifadYsinY hYmin matrisin determinantэ (vY ya ьзtYrtibli determinant) deyilir vY

(A3) = µ § (5)

ilY iєarY olunur. BelYliklY,

µ §

µ §


Bu bYrabYrliyin saр tYrYfindYki (4) ifadYsinY (5) determinantэnэ aзэlэєэ (vY ya qiymYti) deyilir. Verilmiє determinantэn qiymYtini tapmaq ьзьn onun bYrabYr olduqu (4) ifadYsini hesablamaq lazэmdэr.

MatrislYr kimi determinantlar da sYtir vY sьtunlardan ibarYtdir. IkitYrtibli determinantэn iki sYtri vY iki sьtunu, ьзtYrtibli determinantэn isY ьз sYtri vY ьз sьtunu vardэr. Determinantэ tYєkil edYn ai j YdYdlYri onun elementlYri adlanэr.

Determinantэn hYr hansэ elementinin olduрu sYtir vY sьtun ьzYrindYn dьz xYtlYr зYkdikdY yerdY qalan elementlYr ( nisbi vYziyyYtlYrini dYiєmYdYn) bir determinant (tYrtibi verilmiє determinantэn tYrtibindYn bir vahid az olan) YmYlY gYtir. Bu determinanta hYmin elementin minoru deyilir. ai j elementinin minorunu Mi j ilY iєarY edirlYr. Mi j ilY iєarY minorunun (-1)i+j vuruрu ilY hasilinY ai j elementinin cYbri tamamlayэcэsэ deyilir vY

Ai j = (-1)i+j Mi j

ilY iєarY olunur.

ЭkitYrtibli (2) determinantэnэn a11 elementinin minoru M11 = a22 cYbri tamamlayэcэsэ isY A11 (-1)1+1M11 = a22; ьзtYrtibli (5) determinantэnэn a13 vY a23 elementlYrinin minoru uyрun olaraq

M13 = µ § vY M23 =µ §

cYbri tamamlayэcэlarэ isY

A13 = (-1)1+3µ § vY A23 = (-1)2+3 µ §

T e o r e m 1. HYr bir hYr hansэ bir sYtir vY ya sьtun elementlYrinin цz cYbri tamamlayэcэlarэ ilY hasillYrinin cYminY bYrabYrdir.

Teorem ьзtYrtibli determinantэ ikitYrtibli determinantlar vasitYsilY, ikitYrtibli determinantэ isY birtYrtibli determinantlar vasitYsilY tYyin etmYyY imkan verir. Bu qayda ilY dцrd, beє vY s. tYrtibli determinantlarэ da ardэcэl olaraq tYyin etmYk olar.

MYsYlYn, dцrdtYrtibli

a11 a12 a13 a14

A4 = a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

matrisinin (A4) determinantэnэ (dцrdtYrtibli determinantэ)

(A4) = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 + a14 A14 (6)

kimi tYyin etmYk olar. Burada A11, A12, A13 vY A14 kYmiyyYtlYri dцrdtYrtibli

(A4) =µ § (7)

determinantэnэn 1-ci sYtir elementlYrinin ьзtYrtibli determinantlar vasitYsilY ifadY olunan uyрun cYbri tamamlayэcэlarэdэr. (7) determinantэnэ baєqa sYtir vY ya sьtun elementlYri ьzrY ayrэlэєlar vasitYsilY dY tYyin etmYk mьmkьndьr.

Bu mьlahizYlYr YsasYn n-tYrtibli determinanta aєaрэdaki kimi tYrif vermYk olar.

T Y r i f. (Г1) ЁC tYrtibli

a11 a12 ... a1n

An = . . . . . .

an1 an2 ... ann

matrisinin

a11 a12 ... a1n

(An) = . . . . . . .

an1 an2 ... an

determinantэ (n-tYrtibli determinant)

µ § k+1a 1k M 1k

vY ya

(An) = µ §



YdYdinY deyilir. Burada M1k ilY An matrisinin 1-ci sYtrini vY k - nцmrYli sьtunu pozmaqla alэnan (1-n) - tYrtibli matrisin determinantэ iєarY olunmuєdur.

Yuxarэda isbat olunan teorem gцstYrir ki, iki vY ьзtYrtibli determinantlara YvvYlcY verdiyimiz tYriflYr bu tYriflY n=2 vY n=3 olduqda ekvivalentdir. HYmin teorem n-tYrtibli determinantlar ьзьn dY doрrudur:

T e o r e m 2. n-tYrtibli (An) determinantэ vY istYnilYn i (1 ЎЬ i ЎЬ n) vY j (1 ЎЬ j ЎЬ n) ьзьn

µ § (8)


vY

µ § k+j a k j M k j (9)

bYrabYrliklYri deyilir.

(8) bYrabYrliyinY (An) determinantэnэn i ЁC nцmrYli sYtir elementlYri ьzrY ayrэlэєэ, (9) bYrabYrliyinY isY onun j ЁC nцmrYli sьtun elementlYri ьzrY ayrэlэєэ deyilir.

Misal 1. Vahid matrisin determinantY vahidY bYrabYrdir.

Doрrudan da,

Э2 = µ § olduqda (Э2) = µ § = 1,

Э3 = µ § olduqda (Э3) = µ § = 1,

Эn= 0 1 ... 0

. . . . . .

0 0 ... 1

olduqda (Эn) = (Эn-1) = (Эn-2) = ... = (Э2) = 1.

єDeterminantэn tYrtibi artdэqca onun elementlYrinin vY hYdlYrinin sayэ artэr.

Determinantlarэnэn hesablanmasэnэ asanlaєdэran bir sэra xassYlYr vardэr. IstYnilYn tYrtibli determinantlara aid olan bu xassYlYri biz ancaq ьзtYrtibli determinantlar ьзьn burada sцylYmYklY kifayYtlYnirik.

X a s s Y 1. Determinantэn bьtьn sYtirlYri ilY sьtunlarэnэn uyрun olaraq yerini dYyiєdikdY onun qiymYti dYyiєmYz:

a11 a12 a13 a11 a12 a13

= a21 a22 a23 = a21 a22 a23 (3)

a31 a32 a33 a31 a32 a33

Bu bYrabYrliyin doрruluрunu isbat etmYk ьзьn sol tYrYfdYki determinantэ ilY, saр tYrYfdYki determinantэ isY * ilY iєarY edYk. determinantэnэn birinci sYtir elementlYri ьzrY ayrэlэєэnэ vY * determinantэnэn birinci sьtun elementlYri ьzrY ayrэєэnэ yazaq:

= a11A11 + a12A12 + a13A13 ,

*= a11A11* + a12A12* + a13A13*.

A11 = A11*, A12 = A12* vY A13 = A13* olduqda = * .

Determinantэn bьtьn sYtirlYri ilY sьtunlarэnэn uyрun olaraq yerini dYyiєmYsinY onun зevrilmYsi vY ya transponirY edilmYsi deyilir. Isbat etdiyimiz xassY gцstYrir ki, determinantэn зevrilmYsi zamanэ onun qiymYti dYyiєmir, yYni A matrisi ilY onun A* зevrilmYsinin determinantlarэ hYmiєY bYrabYrdir:

(A) = (A*) (2)

N Y t i c Y. HYr bir determinantэn sYtirlYri ilY sьtunlarэ eyni hьquqludur. Buna gцrY dY determinantэn bundan sonraki xassYlYrini ancaq sYtirlYri vY ya ancaq sьtunlarэ ьзьn sцylYmYk kifayYtdir.

X a s s Y 2. Determinantэn iki sYtrinin (vY ya sьtununun) bir-biri ilY yerini dYyiєdikdY determinantэn ancaq iєsarYsi dYyiєYr:

a11 a12 a13 a11 a12 a13

a21 a22 a23 = - a21 a22 a23

a31 a32 a33 a31 a32 a33 .

Doрrudan da, sol tYrYfdYki determinantэn birinci sYtir elementlYri ьzrY ayrэlэєэnэ:

= a11A11 + a12A12 + a13A13

vY saр tYrYfdYki determinantэn ikinci sYtir elementlYri ьzrY ayrэlэєэnэ:

Њ= a11A11Њ + a12A12Њ + a13A13Њ

yazэb, A11 = - A11Њ, A12 = - A12Њ, A13 = - A13Њ olduрunu nYzYrY alsaq, onda (3) bYrabYrliyinin doрruluрu aydэn olar.

X a s s Y 3. Iki sYtri eyni olan determinant sэfra bYrabYrdir:

a11 a12 a13

= a21 a22 a23 = 0.

a31 a32 a33

Doрrudan da, determinantэnda birinci vY ikinci sYtirlYrin bir-biri ilY yerini dYyiєsYk, onda =-. Buradan 2=0, =0

X a s s Y 4. Determinantэn hYr hansэ bir sYtir elementlYrinin ortaq vuruрu olarsa, onda hYmin vuruрu determinantэn xaricinY зэxarmaq olar.

a11 a12 a13 a11 a12 a13

л a21 a22 a23 = л a21 a22 a23 (4)

a31 a32 a33 a31 a32 a33

Bu bYrabYrliyinin sol tYrYfindYki determinantэ 1=лa21A21+лa22A22+лa23A23=л(a21A21+a22A22+a23A23) = л.

N Y t i c Y 1. Determinantэn hYr hansэ bir sYtrinin bьtьn elementlYri sэfэr olduqda determinant sэfra bYrabYr olar.

NYticYnin doрruluрuna inanmaq ьзьn (4) bYrabYrliyindY л=0 gцtьrmYk kifayYtdir.

N Y t i c Y 2. Determinantэ bir YdYdY vurmaq ьзьn determinantэn hYr hasnэ bir sYtrini hYmin YdYdY vurmaq kifayYtdir.

Bu nYticYnin doрruluрuna inanmaq ьзьn (4) bYrabYrliyini saрdan sola oxumaq kifayYtdir.

X a s s Y 5. Determinantэn hYr hansэ bir sYtrinin bьtьn elementlYri iki YdYdin cYmi kimi verildikdY, hYmin determinant iki determinantэn cYminY bYrabYr olar, bu determinantlarэn birindY hYmin sYtir elementlYri olaraq birinci toplananlar, o birindY isY hYmin sYtir elementlYri olaraq ikinci toplananlar gцtьrьlьr.

a11+aЊ11 a12+aЊ12 a13+aЊ13 a11 a12 a13 aЊ11 aЊ12 aЊ13

a21 a22 a23 = a21 a22 a23 + a21 a22 a23 (5)

a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32 a33

Doрrudan da, bYrabYrliyin sol tYrYfindYki determinantэ 1, saр tYrYfdYki determinantlarэ isY uyрun olaraq vY Њ ilY iєarY edYrYk, 1 determinantэnэ birinci sYtir elementlYri ьzrY ayэrsaq:

1= (a11+aЊ11)A11+ (a12+aЊ12) A12+ (a13+aЊ13) A13=

=( a11A11 + a12A12 + a13A13)+(aЊ11A11 + aЊ12A12 + aЊ13A13)=+Њ

vY ya tYlYb olunan

1=+Њ

bYrabYrliyini alэrэq.



X a s s Y 6. Determinantэn hYr hansэ sYtrinin bьtьn elementlYrini bir YdYdY vurub onun baєqa bir sYtrinin uyрun elementlYri ьzYrinY YlavY etsYk, determinant dYyiєmYz:

a11 a12 a13 a11+лa21 a12+лa22 a13+лa23 a21 a22 a23 = a21 a22 a23 (6)

a31 a32 a33 a31 a32 a33

Bu tYklifin doрruluрu 3, 4 vY 5 xassYlYrdYn aydэndэr.

3. TYrs matris anlayэєэ.

Tutaq ki, A hYr hansэ tYrtibli kvadrat matris vY I hYmin tYrtibli vahid matrisidir. Bu halda

A-1-A=AA-1=I (1)

bYrabYrliyini цdYyYn A-1 matrisinin A matrisinin tYrsi deyilir. (1) bYrabYrliyi gцstYrir ki, A-1 matrisi A matrisinin tYrsidirsY, onda A matrisi dY A-1 matrisinin tYrsidir:

(A-1) -1=A (2)

yYni A vY A-1 matrislYri qarєэlэqlэ tYrs matrislYrdir.

A matrisinin tYrsi varsa, bu ancaq yeganY ola bilYr. Doрrudan da, A matrisinin A-11 vY A-12 kimi iki tYrs matris olarsa, onda

A(A-11 - A-12)=I - I=0.

Bu bYrabYrliyin hYr iki tYrYfini soldan A-11 matrisinY vursaq:

A-11 A(A-11 - A-12)=I(A-11 - A-12)= A-11 - A-12=0

vY yaxud

A-11 = A-12

A matrisinin determinantэ (A) olsun. (I)=1 olduрundan (1) bYrabYrliyinY YsasYn

(AA-1)= (A)· (A-1)=1

vY yaxud

(A)· (A-1)=1, (A-1) = µ § (3)

mьnasibYti doрrudur. Buradan aydэndэr ki, verilmiє A matrisinin A-1 tYrsi olmasэ ьзьn (A)0 olmalэdэr. Bu tYklifin tYrsi dY doрrudur. DemYli, verilmiє A matrisinin tYrs A-1 matrisi olmasэ ьзьn onun (A) determinantэnэn sэfэrdan fYrgli olmasэ zYruri vY kafi єYrtdir.

Determinantэ sэfra bYrabYr, yYni (A)0 olan kvadrat A matrisinY cэrlaєmэє (vY ya mYxsusi) matris deyilir. Determinantэ sэfra bYrabYr olmayan kvadrat A matrisinY isY cэrlaєmamэє (vY ya qeyri-mYxsusi) matris deyilir. DediklYrimizdYn aydэndэr ki, cэrlaєmamэє matrisin tYrsi vardэr.

Verilmiє matrisin tYrsini nece tapmaq olar?

Tutaq ki, ikitYrtibli cэrlaєmamэє

A2 = a11 a12

a21 a22


matrisi verilmiєdir. Bu matrisin tYrsi:

A-12 = µ § vY ya A-12=µ §

Bunun doрruluрuna inanmaq ьзьn A2 A-12=I olduрunu yoxlamaq kifayYtdir.

Indi ьзtYrtibli cэrlaєmamэє ((A3)0)

a11 a12 a13

A3 = a21 a22 a23 (4)

a31 a32 a33

matrisini gцtьrYk. Bu matrisin tYrsi:

A-13 = µ § µ § (5)

Doрrudan da, burada Ai k ilY ai k elementinin cYbri tamamlayэcэsэ iєarY olunduрunu vY determinantlarэn xassYssini nYzYrY alsaq:

A-13 A3 = µ § µ §

vY yaxud tYlYb olunan

A-13 A3 = µ § = I3

bYrabYrliyini alэrэq.

ЬзtYrtibli (4) kvadrat matrisinin (5) tYrsinin qurulma sxemi зox sadYdir: (4) matrisinin ai k elementi onun uyрun Ai k cYbri tamamlayэcэsэnэn µ § YdYdinY nisbYti ilY YvYz olunur. Alэnan matrisin зevrilmYsi (baє diaqonala nYzYrYn зevrilmYsi) (5) matrisinY bYrabYrdir. hYmin qayda ilY n-tYrtibli cэrlaєmayan kvadrat

a11 a12 ... a1n

A = a21 a22 ... a2n (A)0)

. . . . . . . .

an1 an2 ... ann

matrisinin

A11 A21 ... An1

A-1= µ § A12 A22 ... An2

. . . . . . . . .

A1n A2n ... Ann

tYrs matrisini qurmaq olar.

Misal 2.

A = µ § , (A) = - 15

matrisinin tYrs matrisi:

A-1 =µ § µ § .

4. Matrisin ranqэ.

Tutaq ki, (m · n) ЁC цlзьlь

a11 a12 ... a1n

A = a21 a22 ... a2n

. . . . . . . .

am1 am2 ... am n

matrisi verilmiєdir. Bu matrisin ixtiyari k sayda sYtrinin ixtiyari k sayda sьtunu ilY kYsiєdiyi elementlYr k-tYrtibli bir kvadrat matris tYєkil edir. Bu k-tYrtibli matrisin determinantэna A martisinin k-tYrtibli minoru deyilir. Burada k YdYdi m vY n YdYdlYrinin kiзiyindYn bцyьk ola bilmYz.

A matrisinin heз olmasa bir elementi sэfэrdan, fYrqlidirsY, onda onun sэfэrdan fYrqli minorlarэ iзYrisindY elY birisi vardэr ki, onun tYrtibi Yn bцyьkdьr. A matrisinin sэfэrdan fYrqli minorlarэ tYrtiblYrinin Yn bцyьyьnY hYmin matrisin ranqэ deyilir.

A matrisinin ranqэnэ r(A) ilY iєarY etsYk, onun ьзьn

0µ § (1)

bYrabYrsizliyi doрru olar.

Aydэndэr ki, A matrisinin ranqэ r olarsa, onda onun sэfэrdan fYrgli r-tYrtibli minoru vardэr vY tYrtibi r-dYn bцyьk olan bьtьn minorlarэ sэfra bYrabYrdir.

Ranqэ r olan A matrisinin sэfэrdan fYrgli olan r-tYrtibli minoruna onun bazis minoru deyilir. A matrisinin sэfэrdan fYrgli bir neзY r-tYrtibli minoru ola bilYr. Bu halda, hYmin minorlarэn hYr biri hYmin matrisin bazis minoru olur.

A matrisinin kYsiєmYlYrindY bazis minorun elementlYri yerlYєYn sYtir vY sьtunlarэna bazis sYtirlYri vY bazis sьtunlarэ deyilir. Bazis minoru, bazis sYtir vY sьtunlarэ haqqэnda aєaрэdakэ kimi tYklif vardэr:

T e o r e m ( bazis minoru haqqэnda teorem). Bazis sYtirlYri (sьtunlarэ) xYtti asэlэ deyildir. A matrisinin istYnilYn sYtri (sьtunu) onun bazis sYtirlYrinin (sьtunlarэnэn) xYtti kombinasiyasэdэr.

Bu teoremdYn istifadY edYrYk gцstYrmYk olar ki, A matrisinin xYtti asэlэ olmayan sYtirlYrinin sayэ (YlbYttY, maksimal sayэ) onun ranqэna bYrabYrdir.

Misal 1.

A = µ §

matrisinin determinantэ (A) = - 15 0 olduрundan onun ranqэ:



r (A) = 3.

Misal 2.

1 2 1 4

A = 0 1 -1 3



2 5 1 11

matrisinin bьtьn ьзtYrtibli minorlarэ sэfra bYrabYrdir:

µ § = µ § = µ § = ... = 0

Lakin onun ikitYrtibli

= µ § = 1 0I

minoru sэfэrdan fYrglidir. DemYli, matrisin ranqэ: r (A) = 2.

Mцvzu 2

XYtti tYnliklYr sisteminin Kramer ьsulu ilY hYlli.



1. ЭkimYchullu iki xYtti tYnliklYr sistemi.

2. Kramer ьsulunun mahiyYti.

3. ЬзmYchullu ьз xYtti tYnliklYr sistemi.

1. ЭkimYchullu iki xYtti tYnliklYr sistemi.

є Tutaq ki, ikimYchullu iki xYtti tYnlik sistemi verilmiєdir:

a11x + a12y = b1, (1)

a21x + a22y = b2.

TYnliklYrin saр tYrYfi olan b1 vY b2 YdYdlYrinin ikisi dY sэfra bYrabYr, yYni b1=b2=0 olarsa, onda hYmin sistemY bircinsli xYtti tYnliklYr sistemi deyilir. b1 vY b2 YdYdlYrinin heз olmasa biri sэfэrdan fYrgli olduqda (1) sisteminY bircinsli olmayan xYtti tYnliklYr sistemi deyilir. SistemY daxil olan tYnliklYrin hYr birini цdYyYn x=xo, y=yo qiymYtlYr зoxluрuna hYmin sistemin hYlli deyilir.

Verilmiє sistemin hYlli ola da bilYr, olmaya da bilYr; sistemin hYlli varsa, ona uyuєan vY ya birgY sistem, Yks halda isY uyuєmayan vY ya birgY olmayan sistem deyilir. TYnliklYr sistemi uyuєan olduqda onun bir vY ya birdYn зox hYlli ola bilYr.


Yüklə 1,68 Mb.

Dostları ilə paylaş:
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə