Kaos ve Matematik



Yüklə 116,32 Kb.

tarix06.02.2018
ölçüsü116,32 Kb.


Timur Karaçay, Determinizm ve Kaos

Mantık, Matematik ve Felsefe II.Ulusal Sempozyumu



Tema: Kaos

Assos, 21-24 Eylül 2004

Determinizm ve Kaos

Timur Karaçay

Başkent Üniversitesi, Ankara

tkaracay@baskent.edu.tr



Özet

Adına  Kaos   Kuramı  denilebilecek   bir   kuram   oluştu   mu?   Bu   soruya  “evet”  yanıtını   vermek   için 

zamanın henüz erken olduğunu söylemek yanlış olmayabilir. Çünkü, kaosu açıklayan matematiksel 

model(ler) henüz ortada yoktur. Ama, böyle bir kuramın doğuşu için yeterli nedenlerin ve çabaların 

ortaya   konduğu   gerçeği   gözardı   edilemez.   Bu   konuşmada,   matematikçi   gözüyle   determinizmin   ve 

kaosun ne olduğu açıklanacaktır.



Giriş 

İnsanoğlunu tarih boyunca çok uğraştıran doğa olayları vardır.  Hareket  ve  zaman 

bunların başında gelir. Mekaniğin amacı evreni açıklamaktır. Evreni açıklamak demek 

bir yandan uzak gök cisimlerinin (güneş sistemleri, galaksiler) hareketini, öte yandan 

atom altı parçacıkların hareketini, beri yandan yanıbaşımızdaki cisimlerin hareketini 

açıklamak demektir. Hareket’ten söz edince, işin içine ister istemez zaman kavramı da 

girecektir. Ne yazık ki, evrendeki bütün hareketleri açıklayabilen bir (tek)  mekanik 

kuram olmadığı gibi, herkesin kabul edebileceği bir zaman kavramı da yoktur. Yakın 

çevremizdeki hareketleri  Newton Mekaniği  ile, atom altı parçacıkların hareketlerini 



Kuantum   Mekaniği  ile   galaksilerin   hareketini   de  Görelilik   (relativite)   Kuramı  ile 

açıklamaya çalışıyoruz. Bütün bunları açıklayan bir (tek) mekanik kuramın ortaya 

konması, her iyi fizikçinin hayallerini süsleyegelmiştir. 

Bu   gün  kaos  diye   nitelenen   fenomenler   hareket   kavramıyla   doğrudan   ilişkilidir. 

17.yüzyıldan sonra gelişen modern bilim, hareketi açıklama yönünde çok yol almıştır. 

Ama doğanın bütün gizlerini açıklamaktan çok uzaktayız. Biraz geriye bakarak bu 

yolda yürünen büyük mesafeyi görmek, bundan sonra yürünecek yol için umut ve 

cesaret verecektir.

MÖ 300 yıllarında 

Aristoteles (MÖ 384-322), bir çok alanda yaptığı gibi, hareket 

için de gözlemlerine dayalı kurallar koymuştur. Konumuzla ilgili olan ikisi şunlardır.  



1.

Cisimler ağırlıklarıyla orantılı bir ivmeyle yere düşerler.

2.

Bir cismin hareket etmesi için ona sürekli bir kuvvet etki etmelidir. 

Aristoteles’in   (yanlış)   mekanik   kuralları,   bu   gün   bile   fizik   bilmeyen   her   insanın 

sezgiyle   ulaştığı   sonuçlardır.   El   arabasıyla   inşaata   malzeme   taşıyan   işçinin   ya   da 

sabanına   koşulu   öküzlerle   tarlasını   süren   çiftçinin   hareketi   başka   türlü   algılaması 

zordur. Aristoteles’in kuralları, günlük yaşama ve algılamalarımıza o kadar uygundur 

ki,   sokaktaki   insan   1800   yıl   boyunca   ondan   şüphe   bile   etmemiştir.   Ama   bilim 

adamlarının işi şüpheyle, sorgulamayla ve gözlemle başlar. Eğer bir cismin hareketi 

için   ona   sürekli   kuvvet   uygulamak   gerekiyorsa,   gök   cisimlerini   kim   itiyor   veya 

çekiyor? Dalından düşen elmayı yere iten veya çeken şey nedir? MS 150 yıllarında 

Claudius Ptolemy (MS 90-168)’nin gök cisimlerinin hareketi için koyduğu kurallar 

katolik   kilisesinin  resmi  görüşüyle   uyuşunca   16.yüzyıla  kadar  yerküremiz  evrenin 

merkezi  (geocentric universe)  olma onurunu taşımıştır. Günün birinde  Nicolaus 

Copernicus (1473-1543)  adlı Polonyalı ortaya çıktı ve çıplak gözle yaptığı uzun 

1



Timur Karaçay, Determinizm ve Kaos

gözlemlerden sonra gerçekle yüzyüze gelmemizi sağladı. O andan sonra, yerküremiz 

taşımakta olduğu payeyi güneşe kaptırdı. Artık, evrenin merkezi dünya değil, güneştir 

(

heliocentric  Universe).  Bu   devrimci   düşünce  Johann   Kepler   (1571-1630) 



tarafından geometrik modeline oturtulmuştur:

1.

Bir gezegenin yörüngesi, bir odağında güneşin yer aldığı bir elipstir.

2.

Gezegeni güneşe birleştiren doğru eşit zamanlarda eşit alanlar süpürür.

3.

Gezegenin   periyodunun   karesi   güneşe   olan   ortalama   uzaklığının   küpü   ile 

orantılıdır. (Dünya için T

2

 = R



.) 

Kepler’in,   bu   gün   bile   geçerliğini   koruyan   mükemmel   geometrik   modeli,   güneş 

sistemi içindeki gezegenlerin hareketlerini kusursuz açıklıyordu ama evrendeki bütün 

hareketleri ve en önemlisi hareketlerin nedenini açıklamaya yetmiyordu. Dolayısıyla 

bilim adamlarının hareketle ilgili daha pek çok soruyu kendi kendilerine sormaları 

gerekiyordu. Galileo Galilei (1564-1642) bu soruyu kendi kendisine soruyor ve bir 

yandan teleskopla gök cisimlerini gözleyip Copernicusu’un güneş merkezli teorisini 

doğrularken,   öte   yandan   yerçekimi   ile   ilgili   deneyleri   Aristoteles’in   2000   yıllık 

imparatorluğunu derinden sarsıyordu: 

Bütün cisimler aynı ivmeyle yere düşerler. 

Bu kural, ağır cisimlerin de hafif cisimlerle aynı ivmeyle yere düştüğünü söylüyor ve 

Aristoteles’in yukarıda anılan ilk yasasını çürütüyordu. Tarih göstermiştir ki, büyük 

imparatorluklar   derinden   sarsılınca   yıkılmaları   kaçınılmazdır.   Galilei’nin   sarstığı 

Aristoteles’in imparatorluğuna 

Isaac Newton (1642-1727) son darbeyi indirecektir. 



Newton  Hareket   Yasaları  denen  aşağıdaki  kurallar,  Aristoteles’in  imparatorluğunu 

yıkmakla kalmadı, 400 yıl boyunca fiziksel bilimlerin temeli oldu ve yaşadığımız 

çağın teknolojisini yarattı: 

1.

Hareketli bir cisim dışarıdan bir kuvvetle etkilenmezse düzgün doğrusal hareketini 



ilelebet sürdürür.

2. Kütlesi m olan bir cisme uygulanan F kuvveti ile a ivmesi arasında F=ma bağıntısı 

vardır. 

3.

Her etkiye karşı ona eşit bir tepki vardır. 

Bilgi üretiminde asla tahmin edilemeyecek ilişkiler ortaya çıkar. Kepler gezegenlerin 

hareketlerini açıklayan geometrik modeli yaratmak için Pergeli Apollonius (MÖ 262-



190)’un   1800   yıl   önce   yazdığı  Konikler  adlı   yapıtına   dayanıyordu.   Herhalde, 

Apollonius, tutkulu bir sanatçı gibi koniklerin gizlerini bulup ortaya dökerken, 18 

yüzyıl   yıl   sonra   büyük   bir   uygarlığa   çığır   açacağını   aklına   bile   getirmiyordu. 

Apollonius olmasa Kepler olmazdı, Kepler olmasa Newton olmazdı. 

Newton, Kepler’in mükemmel geometrik modelinin ve Galilei’nin yerçekimi ile ilgili 

şaşırtıcı   gözleminin   gerisinde   yatan   gizemi   aramaya   başladı.   Gezegenler   neden 

Kepler’in modeliyle hareket ederler? Ağır ve hafif cisimler neden aynı ivmeyle yere 

düşerler?   Bu   soruların   yanıtlarını   veren   matematiksel   bir   formül   varolmalıydı. 

Sonunda   aradığını   buldu.   Newton’un   hareket   yasaları,   biraz   sonra   ele   alacağımız 

determinizm  kavramının   temelidir.   Newton’dan   sonra   20.yüzyıl   başlayana   dek, 

hareketle ilgili her şeyin Newton’un hareket yasalarından çıktığına inanılacaktır. 



Dinamik Sistemler  

Basit   hareketleri   temsil   eden   diferensiyel   denklemler   ya   da   denklem   sistemleri 

genellikle   doğrusal   (linear)   dır.   Bunların   genel   çözümü,   analitik   fonksiyonlardan 

2



Timur Karaçay, Determinizm ve Kaos

oluşan   bir   uzaydır.   Bu   uzaya   sistemin  çözüm   uzayı  diyoruz.   Analitik   çözümün 

bulunması demek, ele alınan fiziksel sistemin tamamen bilinmesi demektir. Bunun 

nasıl olduğunu biraz sonra açıklayacağız.

Öte   yandan,   fiziksel   sistem   karmaşıklaştıkça,   onu   temsil   eden   diferensiyel 

denklemlerdeki değişkenlerin sayıları (boyut) artar; yani sistem çok değişkenli olur. 

Ayrıca   denklemdeki   terimlerin   dereceleri   yükselir;   yani   sistem   nonlinear   olur. 

Genellikle, bu tip denklemlerin analitik bir çözüm uzayı yoktur. Bu olgu, kaos diye 

adlandırılan   fenomenleri   alışılmış   matematik   diliyle   açıklayamayışımızın   asıl 

nedenidir. 

Analitik çözümü bulunamayan fiziksel sistemlerin hareketlerini inceleyebilmek için, 

analitik çözümlerde kullandığımız araçların genelleştirilmesi ilk akla gelmesi gereken 

iştir. Çözüm uzayı yerine evre uzayını koymak bu işlerden birisidir.  

Fiziksel   sistemler   için  evre,   evre   uzayı  ve  dinamik   sistem  kavramları,   ele   alınan 

sisteme bağlı olarak farklı tanımlanabilir. Burada daha karmaşık sistemlere kolayca 

genelleşebilen basit matematiksel tanımlar vereceğiz.



Evre  (phase, state):  Birinci basamaktan  n  tane denklemden oluşan bir diferensiyel 

denklem   sistemi   için  evre,  sistemin   anlık   durumunu   belirlemeye   yeten   serbestlik 

sayılarıdır. Bu sayılar 

öğelerine   karşılık   gelir   ve  2n  tanedirler.   Dolayısıyla   bunları  2n-boyutlu   uzayda 

vektörler olarak düşünebiliriz.

Evre uzayı  (phase space, state space): Yukarıda anılan denklem sistemi için,  2n

boyutlu uzayda bütün mümkün evrelerin oluşturduğu uzaydır. Bu kümenin öğeleri 2n-

boyutlu vektörlerdir. 

Dinamik Bağıntı (dynamical rule): Sistemin bir evreden bir sonraki evreye geçişini 

sağlayan   bağıntıdır.   Bu   bağıntı   sistemi   hareket   ettiren   kuraldır   ve   diferensiyel 

denklem(ler)le temsil edilir. 

Dinamik Sistem:  Bir evre uzayı ile bir dinamik bağıntıdan oluşan matematiksel bir 

yapıdır. Örneğin, y’ = 2x , y(0) = 1 ikilisi bir dinamik sistemdir.

Doğrusal olmayan daha karmaşık sistemler için de benzer tanımlar yapılır. Bir doğa 

olayını temsil eden dinamik sistemdeki denklemler, çözümü bulunamayacak kadar 

karmaşık olduğunda, evreler ancak gözlem ve ölçümlerle belirlenebilir. 

Başlangıç Koşulları

MS   1500   lü   yıllarda   bir   doğa   olayını   (kuralını)   açıklamanın   tek   yolunun   onu 

belirleyecek ölçümlerin yapılmasıyla mümkün olabileceği görüşü ortaya çıktı. Bunun 

anlamı açıktı: Evrenin kuralları sözel ifadeler yerine rakamlarla açıklanmalıydı. Bu 

görüş   17.yüzyıldan   sonra   gelişmeye   başlayan   modern   bilimin   temeli   olmuştur. 

Maddenin ve doğa olaylarının açıklanması için fiziksel bilimler matematiği asıl araç 

olarak kullanmıştır. Örneğin, Newton yasaları sözel olarak ifade edilseler bile, bir 

fiziksel sistemin durumunu açıklamak için onun konumunun, hızının,   yönünün ve 

ona etkiyen kuvvetlerin bilinmesi gerekir. Bu bilgiler sayısaldır ve onun  başlangıç 

koşulları’dır. 

Başlangıç koşulları deyimi, biraz daha derin anlama sahiptir. O nedenle açıklanmasına 

gerek   vardır.   Bir   dinamik   sistemin   bir   andaki   konumunu,   hızını,   yönünü   ve   ona 

3



Timur Karaçay, Determinizm ve Kaos

etkiyen kuvvetleri biliyor iken, onun daha sonraki ya da daha önceki bir zamandaki 

durumunu da bilmek istiyoruz. Doğrusal bir diferensiyel denklemin ya da denklem 

sisteminin   çözümü   analitik   fonksiyonlardan   oluşan   bir   uzaydır,   demiştik.   Çözüm 

uzayından istenen bir fonksiyonu seçmek için onu belirleyen değerleri kullanırız. Bu 

değerlere  başlangıç   koşulları  ya   da  sınır   koşulları  diyoruz.   Analitik   çözüm 

varolduğunda, iyi tanımlı sınır koşulları çözüm uzayından bir tek fonksiyon seçer. 

Eğer   denklem   sistemimiz   bir   hareketi   temsil   ediyorsa,   seçtiğimiz   fonksiyon   o 

hareketin yörüngesidir. Farklı başlangıç noktaları farklı fonksiyonlar seçer; yani farklı 

başlangıç noktaları hareketler için farklı yörüngeler belirler. Bu olgunun, biraz sonra 

ele alacağımız kelebek etkisi’ yle yakın ilişkisi vardır.  

Analitik   çözüm   uzayı   varolmadığında,   başlangıç   koşullarıyla   belli   bir   fonksiyon 

(yörünge)   seçemediğimiz   gibi,   başlangıç   koşulunu   kesinlikle   belirleyemeyişimiz 

etkisini göstermeye başlar.   

Analitik   çözüm   uzayı   olmayışının   üstesinden   gelmek   için,  evre  ve  evre   uzayı 

kavramlarını kullanırız. Evre uzayı, yukarıda da belirttiğimiz gibi, çözüm uzayının 

rolünü   üstlenecektir.  Ama   analitik   çözüm   uzayındaki   deterministik   sonuçlara 

ulaşamayız.     Neden   böyle   olduğunu   açıklayabilmek   için   bir   kaç   kavrama   daha 

gereksememiz var. Önce onları ele alalım.

Determinizm 

Biraz   felsefi   açıdan   tanımlarsak,   Klasik   Mekaniğin   (Newton   Mekaniği)   özü 

determinizmdir.    Determinizm,  “bir   fiziksel   sistemin   şimdiki   durumu,   önceki 

durumunun   sonucudur”  der.  Dolayısıyla   her  olay   ve  hareketi   önceden  belirlemek 

mümkündür. Bu görüşü, antik çağın maddeci düşünürlerine kadar geriye götürebiliriz. 

Hiç değilse, MS 1500 yıllarında ortaya çıkan nedensellik (sebep-sonuç) düşüncesinin 

ağırlık   kazanmasından   sonra  Isaac   Newton   (1642–1727)  ’un   ortaya   koyduğu 

hareketin üç temel yasası modern bilimi bütünüyle determinizme dayalı kılmıştır. Bu 

yasalar, determinizmi yalnız ileriye değil, geriye doğru da çalışan sağlam bir araç 

olarak   görür.   Gerçekten,   Newton’un   hareket   yasalarına   göre,   şu   andaki   olay   ve 

hareket önceki olay ve hareketten çıktığı gibi, bundan sonra olacak olay veya hareket 

de şu andaki olay veya hareketin sonucu olacaktır. Klasik fizikçi açısından, Halley 

kuyruklu   yıldızının   2061   yılında   yeniden   dünyayı   ziyaret   edeceğini   kesinlikle 

öngörebilmek   ya   da   gelecek   güneş   tutulmasının   ne   zaman   olacağını   ve   dünyanın 

neresinden   en   iyi   görüneceğini   şimdiden   şaşmaz   biçimde   hesaplayabilmek, 

determinizmin   yadsınamaz   zaferidir.   Modern   bilimin   dayanağı   olan   ve   400   yıldır 

etkisini   sürdüren   bu   görüş,   bugün   içinde   bulunduğumuz   bilimi,   teknolojiyi   ve 

uygarlığı yaratmıştır. 

Determinizmin matematiksel dili çok açıktır. Başlangıç koşullarını bilince, ona uyan 

biricik analitik çözümü, çözüm uzayından seçebiliriz, demiştik. Bu çözüme f diyelim. 

Herhangi   bir  t  anında   sistemin   durumunu   biliyor   isek,  f    fonksiyonunu   biliyoruz 

demektir.   Artık   her  a  için  f(t+a)  ve  f(t-a)  değerlerini   hesaplamak   mümkündür. 

Matematiksel açıdan bakınca çözüm fonksiyonunun grafiği üstünde gerçekleşen bu 

olgu, fiziksel açıdan bakınca söz konusu dinamik sistemin kendi yörüngesi üzerinde 

belli bir yerden ileriye ya da geriye doğru hareket ettirilebilmesi demektir. 

Öyleyse,   determinizmin   uygulanabilmesi   için,   sistemin   analitik   çözümüne   ve   iyi 

belirlenmiş başlangıç koşullarına gerekseme vardır.  Çok kolaymış gibi görünen bu iş, 

gerçekte   pek   çok   sistem   için   imkansızdır.   Bu   imkansızlık  kaos  diye   anılan 

fenomenleri yaratır. 

4



Timur Karaçay, Determinizm ve Kaos

Tanrı Zar Atar mı?

Newton fiziği dorukta iken, 20.yüzyıl içinde onun eksiğini tamamlamak için yapılan 

çalışmalarda   iki   yeni   teori   ortaya   çıktı:  Kuantum   Mekaniği  ve  Görelilik   Kuramı. 

Görelilik Kuramı, bu yazının kapsamı dışındadır. Kaos’un olasılığa dayalı yanıyla 

yakın ilişkisi nedeniyle, Kuantum Mekaniğine bir kaç tümce ayırmakta yarar vardır 

Atomun yapısını açıklamak için, atom altı parçacıkların hareketlerinin belirlenmesi 

gerekiyordu.   Bu   parçacıklara   determinizm   ilkesini   uygulayabilmek   için   belli   bir 

andaki konumlarının, hızlarının ve yönlerinin bilinmesi gerekiyordu. Ama aynı anda 

konumlarını  ve   hızlarını  ölçebilme   olanağı   yoktu;  hız  bilinirse  konum   bilinmiyor, 

konum   bilinirse   hız   bilinmiyordu.   Buna   çare   olarak   “olasılık”   kuramı   kullanıldı. 

Parçacıkların hızları ya da konumları belli olasılıklarla belirlendi. Dönemin en renkli 

kişilerinden   Albert   Einstein   bu   görüşe   karşı   durup  “Tanrının   zar   attığına 



inanamam!”  diyecektir. Ama, olayın çok inandırıcı yanı vardır. Yapılan tahmin bir 

parçacık   için   değil,   milyonlarcası   içindir.   Bir   para   atıp  tura  geleceğini   tahmin 

ederseniz, ya yüzde yüz tutturur ya da yüzde yüz yanılmış olursunuz. Ama  1.000.000 

milyon para atıp 500.000 tanesinin  tura  geleceğini söylerseniz yanılma payınız çok 

azalır. Olasılığın kullanılışı, determinizmden bir sapıştır. Ancak, Kuantum Fiziği’nin 

görkemli   doğuşu   bile   determinizmin   önemini   yok   edemedi.   Ama  “Ölçümlemede 



belirsizlik” (

Uncertainty of Measurements)

 olgusunu gündemin başına yerleştirdi. 

Bütün   bunlardan   önce,   hemen   20.yüzyıl   başlarken   Newton   Mekaniğine   duyulan 

güveni   sarsan   görüşlerin   ortaya   çıkışını   anımsamalıyız.   1898   yılında   Fransız 

matematikçi  Jacques Hadamard  başlangıç koşulunda bir hata yapıldığında sistemin 

uzun  dönemde   öngörülemez   olacağını   belirtti.  1906   yılında  Pierre   Duhem  benzer 

yargıya vardı. Ünlü Fransız Matematikçisi ve düşünürü Henri Poincaré 1900 yılında 

güneş sisteminin kararlı olup olmadığının kanıtlanamayacağını gösterdi. 1908 yılında 



Science et Méthode adlı ünlü yapıtında konuyu ayrıntılarıyla işlemiştir (asıl konumuz 

olduğundan buna ileride yeniden değineceğiz).



Ölçümlemede Belirsizlik

Başlangıç   koşulları   dediğimiz   sayıları   nasıl   belirleyeceğiz?   Deneysel   bilimlerde 

bunun tek yolu gözlemleme ve ölçümlemedir. Ama gözlemler, deneyler, ölçümler 

gerçek sayısal değerleri veremez; onları ancak belli bir yaklaşıklıkla, yani belli bir 

hatayla bulabiliriz. Her ölçümlemede kaçınılmaz olan alet ve insan hatalarını bir yana 

koysak bile, kuramsal olarak hiç bir alet her zaman gerçek değerleri veremez. Çünkü 

gerçel sayıların ondalık temsilleri sonsuz haneyi gerektirir. Sonsuz haneli bir ölçüm 

aleti yapılamayacağı gibi, sonsuz haneli sayılarla işlemler de yapılamaz. İrrasyonel 

sayı içeren basit bir toplama işleminde bile, o sayı yerine sonlu haneli yaklaşık bir 

değerini   (rasyonel   sayı)   kullanırız.  Ölçümlemede   Belirsizlik   (



Uncertainty   of 

Measurements) 

dediğimiz   bu   olgu,   bir   fiziksel   sistemin   başlangıç   koşullarının   kesin 

olarak belirlenemeyeceği anlamına gelir.

 

Bu olgunun determinizm ilkesinde yarattığı 



olumsuzluğu saptayan ilk kişi Henri Poincaré (1854-1912)  ‘dir. Şimdi bunun ilginç 

öyküsüne geçebiliriz.   



Kelebek Etkisi 

Newton yasaları iki gök cisminin hareketine mükemmel uyum sağlar, ama ikiden çok 

cisim olduğunda analitik çözüm elde edilemez.  Üç Cisim Problemi  diye anılan bu 

problemin çözümü 20.yüzyıla girerken astronomide popüler bir konu oldu.  Norveç 

Kralı II.Oscar, güneş sisteminin kararlı olup olmadığını ispatlayana ödül vereceğini 

duyurdu. Henri Poincaré 1900 yılında, güneş sisteminin hareketini belirleyen denklem 

5



Timur Karaçay, Determinizm ve Kaos

sisteminin   çözümünün   başlangıç   koşullarına   hassas   bağımlı   olduğunu,   ancak 

başlangıç   koşullarının   asla   doğru   olarak   saptanamayacağını,   dolayısıyla   güneş 

sisteminin  kararlı  olup  olmadığının  belirlenemeyeceğini  gösterdi.  Bu  öngörülemez 

(unpredictable)   durum   için  “kaos”  terimini   kullanan   ilk   kişi   de   odur.   Böylece, 

Poincaré,   istenen problemi çözmeden ödülün sahibi oldu. Ama unutmamak gerekir 

ki, bir problemin çözülemeyeceğini kanıtlamak, bazan problem çözmekten çok daha 

zordur. 


Şimdi  Poincaré’nin   büyük   bulgusunun   matematiksel   açıdan   basit   açıklamasını 

yapabiliriz.   Dinamik   sistemin   analitik   çözümü   varsa,   belli   bir   başlangıç   değeri 

yakınındaki   değerler   için   fonksiyon   (yörünge)   değerleri   de   birbirine   yakındır 

(süreklilik). Determinizm asıl gücünü buradan alır. Bu sistemlerde başlangıç koşulları 

kesinlikle belirlenemese bile, gerçek başlangıç değerlerine yakın değerlerin alınması 

sonuçta önemli farklar yaratmaz. 

Analitik çözüm olmadığı zaman, çözüm yerine yerel noktalarda doğrusal yaklaşımlar 

kullanılır; onlardan sayısal çözümler elde edilir. O sayısal çözümler evreleri oluşturur. 

Evreler başlangıç koşulları olarak alınır. Bu nedenle, evre uzayı çözüm uzayı yerine 

geçer. Doğrusal yaklaşımlar, boyut sayısına göre teğet doğru, teğet düzlem, hiper 

düzlem adlarını alırlar. Çözüm analitik olmadığından, birbirine çok yakın noktalardaki 

teğetler birbirinden çok uzakta olabilir. Başka bir deyişle, analitik çözümlerde ortaya 

çıkan   düzgünlük   (süreklilik)   koşulları   sağlanmadığından,   birbirine   çok   yakın 

başlangıç noktalarında bile birbirlerinden çok uzakta değerler alabilirler. 

Bu kısa açıklamadan sonra, konu ile ilgilenen fizikçilerin kaos terimine yükledikleri 

anlamı ortaya koyabiliriz: Başlangıç koşullarına hassas bağımlılık. Fizikçilerin bunu 

ifade eden güzel bir deyimleri var:  “Çin’de bir kelebek kanat çırparsa Teksas’ta 

kasırga olabilir”.   Bu sözde hiçbir politik ima olmadığını söylemeye gerek yoktur. 

Sadece, söylemek istedikleri şey, balangıç koşullarındaki çok küçük değişim sistemin 

davranışında çok büyük fark yaratabilir.

Hoşgeldin Kaos!

Aya insan indiren, Mars’a uydu gönderen ve bu hareketlerin her saniyesini önceden 

öngören (predict) determinizmin büyük gücünü yanımızda hissetmek hepimize huzur 

veriyor. Ama, bir bilardo topunun masada nereye çarpacağını hesaplayamamak, üç 

gün sonrasının hava durumunu doğru tahmin edememek ya da bir dünya savaşının 

sonuçlarını   öngörememek   gibi   olgular,   kaygı   verici   değilse   bile,   determinizmin 

verdiği huzura gölge düşürecek kadar hayal kırıcıdır. 

Konuşma diline indirirsek, davranışı önceden öngörülemeyen (unpredictable) dinamik 

sistemleri   ya   da   onların   davranışlarını  kaos  olarak   niteliyoruz.   Fizikçilerin   kaos 

terimine yükledikleri bu anlam ile sokaktaki adamın, hele hele politikacıların kaos 

terimine   yükledikleri   anlam   çok   farklıdır.   Fizikçilerin   söylediklerini,   matematik 

diliyle ifade edersek kaosu daha iyi tanımlamış oluruz.

Nonlinear dinamik sistemlerin çoğu için öngörü (prediction) yapmaya engel olan üç 

neden vardır: 

1.

Sistemin analitik çözümü yoktur.



2.

Herhangi bir başlangıç koşulunu kesinlikle belirleyemeyiz (Ölçümlemede Belirsizlik İlkesi).

3.

Başlangıç koşullarında meydana gelen çok küçük değişim(ler) sonuçta çok büyük farklara 



neden olabilir (Başlangıç koşullarına hassas bağımlılık – Kelebek etkisi). 

6



Timur Karaçay, Determinizm ve Kaos

Aslında, bu üç nedeni bir tek nedene, yani birinci nedene indirgeyebiliriz. Çünkü 

sistemin çözümü analitik ise kelebek etkisi ortadan kalkar. Kelebek etkisi ortadan 

kalkınca ölçmede belirsizliğin etkisi yok olur; yani birbirine yakın başlangıç koşulları 

için   birbirine   yakın   fonksiyon   değerleri   çıkar.   Tersine   olarak,   sistemin   analitik 

çözümü yoksa, yukarıda açıkladığımız nedenlerle, son ikisi doğal olarak etkili olmaya 

başlar. 

Garip Çekerler

Poincaré  ‘nin 1900 yılında ortaya koyduğu  kaos  kavramı, meteorolojist  Edward 

Lorenz’in   1963   yılında  meteorolojik   değişimlerin   başlangıç   koşullarına   hassas 

bağımlılığı  diye ifade edilen gözlemlerine kadar kimsenin ilgisini çekmedi. Çünkü 

fizikçiler,   yirminci   yüzyılın   ilk   yarısında   daha   çekici   bir   konuyla;   yani   Kuantum 

Fiziği   ile   ilgilenmeye   başladılar   ve   Poincaré   ’nin   önemli   buluşunu   ihmal   ettiler. 

Lorenz, Poincaré ‘nin 63 yıl önceki bulgusunu ondan habersiz olarak yeniden buldu. 

Ele aldığı dinamik sistem için başlangıç koşullarında oluşacak küçük değişimlerin 

sonuca çok büyük etkiler yaptığını gözlemledi. Böylece, uzun süreli hava tahminleri 

yapmanın olanaksız olduğunu ortaya koydu. 

Lorenz havanın ısı değişimini belirlemek için, birinci basamaktan üç tane diferansiyel 

denklemden oluşan

                  dx/dt = -a*x + a*y

                  dy/dt =  b*x - y -z*x

                  dz/dt = -c*z + x*y

sisteminin   sayısal   çözümü   arıyordu.   Sistem   doğrusal   değildir   (nonlinear)   ve 

akışkanlar dinamiğinde  kullanılan sistemlerin basitleştirilmiş  bir   özel  durumudur. 

Zamanı gösteren t değişkeni Δt≈dt kadar değiştiğinde, Lorenz, analiz derslerine yeni 

başlayan öğrencilerin bile itiraz edebilecekleri şu yaklaşık işlemleri yaptı:

               X= x+Δx ≈ x+dx = x + (-a*x*dt) + (a*y*dt)

               Y= y+Δy ≈ y+dy = y + (b*x*dt)  - (y*dt) - (z*x*dt)

               Z= z+Δz ≈ z+dz = z + (-c*z*dt) + (x*y*dt)

              (Başlangıç değerleri: dt = .02, a = 5, b = 15, c = 1)

t  değiştikçe     yeni  (X,Y,Z)  noktasının   üç   boyutlu   uzayda   çizdiği   yörüngeyi 

bilgisayarla çizmeye başladı. Ortaya çıkan grafik, kendi kendisini hiç kesmiyor ve iki 

nokta civarına yığılıyordu. Bu yığılma noktalarına  Lorenz Çekerleri  (attractor) ya da 

Garip Çekerler

1

 denir. 


Tekrarlar (iterations)

Lorenz kaos’u yeniden keşfedince, kaos örnekleri arayanlar çoğaldı. Farklı sistemler 

ve farklı başlangıç koşulları için Garip Çekerler’i canlandıran bilgisayar programları 

yazıldı. Bu toplantı boyunca bunların örneklerini bolca görmüş olacağız. O nedenle, 

grafikleri burada tekrarlamayarak yer kazanacağız. Bu sistemlerin   çoğu, matematik 

diliyle   söylersek,   tekrarlama   (iteration)   yöntemleriyle   elde   edilir.   Bunlar   arasında 

gündemde uzun süre kalan bazı örnekleri sıralayacağız. 

Julia ve Mandelbrot Kümeleri

Gaston Maurice Julia (1893-1978),  İkinci Dünya Savaşında yüzünden yaralandı. 

Uzun süre hastanede kaldı. Bu zamanlarda, babasının kendisine verdiği bir polinom 

1

 Bu ad ilk kez Ruelle ve Takens’in bir makalesinde kullanılmıştır.



7


Timur Karaçay, Determinizm ve Kaos

kitabını   okumaya   başladı.   Rasyonel   bir  f  fonksiyonu   için  f



n

(x)   =   f(f(f(…

f(x)…)))  değerlerini inceledi.  {f

n

(x): n=0,1,2,3,…}  yörüngesi sonlu olan 

noktaları   araştırdı   ve   ilginç   özelliklerini   buldu.   Ancak,   buluşları   bir   süre   sonra 

unutuldu.   1973   yılında  Benoit   Mandelbrot   (1924-…)  ’un   işi   yeniden   ele   alıp 

karmaşık düzlemde bilgisayarla çizimler yapmasıyla, konu yeniden gündeme geldi. 

Julia ve Mandelbrot kümeleri arasındaki farkı, karmaşık düzlemde yaygın bir örnek 

olan 



 z

2

 + c dönüşümü üzerinde açıklayalım: 

Dizisel   yörüngeleri   kolay   göstermek   için   bu   dönüşümü    z(n+1)   =   z(n)*z(n)   +   c 

biçiminde   yazalım.   Sabit   bir  c  alındığında  {z(n)}  yörüngesi   sonlu   olan   bütün  

noktalarının karmaşık düzlemde oluşturduğu J(c)  kümesine Julian dolgusu (Julian-

filled set), bu kümenin kenarına da  Julian kümesi  denir. 1919 yılında G.Julia ve 

P.Fatou ikilisi, her dolgu kümesinin ya  bağlantılı  (connected) bir küme ya da  bir 

Cantor kümesi olduğunu ispatladı.

Bağlantılı her Julia dolgusu bir  Mandelbrot kümesi’dir.  z  



  z

2

  + c  dönüşümününde 

z(0)=0  alınırsa c noktasının yörüngesi bulunur: 

z(0) = z,

z(n+1) = z(n)*z(n) + z  ,  n = 0,1,2,3,…

Bu   şekilde   yörüngesi   sonlu   olan  c  noktalarının   oluşturduğu   küme,  z  



  z

2

  +   c 

dönüşümüne   karşılık   gelen   Mandelbrot   kümesidir.   Bu   küme   bağlantılı   bir   Julian 

dolgusudur.  Mandelbrot kümeleriyleyle ilgili bazı gerçekler:



Mandelbrot kümesi bir fraktaldır.



Mandelbrot kümesinin alanı bilinmiyor.



Mandelbrot kümesinin kenar uzunluğu sonsuzdur.



Kümenin kenarına yapışan ve kendisini tekrarlayan benzer şekiller sonsuz sayıdadır.



Mandelbrot kümesi bağlantılıdır.



Geometrik Şekiller

Tekrarlamalarla   elde   edilen   ilginç   geometrik   şekiller   vardır.   Sierpinski   üçgeni, 

Menger   kümesi,   Cantor   tozu,   Koch   eğrisi   vb.   Birbirine   çok   benzer   algoritmalar 

kullanan bilgisayar grafikleriyle çok ilginç geometrik şekiller elde edilebilmektedir. 



Doğanın Sanat Yapıtları

Eğrelti otu, brokoli ve benzeri bazı bitkilerin büyümeleri tekrarlamalarla (iterasyon) 

açıklanmaktadır. 

8



Timur Karaçay, Determinizm ve Kaos

Soldan sağa doğru: Lorenz çekerleri, Julia kümesi (San Marco Ejderhası), Julia dolgusu,  Sierpinski üçgeni, 

Mandelbrot kümesi, Menger Kümesi, eğrelti otu, kar taneciği, Koch eğrisi

Kaosla Birlikte Matematiğe Giren Yeni Kavramlar

İterasyonla yaratılan ve kaotik sayılan bazı olgular matematiğe yeni ufuklar açtı mı? 

Buna   şimdiden  “evet”  demek   zordur.   Ama   kendi   kendini   tekrarlayan   geometrik 

şekillerden çıkan  fractal geometri  ve  fractal boyut  kavramları alışılmış matematiğe 

yeni giren kavramlardır. 

Geçen yüzyılın başlarında ortaya çıkan  L-sistem  adlı iterasyon yöntemi önceleri ilgi 

görmedi.   1950   li   yıllarda   Noam   Chomsky   doğal   dillerin   sözdizimine   (syntax) 

uyguladı. 1968 yılında biyolog Aristid Lindenmayer tarafından bitkilerin büyümesini 

temsil   etmek   üzere   kullanıldı.   Harflerin   kısa   bir   dizimiyle   temsil   edilen   basit   bir 

nesneden başlayarak çok karmaşık nesneler yaratabilen bir iterasyon yöntemidir.  L-



sistem bilgisayar desteği ile başarılı sonuçlar verebilir mi diye düşünmeye değer. 

Bu kavramların matematikte yeni ufuklar açıp açamayacağını zamanla göreceğiz. 



İyi-tanımlılık

Bilgisayarın olmadığı dönemlerde, iterasyon sonucu oluşan yörüngeleri elle çizmek 

olanaksızdı.   Dolayısıyla   bunların   öngörülemeyen   dinamik   sistemler;   yani   kaotik 

sistemler olduğu sonucuna varmak doğaldı. Ama, artık bu tür iteration yöntemleriyle 

elde   edilenlerin   özelliklerini   epeyce   biliyoruz   ve   bilgisayarla   grafiklerini 

çizebiliyoruz.

Belki,   kaosu,   sistemin   öngörülemezliği   olarak   tanımlamak   yetersizdir.   Çünkü,   bu 

tanıma dayanarak, geriye dönüp Kepler zamanına kadar güneş sisteminin kaotik bir 

yapı   oluşturduğunu,   ama   Keplerden   sonra   kaotik   yapıdan   kurtulduğunu   mu 

söyleyeceğiz?   Tanımın   yetersizliğinden   olsa   gerek,   bazı   sistemlere  “deterministik 



kaos” gibi garip bir sıfat takılmıştır. Bir dinamik sistemin davranışını öngörememek 

başka   şeydir,   o   sistemin   davranışının   öngörülemeyeceğini   kanıtlamak   başka   bir 

şeydir.   

Kaotik sistemler için,  “efradını cami, ayarını mani”  bir tanıma gerekseme ortaya 

çıkmış görünüyor. 

Matematik Açısından Asıl Sorun Nedir?

Julia   kümeleri,   Mandelbrot   kümeleri,   Sierpinski   üçgeni,   Cantor   tozu,   eğrelti   otu, 

brokoli gibi örnekleri ister kaotik sistem sayalım, ister saymayalım, asıl sorunumuz 

başkadır. Tekrarlamalar (iterations) ile istediğimiz kadar kaotik sistemler yaratabiliriz. 

Hatta   kendi   kendisini   tekrar   etmesi   gerekmeyen   sınırsız   sayıda   ardışık   işlemler 

yaparak   sistemi   tamamen   içinden   çıkılmaz   duruma   getirebiliriz.   Bunu   şöyle   bir 

örnekle açıklayabiliriz. Elimizde bir y = f(x) fonksiyonu var olsun. Bunun birinci ve 

ikinci basamaktan türevlerini almayı da içeren sonlu sayıda cebirsel işlemden oluşan 

bir   operatöre,   iterasyonun   bir   adımı   gözüyle   bakalım.   Bu   adımları   ardışık   olarak 

uygulayarak çok karmaşık bir diferensiyel denklem üretmek kolaydır. İşlemlerden 

sonra ürettiğimiz denklem şöyle olsun:

F(x,y,y’,y”) = 0

Şimdi,   yaptığımız   işlemleri   unuttuğumuzu   varsayalım   ve   başladığımız   fonksiyonu 

yeniden bulmak isteyelim. Daha iyisi, yaptığımız işlemlerden habersiz olan birisinden 

bu diferensiyel denklemi çözüp yeniden y = f(x)   fonksiyonunu bulmasını isteyelim. 

9



Timur Karaçay, Determinizm ve Kaos

Eğer denklemimiz çözüm yöntemi bilinen bir sınıfa girmiyorsa, hiç kimse aranan 

fonksiyonu bulamayacaktır. 

Söz   gelimi,   Sierpinski   üçgeni   sonunda   düzlemde   bir   toz   halini   alacaktır.   Olayın 

geçmişini hiç bilmeyen birisi, bu tozun bir üçgenden Sierpinski iterasyon kuralı ile 

elde edildiğini ispatlayabilir mi? 

Bilim   kurgusal   bir   dil   kullanarak   konuşalım.   Bu   gün   belli   iterasyonlarla   “kaotik 

grafikler” çizen bilgisayarlarımız, günün birinde başkasının çizdiği “kaotik grafiklere” 

bakarak iterasyon kuralını ve kuralın başlangıcını çıkarmaya başlarsa matematikçileri 

çok mutlu edeceklerdir. 

Dinamik sistemlerde istenen şey, dinamik kural dediğimiz diferensiyel denklemin (ya 

da denklem sisteminin) çözümünü bulmaktır. Buna matematikte tersinme (inverse) 

problemi   diyoruz.   Cebir,   analiz   ve   diferensiyel   denklem   kuramlarımız   çoğunlukla 

tersinme problemleriyle uğraşır. Çünkü, determinizmin istediği şeyleri veren odur. 

Öte   yandan,   bütün   problemleri   çözen   bir   tersinme   kuralı   yoktur.   Bu   nedenle 

problemler kendi içlerinde birbirine benzer sınıflara ayrılıp, her sınıf için ayrı ayrı 

çözüm yöntemleri geliştirilir.  Örneğin, bütün diferensiyel denklemleri çözen bir tek 

yöntem yoktur. Bunun yerine, her diferensiyel denklem sınıfı için ayrı ayrı çözüm 

yöntemleri   aranır.   Kaotik   sistemler   için   de   benzer   şeyin   olması   gerekir.  “Böl   ve 

yönet”  ilkesi yalnız politikada değil, bilimsel bilgi üretiminde de geçerliği olan bir 

altın kuraldır.



Sonuç

Matematikçiler,   Çinde   kanat   çırpan   kelebeğin   nasıl   olup   da   Teksas’ta   kasırga 

yaratacağını açıklayan matematiksel modelden çok, Teksasta olan kasırgayı Çin’de 

hangi kelebeğin hangi kanat çırpışıyla yarattığını bilmek isterler. Günün birinde kaos 

bir bilim olacaksa, matematikçiler o kelebeği bulmak zorundadır. 

KAYNAKLAR

1.

Anishchenko, Vadim S. 



Dynamical Chaos.

 World Scientific, 1995.

2.

Aristid Lindenmayer.  



Mathematical models for cellular interaction in development. 

J. Theoret. Biology, 18:280--315, 1968.

3.

Baker, Gregory L. and Gollub, Jerry B. 



Chaotic Dynamics: An Introduction. 

Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.

4. Barry Cipra. 

What's Happening in the Mathematical Sciences.

  Volumes 1 to 5 

on the AMS Bookstore.

5.

Crownover, Richard M. 



Introduction to Fractals and Chaos.

 Jones and Bartlett, 1995.

6.

David Ruelle. 



Rastlantı  ve Kaos, -Chance and Chaos -

 , TÜBİTAK Popüler Bilim 

Kitapları, Ankara,1990.

7.

Davis, Brian. 



Exploring Chaos: Theory and Experiment.

 Perseus Books, 1999.

8.

Gary Mar and Patrick Grim.  



Semantics of Paradox:Chaotic Liars, Fractals, and 

Strange Attractors.

  Philosophy and Computing.

9.

Hilborn, Robert C. 



Chaos and Nonlinear Dynamics.

 New York: Oxford University 

Press, 1994. 

10.


Ian Stewart. 

Does God Play Dice? The Mathematics of Chaos.

 Basil Blackwell, 1990.



11.

James Gleick. 



Kaos, -Chaos -

TÜBİTAK Popüler Bilim Kitapları, Ankara, 1987.

10

Document Outline

  • Gaston Maurice Julia (1893-1978),  İkinci Dünya Savaşında yüzünden yaralandı. Uzun süre hastanede kaldı. Bu zamanlarda, babasının kendisine verdiği bir polinom kitabını okumaya başladı. Rasyonel bir f fonksiyonu için fn(x) = f(f(f(…f(x)…))) değerlerini inceledi. {fn(x): n=0,1,2,3,…} yörüngesi sonlu olan noktaları araştırdı ve ilginç özelliklerini buldu. Ancak, buluşları bir süre sonra unutuldu. 1973 yılında Benoit Mandelbrot (1924-…) ’un işi yeniden ele alıp karmaşık düzlemde bilgisayarla çizimler yapmasıyla, konu yeniden gündeme geldi. Julia ve Mandelbrot kümeleri arasındaki farkı, karmaşık düzlemde yaygın bir örnek olan z  z2 + c dönüşümü üzerinde açıklayalım: 
  • Dizisel yörüngeleri kolay göstermek için bu dönüşümü  z(n+1) = z(n)*z(n) + c  biçiminde yazalım. Sabit bir c alındığında {z(n)} yörüngesi sonlu olan bütün z noktalarının karmaşık düzlemde oluşturduğu J(c)  kümesine Julian dolgusu (Julian-filled set), bu kümenin kenarına da Julian kümesi denir. 1919 yılında G.Julia ve P.Fatou ikilisi, her dolgu kümesinin ya bağlantılı (connected) bir küme ya da bir Cantor kümesi olduğunu ispatladı.
  • Bağlantılı her Julia dolgusu bir Mandelbrot kümesi’dir. z  z2 + c dönüşümününde  z(0)=0  alınırsa c noktasının yörüngesi bulunur: 
  • z(0) = z,
  • z(n+1) = z(n)*z(n) + z  ,  n = 0,1,2,3,…
  • Bu şekilde yörüngesi sonlu olan c noktalarının oluşturduğu küme, z  z2 + c dönüşümüne karşılık gelen Mandelbrot kümesidir. Bu küme bağlantılı bir Julian dolgusudur.  Mandelbrot kümeleriyleyle ilgili bazı gerçekler:



Dostları ilə paylaş:


Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2019
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə