KinematiKA



Yüklə 257,1 Kb.
tarix26.11.2017
ölçüsü257,1 Kb.
#12921

KİNEMATİKA
2.1. Kinematikanın Ysas anlayışları.
Kinematikada maddi cisimlYrin hYrYkYti onlara tYsir edYn qьvvYlYrdYn asılı olmayaraq цyrYnilir.

HYr bir mexaniki hYrYkYti yalnız digYr cisimlYrY nYzYrYn mьşahidY etmYk olur. Bu cisimlYrlY YlaqYli olan koordinat sistemlYrinY hesabaparma sistemlYri deyilir.

BelYliklY, kinematikada cisimlYrin hesabaparma sistemlYrinY nYzYrYn nisbi hYrYkYti цyrYnilir.

Eyni bir cismin hYrYkYti mьxtYlif hesabaparma sistemlYrinY nYzYrYn tam mьxtYlif ola bilYr.

“HYrYkYt” vY “sьkunYt” anlayışları nisbi anlayışdır vY yalnız o zaman mYna kYsb edir ki, onların hesabaparma sistemi gцstYrilsin.

TYbiYtdY mьtlYq tYrpYnmYz cisim yoxdur. Texnikada mьtlYq hYrYkYtsiz– tYrpYnmYz cisim kimi şYrti olaraq Yer kьrYsi vY tYrpYnmYz koordinat sistemi kimi YerY nYzYrYn tYrpYnmYz olan koordinat sistemi gцtьrьlьr. Cismin bu sistemY nYzYrYn hYrYkYti mьtlYq hYrYkYt kimi qYbul olunur.

HYrYkYt o zaman verilmiş hesab olunur ki, cismin vYziyyYtini hYr bir anda seзilmiş hesabaparma sisteminY nYzYrYn tYyin etmYk mьmkьn olsun.

Cismin nцqtYlYri mьxtYlif hYrYkYtlYr edY bilYrlYr. ЏgYr cismin mьxtYlif nцqtYlYrinin hYrYkYtlYrini tYyin edY biliriksY, onda cismin цzьnьn hYrYkYtini tYyin edY bilYrik. Bu sYbYbdYn cismin hYrYkYti nцqtYnin hYrYkYtindYn başlayaraq цyrYnilir.


2.2. NцqtYnin hYrYkYtinin verilmY ьsulları.
Ьmumi halda nцqtYnin hYrYkYti ьз ьsulla– tYbii, koordinat vY vektor ьsulları ilY verilY bilYr. Bu ьsullarla tanış olaq.
2.2.1. NцqtYnin hYrYkYtinin tYbii ьsulla verilmYsi

FYrz edYk ki, nцqtYsi hYr hansı bir trayektoriyası ьzrY hYrYkYt edir (şYk.2.1). Bu trayektoriya ьzYrindY hYr hansı bir nцqtYsini hesabaparma başlanğıcı qYbul edYk.

HYrYkYt edYn nцqtYnin başlanğıc vYziyyYtY nYzYrYn Yyri ьzrY mYsafYsinY nцqtYsinin qцvsi koordinatı deyilir vY ilY işarY olunur.

ŞYk.2.1


BelYliklY, qцvsi koordinat olur. Bu koordinat nцqtYsindYn bir tYrYfY mьsbYt, digYr tYrYfY isY mYnfi qYbul olunur. Zaman keзdikcY, nцqtYnin vYziyyYti dYyişir. Bu dYyişmY funksiyası ilY tYyin edilY bilYr. Bu funksiyaya nцqtYnin trayektoriya ьzrY hYrYkYt tYnliyi deyilir.

BelYliklY, nцqtYnin hYrYkYti tYbii ьsulla verildikdY aşağıdakılar mYlum olmalıdır:



  1. QYbul edilmiş hesabaparma sistemindY nцqtYnin hYrYkYt trayektoriyası;

  2. Hesabaparmanın başlanğıc nцqtYsi vY mьsbYt istiqamYti;

  3. NцqtYnin trayektoriya ьzrY hYrYkYt tYnliyi .


2.2.2. NцqtYnin hYrYkYtinin koordinat ьsulu ilY verilmYsi

NцqtYnin vYziyyYti hYr hansı dьzbucaqlı koordinat sistemindY onun ьз koordinatı vY ilY mьYyyYn edilir (şYk. 2.2). NцqtY hYrYkYt etdikdY, zaman keзdikcY onun koordinatları dYyişir. Başqa sцzlY, bu koordinatlar zamanın funksiyaları olurlar.



; ; (2.1)

ŞYk.2.2
Bu tYnliklYr nцqtYnin Dekart koordinatları ilY hYrYkYt tYnliklYri adlanır.

Aydındır ki, nцqtY mьstYvi ьzYrindY hYrYkYt etdikdY onun hYrYkYt tYnliklYrinin sayı iki, xYtt boyunca hYrYkYt etdikdY isY bir olur.

2.2.3. NцqtYnin hYrYkYtinin vektor ьsulu ilY verilmYsi

HYrYkYt edYn nцqtYnin koordinat sisteminY nYzYrYn vYziyyYtini koordinat başlanğıcından зıxan vektoru ilY mьYyyYn etmYk olar. NцqtY hYrYkYt etdikdY, zaman keзdikcY nцqtYnin radius–vektoru da dYyişir, başqa sцzlY, radius–vektor zamanın funksiyası olur.

(2.2)

Bu tYnlik nцqtYnin hYrYkYtinin vektor tYnliyi adlanır.



Radius-vektoru koordinat oxları boyunca toplananlarına ayırsaq, onda hYrYkYt edYn nцqtYsinin radius-vektoru ьзьn aşağıdakı ifadYni alarıq:

(2.2)

Burada – hYrYkYt edYn nцqtYsinin koordinatları; – koordinat oxlarının ortalarıdır.




2.3. HYrYkYt vektor ьsulu ilY verildikdY nцqtYnin sьrYt vY

tYcillYrinin tYyini
a) SьrYtlYrin tYyini.

Tutaq ki, nцqtYsi trayektoriyası ьzrY YyrixYtli dYyişYn sьrYtlY hYrYkYt edir (şYk 2.3). NцqtY anında vYziyyYtini tutur vY onun radius-vektoru olur. NцqtY anında isY vYziyyYtini tutur vY onun radius-vektoru olur. NцqtYnin yerdYyişmY vektoru:



olur.

ŞYk.2.3
FYrz edYk ki, nцqtY vYziyyYtindYn vYziyyYtinY keзYrkYn bYrabYrsьrYtli hYrYkYt edir. Onda nцqtYnin zamanında orta sьrYti belY olar:

Onda nцqtYnin ani sьrYti sıfıra yaxınlaşdıqda orta sьrYtin limiti olar:



(2.3)

BelYliklY, nцqtYnin sьrYti onun radius-vektorunun zamana gцrY birinci tцrYmYsinY bYrabYrdir. Bu sьrYtin vektoru baxılan nцqtYdY hYrYkYt trayektoriyasına toxunan olur.

b) tYcillYrin tYyini.

FYrz edYk ki, anında nцqtYnin sьrYti anında isY -dir (şYk 2.4).

ŞYk. 2.4

zamanı YrzindY nцqtYnin sьrYtinin artımını tapaq. Bunun ьзьn sьrYt vektorunu nцqtYsinY kцзьrьb paralelloqramını quraq. Paralelloqramdan sьrYtin artımı

olur. Onda zamanı YrzindY nцqtYnin orta tYcili



NцqtYnin ani tYcilini tYyin etmYk ьзьn sıfra yaxınlaşdıqda, orta tYcilin limitini tapaq



(2.4)

BelYliklY, nцqtYnin tYcili sьrYt vektorunun zamana gцrY birinci tцrYmYsinY vY ya onun radius-vektorunun zamana gцrY ikinci tцrYmYsinY bYrabYrdir.

DьzxYtli hYrYkYt istisna olmaqla, bьtьn hallarda tYcilin modulu sıfırdan fYrqli olur.


2.4. HYrYkYt koordinat ьsulu ilY verildikdY nцqtYnin sьrYt vY

tYcillYrinin tYyini


  1. SьrYtlYrin tYyini.

nцqtYsinin hYrYkYt tYnliklYri ; ; verilmişdir. Bu nцqtYnin radius-vektorunu ilY işarY edib (şYk. 2.5) onu koordinat oxları ьzYrinY proyeksiyaları ilY yazaq

ŞYk.2.5
MYlumdur ki, nцqtYnin sьrYti radius-vektorun zamana gцrY birinci tцrYmYsinY bYrabYrdir. Onda



(2.5)

DigYr tYrYfdYn bilirik ki, ixtiyari vektoru onun proyeksiyaları ilY dY ifadY etmYk olar:



(2.6)

5) vY 6)-nın mьqayisYsindYn sьrYtin proyeksiyaları ьзьn aşağıdakı ifadYlYri alırıq:



; ; (2.7)

DemYli, nцqtYnin sьrYtinin vektorunun koordinat oxları ьzYrinY perpendikulyarı nцqtYnin uyğun koordinatlarının zamana gцrY birinci tцrYmYlYrinY bYrabYrdir.

NцqtYnin sьrYtinin mYlum proyeksiyalarına gцrY onun sьrYtinin modulu belY tapılır:

(2.8)

NцqtYnin sьrYt vektorunun istiqamYtini mьYyyYn edYn yцnYldici kosinuslar isY belY tYyin edilir:



; ; (2.9)

b) TYcillYrin tYyini.

MYlumdur ki, nцqtYnin tYcili onun sьrYtinin vektorunun zamana gцrY birinci tцrYmYsinY bYrabYrdir.

SьrYtin proyeksiyalarla ifadYsini burada yerinY qoysaq, onda



(2.10)

TYcil vektorunu da sьrYt vektoru kimi proyeksiyaları ilY ifadY etmYk olar:



(2.11)

(2.10) vY (2.11)-in mьqayisYsindYn tYcilin proyeksiyaları ьзьn aşağıdakı ifadYlYri alırıq:



; ; (2.12)

DemYli, nцqtYnin vektorunun koordinat oxları ьzYrinY proyeksiyaları nцqtYnin uyğun koordinatlarının zamana gцrY ikinci tцrYmYsinY vY ya sьrYt vektorunun hYmin oxlar ьzYrinY proyeksiyalarının zamana gцrY birinci tцrYmYsinY bYrabYrdir.

TYcilin vektorunun modulu:

(2.13)

TYcilin vektorunun yцnYldici kosinusları:



; ; (2.14)

olur.


2.5. NцqtYnin hYrYkYti tYbii ьsulla verildikdY onun sьrYt vY

tYcillYrinin tYyini
a) SьrYtlYrin tYyini.

NцqtYnin hYrYkYt trayektoriyası , trayektoruya ьzrY hYrYkYt tYnliyi verilmişdir. HYrYkYt edYn nцqtY anında vYziyyYtindY, isY vYziyyYtindY olur. NцqtYnin qцvsь kooridinatı zamanı YrzindY qYdYr dYyişmiş olur.

Onda bu vaxt YrzindY nцqtYnin orta sьrYti

olur. NцqtYnin ani sьrYti isY



(2.15)

olur.


NцqtYnin sьrYt vektorunu tYyin edYk.

Tutaq ki, anında nцqtYnin radius-vektoru vYziyyYtindY , anında isY vYziyyYtindY olur (şYk 2.6). Bu radius-vektorlar qцvsi koordinat vY zamanın mьrYkkYb funksiyalarıdır. Onda anında nцqtYnin sьrYti



olur.


olduğu ьзьn bu vektor istiqamYtindY yцnYlir. sıfıra yaxınlaşdıqda, bu vektor nцqtYsindY hYrYkYt trayektoriyasına toxunan olur vY qцvsi koordinat -in artımı istiqamYtindY yцnYlir. Bu vektorun modulu



ŞYk. 2.6


DemYli, vahid vektordur– trayektoriyanın toxunanının ortudur. Bu vahid vektoru ilY işarY edYk. Bunu nYzYrY aldıqda nцqtYnin sьrYr vektoru ьзьn yazmaq olar:

(2.16)

Burada – nцqtYnin sьrYt vektorunun trayektoriyanın toxunanı ьzYrinY proyeksiyasıdır (nцqtYnin sьrYtinin moduludur).

b) TYcillYrin tYyini

Bildiyimiz kimi, nцqtYnin tYcil vektoru sьrYt vektorunun zamana gцrY birinci tцrYmYsinY bYrabYrdir



SьrYt vektorunun qiymYtini (2.16) yerinY qoyaq





(2.17)

Burada (ali riyaziyyatdan mYlum olduğu kimi) trayektoriyanın baxılan nцqtYdY Yyrilik vektorudur.



Burada – trayektoriyanın nцqtYsindY normalının ortudur. – trayektoriyanın nцqtYsindY Yyrilik radiusudur.



QiymYtlYri (2.17)-dY yerinY qoysaq, alarıq



Burada – nцqtYnin normal tYcilidir. Bu tYcil hYmişY mьsbYt olub baxılan nцqtYdY trayektoriyanın Yyrilik mYrkYzinY doğru yцnYlir; – nцqtYnin tangensial (toxunan) tYcilidir. Bu tYcil aydındır ki, trayektoriyanın baxılan nцqtYdYki toxunanı ьzrY yцnYlir. Bu tYcillYrin modulları:



(2.18)

(2.19)

Tam tYcilin modulu



Tam tYcilin vektorunun yцnYldici kosinusları



; (2.20)

Indi nцqtYnin hYrYkYtinin xьsusi hallarına baxaq.


MьntYzYm-bYrabYrsьrYtli hYrYkYt

Bu hYrYkYt zamanı



vY

olur.


NцqtYnin başlanğıc nцqtYsindYn olan mYsafYsi– qцvsi koordinatını tYyin etmYk ьзьn bu ifadYni inteqrallayaq:

Buradan


Burada anında nцqtYnin qцvsi koordinatı; anında nцqtYnin qцvsi koordinatı. BelY hYrYkYt zamanı olduğu ьзьn onun toxunan tYcili:



olur.


Normal tYcil isY YyrixYtli hYrYkYt zamanı

olur.


DemYli, tam tYcil olur.

DьzxYtli hYrYkYt zamanı isY trayektoriyanın Yyrilik radiusu olur. Odur ki, normal tYcil



toxunan tYcil dY olur.

DemYli, dьzxYtli bYrabYrsьrYtli hYrYkYt zamanı nцqtYnin tam tYcili olur.

BYrabYrdYyişYn hYrYkYt

BYrabYryeyinlYşYn hYrYkYt zamanı nцqtYnin toxunan tYcili:



olur. Buradan



Bu ifadYni inteqrallayaq



Buradan


(2.21)

(2.21)-in hYr iki tYrYfini -yY vuraq



Bilirik ki, . Onda



Bu ifadYni inteqrallayaq



Buradan nцqtYnin qцvsi koordinatı:



(2.22)

NцqtYnin zamanında getdiyi yol



(2.22`)

(2.21), (2.22), (2.22`) dьsturları hYm dьzxYtli vY hYm dY YyrixYtli hYrYkYt ьзьn doğrudur.

NцqtYnin tYcillYri yuxarıdakı mYlum dьsturlarla tYyin olunur. Bu zaman YgYr nцqtY dьzxYtli hYrYkYt edirsY, onun normal tYcili sıfra bYrabYr olur, tam tYcili onun toxunan tYcilinY bYrabYr olur .

Harmonik rYqsi hYrYkYt

Harmonik rYqsi hYrYkYt elY hYrYkYtY deyilir ki, o hYrYkYtdY nцqtYnin hesabaparma mYrkYzinY qYdYr olan mYsafYsi aşağıdakı qanunlarla dYyişsin.



vY ya (2.23)

Burada vY .

Bildiyimiz kimi, vY funksiyalarının qiymYtlYri mYnfi bir ilY mьsbYt bir arasında dYyişir. Odur ki,

olur.


NцqtYnin başlanğıc vYziyyYtdYn uzaqlaşdığı Yn bцyьk mYsafYsinY rYqsin amplitudası deyilir (şYk. 2.7).

Bir rYqsY sYrf olan zamanına rYqsin periodu deyilir.


ŞYk. 2.7
HYrYkYt periodunun başlanğıc vY sonunda nцqtY eyni vYziyyYtdY olmalıdır. Bunun ьзьn sinus vY kosinusun arqumentlYri qYdYr dYyişmYlidir. Bu zaman

Buradan rYqsin periodu:



vY ya

olur. Buradan gцrьnьr ki, saniyY YrzindY nцqtYnin tam rYqslYrinin sayı olur. NцqtYnin sьrYti



NцqtYnin toxunan tYcili olur.


2.6. BYrk cismin irYlilYmY hYrYkYti
BYrk cismin irYlilYmY hYrYkYti elY hYrYkYtY deyilir ki, bu hYrYkYt zamanı cisim ьzYrindY gцtьrьlmьş istYnilYn xYtt цz-цzьnY paralel qalır. BelY hYrYkYtY misal velosipedin pedalının hYrYkYtini gцstYrmYk olar.

Teorem. İrYlilYmY hYrYkYti zamanı cismin bьtьn nцqtYlYrinin cızdığı trayektoriyalar ьst-ьstY qoyulduqda eyni olur vY hYr bir anda onların sьrYt vY tYcillYrinin modul vY istiqamYtlYri dY eyni olur.

İsbatı. Cisim hYrYkYt edYrYk I vYziyyYtdYn II vYziyyYtY keзir (şYk. 2.8.). Bu zaman cisim ьzYrindY gцtьrьlmьş vektoru цzьnY paralel olaraq vYziyyYtini alır.

Ixtiyari bir nцqtYsindYn nцqtYlYrinin radius vektorlarını - i зYkYk.

ŞYkildYn gцrьnьr ki,



(2.24)

(2.25)

Buradan gцrьnьr ki, nцqtYsinin cızdığı trayektoriyalarını almaq ьзьn nцqtYsinin cızdığı trayektoriyanı istiqamYtindY qYdYr sьrьşdьrmYk lazımdır. HYmin sцzlYri vY nцqtYlYrinin trayektoriyaları haqqında da demYk olar. BelYliklY bu trayektoriyalar sьrьşdьrьldьkdY ьst-ьstY dьşьrlYr.

ŞYk. 2.8
(2.24) ifadYsini zamana gцrY diferensiallayaq.

Bilirik ki, olmalıdır. Onda,



vY ya (2.26)

olar.


Indi (2.25) ifadYsini diferensiallayaq

vY ya (2.27)

BelYliklY, sьbut olundu ki, irYlilYmY hYrYkYtindY nцqtYlYrinin sьrYt vY tYcillYri cismin sьrYt vY tYcili olur.


2.7. BYrk cismin tYrpYnmYz ox Ytrafında fırlanması
oxu Ytrafında fırlanan bir silindrY baxaq. Bu oxdan tYrpYnmYz yarımmьstYvisi vY silindrY bYrkidilmiş, onunla birlikdY hYrYkYt edYn, yarımmьstYvisi keзirYk (şYk.2.9). Bu mьstYvilYr arasındakı bucağı dцnmY bucağı adlanır. oxunun mьsbYt istiqamYtindYn baxarkYn saat YqrYbinin Yksi istiqamYtindY цlзьlYn dцnmY bucağını mьsbYt saat YqrYbi istiqamYtindYki dцnmY bucağını isY mYnfi qYbul edYk. Silindrin hYrYkYt qanunu:

(2.28)


olacaq. Bucaq sьrYti

(2.29)

bucaq tYcili isY



(2.30)

ŞYk. 2.9
olacaq.



İndi silindrin nцqtYlYrinin xYtti sьrYt vY tYcillYrini tYyin edYk.

HYr hansı nцqtYnin xYtti sьrYti



(2.31)

olur.


Burada – nцqtYnin qцvs ьzrY elementar yerdYyişmYsi vY nцqtYnin ox Ytrafında elementar dцnmY bucağıdır; – nцqtYnin– silindrin bucağ sьrYti; – fırlanma oxundan nцqtYyY qYdYr olan mYsafY.

NцqtYnin normal vY toxunan tYcillYri mYlum dьsturlarla belY tYyin olunur



(2.32)

(2.33)

Burada – nцqtYnin bucaq tYcili.

Bildiyimiz kimi, normal tYcil Yyrilik mYrkYzinY– fırlanma mYrkYzinY doğru, toxunan tYcil isY nцqtYnin cızdığı зevrYyY toxunan istiqamYtdY yцnYlir.

Tam tYcilin modulu isY belY tapılır:



Indi fırlanma hYrYkYtinin xьsusi hallarına baxaq:



1. BYrabYrsьrYtli hYrYkYt.

Bu halda bucaq sьrYti sabit olur.



DцnmY bucağı olur. Bu ifadYni inteqrallayaq



Buradan bYrabYrsьrYtli fırlanma hYrYkYtinin tYnliyini alırıq:



NцqtYnin bucaq tYcili isY olduqda:



olur.


NцqtYnin toxunan tYcili isY olduqda:

olur.


NцqtYnin normal tYcili:

olur.


2. BYrabYr dYyişYn hYrYkYt

BelY hYrYkYt zamanı bucaq tYcili



olur. Buradan



olur. Bu ifadYni inteqrallayaq



Buradan bucaq sьrYtini tapmaq olar:



Bu ifadYdY qiymYtini yerinY qoysaq, onda:



vY ya

Bu ifadYni zamana gцrY inteqrallayaq:



Buradan bYrabYr dYyişYn hYrYkYtin tYnliyini alırıq:




2.8. Cismin bucaq sьrYti vektoru
Bucaq sьrYti vektoru cismin fırlanma oxu ьzYrindY yerlYşYrYk elY yцnYlir ki, onun sonundan cismY baxdıqda, fırlanma saat YqrYbinin Yksi istiqamYtindY gцrsYnsin (şYk. 2.10). Bu vektorun tYtbiq nцqtYsi olmur, o sьrьşYn vektordur.

ŞYk. 2.10


Fırlanan nцqtYnin xYtti sьrYti bucaq sьrYt vektoru ilY baxılan nцqtYnin fırlanma oxu ьzYrindY gцtьrьlmьş ixtiyari nцqtYyY nYzYrYn radius-vektoru -in vektorlar hasilinY bYrabYrdir.

SьrYtin modulu



NцqtYnin sьrYtinin vektoru mьstYvisinY perpendikulyar olub elY yцnYlir ki, onun sonundan hYmin mьstYviyY baxdıqda vektorundan vektoruna Yn qısa keзid saat YqrYbi istiqamYtinin Yksi olsun.


2.9. NцqtYnin mьrYkkYb hYrYkYti
2.9.1. NцqtYnin mьtlYq nisbi vY kцзьrmY hYrYkYtlYri
NцqtYnin tYrpYnmYz qYbul edilmiş sistemY nYzYrYn hYrYkYtinY mьtlYq hYrYkYt deyilir.

NцqtYnin tYrpYnYn sistemY nYzYrYn hYrYkYtinY nisbi hYrYkYt deyilir.

TYrpYnYn sistemin onun ьzYrindY bYrkidilmiş bьtьn nцqtYlYrlY birlikdY tYrpYnmYz sistemY nYzYrYn hYrYkYtinY kцзьrmY hYrYkYti deyilir.

Bir misala baxaq.

HYrYkYt edYn avtomobilin tYkYri ьzYrindY bir nцqtYsi gцtьrYk (şYk. 2.11).

Зarxın oxu ilY tYrpYnYn sistemini bYrkidYk, yerlY isY tYrpYnmYz sistemini bYrkidYk.

nцqtYsinin sistemindYki hYrYkYti nisbi hYrYkYt, onun sьrYti isY nisbi sьrYt olur. Bu sьrYtin istiqamYti зarxın зevrYsinY toxunan olur.

HYrYkYtli sistemin onun ьzYrindY bYrkidilmiş nцqtYsi ilY birlikdY tYrpYnmYz sisteminY nYzYrYn hYrYkYti kцзьrmY hYrYkYt adlanır. Onun sьrYti isY kцзьrmY sьrYt olur. Bu sьrYtin istiqamYti oxuna paralel olur.

nцqtYsinin tYrpYnmYz sisteminY nYzYrYn hYrYkYti isY mьtlYq hYrYkYt adlanır. Bu zaman mьtlYq sьrYtin vektoru nцqtYnin cızdığı trayektoriyaya (şYkildY qırıq xYtlYrlY gцstYrilib) toxunan olur.

NцqtYnin tYcillYri dY uyğun olaraq nisbi mьtlYq vY kцзьrmY tYcillYri adlanır.


2.9.1. NцqtYnin sьrYtlYrinin toplanması teoremi

Teorem. NцqtYnin mьtlYq sьrYti onun kцзьrmY sьrYt ilY nisbi sьrYtin hYndYsi cYminY bYrabYrdir.

Isbatı. FYrz edYk ki, nцqtYsi tYrpYnYn sistemindY nisbi hYrYkYt, sistemindY isY mьtlYq hYrYkYt edir (şYk.2.12).



nцqtYsinin mYrkYzinY nYzYrYn radius-vektorunu ilY işarY etsYk, yazmaq olar:

Burada ; ; nцqtYsinin sistemindYki koordinatlarıdır. NцqtYnin nisbi sьrYti:





(2.35)

olur.


başlanğıcının tYrpYnmYz sistemin başlanğıcına nYzYrYn radius-vektoru olduqda, onda nцqtYsinin nцqtYsinY nYzYrYn radius-vektoru, şYkildYn gцrьndьyь kimi, belY olar.

(2.36)

ŞYk.2.12
nцqtYsinin kцзьrmY sьrYtini tapmaq ьзьn bu ifadYdYn zamana gцrY tцrYmY alaq. Bu zaman dYyişYn arqumentlYr vY olur.





(2.37)

nцqtYsinin mьtlYq sьrYtini tapdıqda isY (2.36)-da bьtьn parametrlYr dYyişYn olur. Onda nцqtYsinin mьtlYq sьrYti belY olar:



(2.38)

Bu ifadYni (2.35) ilY mьqayisY etdikdY gцrьrьk ki, ikinci mцtYrizY nцqtYnin nisbi sьrYti , (2.37) ilY mьqayisY etdikdY gцrьrьk ki, birinci mцtYrizY nцqtYnin kцзьrmY sьrYti olur.

Bunları nYzYrY aldıqda (4)-ь belY yazmaq olar:

(2.39)

DemYli, teorem isbat olundu.




2.9.2.TYcillYrin toplanması teoremi
Teorem. NцqtYnin mьtlYq tYcili onun kцзьrmY hYrYkYtdYki tYcili , nisbi hYrYkYtdYki tYcili vY koriols tYcili -nın hYndYsi cYminY bYrabYrdir

Isbatı. Yuxarıda gцstYrdiyimiz kimi, nцqtYsi tYrpYnYn sistemdY nisbi, tYrpYnmYz sistemindY isY mьtlYq hYrYkYt edir (şYk.2.13) vY onun sьrYtlYri (2.35), (2.37), (2.38) dьsturları ilY mьYyyYn olunur. NцqtYnin tYcillYrini uyğun sьrYtlYrin zamana gцrY birinci tцrYmYlYri kimi tYyin edYk.

ŞYk. 2.13
Nisbi tYcil (dYyişYn argumentlYr– , vY ):

(2.40)

KцзьrmY tYcili (dYyişYn arqumentlYr– , , , ):



(2.41)

MьtlYq tYcil (dYyişYnlYr– , , , , , ):









(2.42)

(2.42) ifadYsini (2.41) vY (2.40) ilY mьqayisY etdikdY gцrьrьk ki, birinci mцtYrizYnin iзYrisindYki ifadY nцqtYnin kцзьrmY tYcili , ikinci mцtYrizYnin iзYrisindYki ifadY isY nisbi tYcili -dir.

Indi ьзьncь mцtYrizYnin iзYrisindYki ifadYnin nY olduğuu mьYyyYn edYk. Bilirik ki, sYrbYst cismin ixtiyari hYrYkYtinY iki hYrYkYtin hYndYsi cYmi kimi baxmaq olar. Bu hYrYkYtlYrdYn biri onun ixtiyari nцqtYsinin (qьtb) irYlilYmY hYrYkYti, digYri isY bu nцqtYdYn (qьtbdYn) keзYn oxu Ytrafında fırlanma hYrYkYtidir. Bu oxa ani fırlanma oxu deyilir, onun Ytrafında olan fırlanma sьrYtinY ani bucaq sьrYti deyilir.

DeyilYnlYrY uyğun olaraq, bizim baxdığımız halda, sisteminin nцqtYsi ilY birlikdY etdiyi kцзьrmY hYrYkYtinY iki hYrYkYtin hYndYsi cYmi kimi baxaq. Bu hYrYkYtlYrdYn biri nцqtYsinin irYlilYmY hYrYkYti, digYri isY sistemin bu nцqtYdYn keзYn ani fırlanma oxu Ytrafında sьrYti ilY fırlanma hYrYkYti olsun.

vahid vektorunun sonunda bir nцqtYsi gцtьrYk. Onda vektoru bu nцqtYnin radius-vektoru olur vY hYmin nцqtYnin sьrYti vektorunun zamana gцrY tцrYmYsi olur

(2.43)

Bu sьrYti (bildiyimiz kimi) ani fırlanmada bucaq sьrYti vY nцqtYnin radius-vektoru -in vektorial hasili kimi tYsvir etmYk olar:



(2.44)

(2.43) vY (2.44)-dYn yazmaq olar:



Bu qayda ilY digYr vahid vektorlar ьзьn yazmaq olar:



;

Bunları nYzYrY aldıqda (2.42) tYnliyinin ьзьncь mцtYrizYsindYki ifadY belY yazıla bilYr:





Bu ifadYni (2.35) ilY mьqayisY etdikdY gцrьrьk ki, axırıncı mцtYrizY iзYrisindYki ifadY nцqtYsinin nisbi sьrYt vektoru -dir. BelYliklY, (2.42) tYnliyinin ьзьncь mцtYrizYsi olur. Onun iki misli isY koriolis tYcil adlanır vY ilY işarY olunur



(2.45)

Koriolis tYcilinin modulu



olur. BelYliklY,



(2.46)

olur. DemYli teorem isbat olundu.

ЏgYr tYrpYnYn sistemi tYrpYnmYz sisteminY nYzYrYn irYlilYmY hYrYkYti edirsY, onda ani bucaq sьrYti olur, bu sYbYbdYn nцqtYin koriolis tYcili dY olur. Bu halda nцqtYnin mьtlYq tYcili aşağıdakı dьsturla tYyin olunur:

(2.47)

BelYliklY, koriolis tYcili yalnız kцзьrmY hYrYkYti fırlanma hYrYkYti olduqda meydana зıxır.

ЏgYr nisbi hYrYkYt mьstYvisi ani fırlanma oxu -yY perpendikulyar olursa, onda olur vY

(2.48)

olur.


ŞYk. 2.14

Koriolis tYcilin vektoru vY -nin mьstYvisinY perpendikulyar olub (şYk. 2.14) elY yцnYlir ki, onun sonundan mьstYviyY baxdıqda -dYn vektoruna Yn qısa keзid saat YqrYbinin Yksi istiqmYtindY olsun.


2.10. Cismin yastı-paralel (mьstYvi) hYrYkYti

2.10.1. Cismin yastı-paralel hYrYkYtinin tYnliklYri

BYrk cismin mьstYvi (yastı-paralel) hYrYkYti elY hYrYkYtY deyilir ki, bu hYrYkYt zamanı cismin nцqtYlYrinin verilmiş tYrpYnmYz mьstYvidYn mYsafYlYri dYyişmYz qalsın, başqa sцzlY, bu hYrYkYt zamanı cismin nцqtYlYri hYr hansı bir tYrpYnmYz mьstYviyY paralel olan mьstYvilYr ьzYrindY hYrYkYt etsin.

ŞYk. 2.15

Cismin yastı-paralel hYrYkYtini tYyin etmYk ьзьn onun verilmiş tYrpYnmYz mьstYviyY paralel mьstYvi ilY kYsişmYsindYn alınan fiqurun hYrYkYtini bilmYk kifayYt edir. BelY yastı fiqurun tYrpYnmYz hYrYkYt mьstYvisi ьzYrindY koordinat sistemi, fiqurun ьzYrindY isY tYrpYnYn koordinat sistemi gцtьrYk (şYk.2.15). İxtiyari seзilmiş koordinat başlanğıcı qьtb nцqtYsi adlanır.

Fiqur hYrYkYt etdikdY qьtbьnьn koordinatları vY bucağı zaman keзdikcY dYyişir. Onda yastı fiqurun hYrYkYt tYnliklYri belY olur:

; ; (2.49)

Bu tYnliklYrY hYm dY cismin yastı-paralel hYrYkYtinin tYnliklYri deyilir.


2.10.2. Yastı fiqurun nцqtYnin hYrYkYt tYnliyi
ЏgYr yastı fiqurun hYrYkYt tYnliklYri (2.49) mYlimdursa, onun ixtiyari nцqtYsinin hYrYkYt tYnliklYrini tapmaq olar.

Analitik hYndYsYdYn mYlum olan koordinatların зevrilmYsi tYnliklYrinY YsasYn nцqtYsinin tYrpYnYn koordinat sistemi dYki mYlum koordinatları vY oxu ilY oxu arasındakı bucağına onun tYrpYnmYz sistemindYki koordinatları belY tYyin olunur



(2.50)

Bu tYnlik sistemi yastı fiqurun ixtiyari nцqtYsinin tYnliklYri adlanır.


2.10.2. Yastı fiqurun nцqtYlYrinin sьrYtlYrinin tYyini
Yuxarıda verilmiş şYk.2.15-dYn gцrьndьyь nцqtYsinin tYrpYnmYz sistemindYki radius vektoru

Bu ifadYdYn zamana gцrY tцrYmY alaq:



Burada nцqtYsinin mьtlYq sьrYtidir; qьtbьnьn kцзьrmY hYrYkYtindYki sьrYtidir; nцqtYsinin qьtbьnY nYzYrYn nisbi fırlanma hYrYkYtndYki sьrYtidir.

DemYli yastı fiqurun hYr hansı bir nцqtYsinin mьtlYq sьrYti bu fiqurun qьtb qYbul edilmiş ixtiyari bir nцqtYsinin kцзьrmY sьrYti ilY nцqtYsinin bu qьtb Ytrafında nisbi fırlanma sьrYtinin hYndYsi cYminY bYrabYrdir, yYni

(2.48)

sьrYti qiymYt vY istiqamYtcY yastı fiqurun hYrYkYt tYnliklYrindYn (1) tapılır



SьrYtin yцnYldici kosinusları isY belY tapılır:



;

Nisbi fırlanma sьrYti olub qiymYtcY belY tYyin edilir:



Bu sьrYt radiusuna perpendikulyar olub nцqtYsinin fırlanma hYrYkYti istiqamYtindY yцnYlir.


2.10.3. Ani sьrYtlYr mYrkYzi

HYrYkYt edYn yastı fiqurun baxılan anda sьrYti sıfır olan nцqtYsinY ani sьrYtlYr mYrkYzi deyilir.

Yastı-paralel hYrYkYtdY istYnilYn nцqtYsinin mьtlYq sьrYti ьзьn olar:

(2.49)

ŞYrtY gцrY olmalıdır. Onda



Buradan


vY

Nisbi fırlanma sьrYti ьзьn yazmaq olar:



Onda ani sьrYtlYr mYrkYzinin qьtbьndYn olan mYsafYsi:



olmalıdır.

Aydındır ki, sьrYtinY perpendikulyar olur.

Ani sьrYtlYr mYrkYzi hYm dY ani fırlanma mYrkYzi adlanır.

ŞYk. 2.16

ЏgYr yastı fiqurun hYr hansı iki nцqtYsinin sьrYti mYlumdursa, onda ani sьrYtlYr mYrkYzini bu sьrYtlYrin istiqamYtlYrinY hYmin nцqtYlYrdYn зYkilmiş perpendikulyarların kYsişmY nцqtYsindY yerlYşYcYkdir (şYk.2.16).

Ani sьrYtlYr mYrkYzi nцqtYsini tapdıqdan sonra baxılan anda hYr hansı bir nцqtYsinin sьrYti mYlumdursa, fiqurun ani bucaq sьrYtini tapa bilYrik: .

ЏgYr fiqurun bir perpendikulyar ьzYrindY yerlYşmYyYn iki nцqtYsinin (şYk.2.17) sьrYt vektoru paraleldirsY, onda onlara зYkilmiş perpendikulyarlar yalnız sonsuzluqda kYsişY bilYr. Onda vY fiqurun bucaq sьrYti isY olar. Bu halda aydın olur ki, yastı fiqur yalnız irYlilYmY hYrYkYti edY bilYr.

ŞYk. 2.17

Indi sьrYtlYri paralel olan nцqtYlYrin sьrYtlYrY perpendikulyar bir xYtt ьzYrindY yerlYşdiyi hala baxaq (şYk.2.18). Bu halda sьrYt vektorları eyni vY ya Yks istiqamYtlYrdY yцnYlY bilYr. HYr iki halda ani sьrYtlYr mYrkYzi , sьrYtlYrin vektorlarının sonu vY nцqtYsini birlYşdirYn xYttin vY ya onun uzantısının, sьrYtlYrin tYtbiq nцqtYlYrini birlYşdirYn xYtt vY ya onun uzantısının kYsişmY nцqtYsindY yerlYşir.

a)

b)

ŞYk. 2.18


ЏgYr fiqur hYr hansı tYrpYnmYz Yyri xYtt ьzYrindY sьrьşmYdYn diyirlYnirsY, onda ani sьrYtlYr mYrkYzi fiqurun tYrpYnmYz xYttY toxunma nцqtYsindY yerlYşir, зьnki hYr bir anda yalnız bu nцqtYnin sьrYti sıfır olur (şYk.2.19).

ŞYk. 2.19




2.10.4. Yastı fiqurun sьrYtlYrinin sYpYlYnmYsi
Yastı fiqurun ani sьrYtlYr mYrkYzini qьtb qYbul edYrYk istYnilYn nцqtYlYrinin sьrYtlYri ьзьn (şYk.2.20) yazmaq olar:







nцqtYsi ani sьrYtlYr mYrkYzi olduğu ьзьn olur. Bu sYbYbdYn

; ;

ŞYk. 2.20


olur. DemYli, yastı fiqurun ixtiyari nцqtYsinin sьrYti bu fiqurun ani sьrYtlYr mYrkYzi Ytrafındakı fırlanma sьrYtinY bYrabYrdir:

; ;

Bu bYrabYrliklYri tYrYf tYrYfY bцlsYk, alarıq



;

vY s. BelYliklY, yastı fiqurun nцqtYlYrinin sьrYtlYrinin modulları ani sьrYtlYr mYrkYzindYn hYmin nцqtYlYrY qYdYr olan mYsafYlYrlY dьz mьtYnasibdir. Bu sьrYtlYr istiqamYtindY yцnYlir vY ani sьrYtlYr mYrkYzini nцqtYlYrlY birlYşdirYn xYtlYrlY perpendikulyar olur.


2.10.5. Yastı fiqurun nцqtYlYrinin tYcillYrinin tYyini
Bilirik ki, yastı fiqurun hYr hansı bir nцqtYsinin sьrYti (şYk.2.15) aşağıdakı dьsturla tapılır:

Bu ifadYdYn tцrYmY alaq:



Burada nцqtYsinin mьtlYq tYcilidir; qьtbьnьn kцзьrmY hYrYkYtindYki tYcilidir; nцqtYsinin qьtbь Ytrafında nisbi fırlanma hYrYkYtindYki tYcilidir.

QiymYtlYri yerinY yazsaq, alarıq:

(2.51)

DemYli, yastı fiqurun hYr hansı bir nцqtYsinin tYcili bu fiqurun qьtb qYbul edilmiş ixtiyari bir nцqtYsinin kцзьrmY tYcili ilY nцqtYnin bu qьtb Ytrafında nisbi fırlanma hYrYkYtindYki tYcilinin hYndYsi cYminY bYrabYrdir.

nцqtYsinin tYcili yastı fiqurun hYrYkYt tYnliyinY (2.49) gцrY, qiymYt vY istiqamYtcY belY tapılır:

;



;

Nisbi fırlanma hYrYkYtindYki tYcil iki toplanandan normal vY toxunan– toplananlarının hYndYsi cYmindYn ibarYtdir



Normal tYcilin qiymYti olub -boyunca fırlanma mYrkYzi olan nцqtYsinY doğru yцnYlir.

Toxunan tYcilin qiymYti xYttinY perpendikulyar olaraq olanda istiqamYtindY olanda isY YksinY yцnYlir. BelYliklY, nцqtYsinin tYcili ьзьn son ifadY belY olur:

(2.52)

Nisbi fırlanma hYrYkYtindYki tYcili başqa yolla da tYyin etmYk olar. Bu mYqsYdlY nisbi fırlama sьrYtindYn zamana gцrY tцrYmY alaq:



Burada – yastı fiqurun nцqtYsi Ytrafında nisbi hYrYkYtinin bucaq tYcilidir. nцqtYsinin nisbi fırlanma hYrYkYtindYki sьrYtidir.

Bunları nYzYrY aldıqda nisbi fırlanma tYcili

Bu ifadYnin birinci hYddi nцqtYsinin nцqtYsindYn keзYn vY fiqurun hYrYkYt mьstYvisinY perpendikulyar olan ox Ytrafında nisbi fırlanma hYrYkYtindY toxunan tYcili . Ikinci hYddi isY hYmin hYrYkYtdY normal tYcili olur. DemYli



;

Onda


Bunu (2.51)-dY yazsaq (2.52) tYnliyini alarıq. TYcillYrin modulları:



;

olur.



Yüklə 257,1 Kb.

Dostları ilə paylaş:




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə