Kwadratura koła Grzegorz Karwasz



Yüklə 2,65 Mb.
tarix01.08.2018
ölçüsü2,65 Mb.
#60385


Kwadratura koła

  • Grzegorz Karwasz


Komentarz dydaktyczny

  • Wykład, wygłoszony 14 marca dla grupy ok. 100 uczniów ze szkół toruńskich (6-7-8ºklasa szkoły podstawowej) pokazuje, że matematyka nie jest jedynie nauką abstrakcyjną, opartą o zestaw aksjomatów.

  • (Zresztą w takiej aksjomatycznej postaci, jak to pokazał Gödel, musi być albo niekompletna, albo wewnętrznie sprzeczna).

  • Matematyka rozwinęła się bardzo, bardzo dawno temu (pierwszy zapis liczenia po 28 dni pochodzi sprzed 40 tys. lat) jako nauka służąca celom praktycznym – wymierzania poletek wokół Nilu i budowania zigurratów w Mezopotamii.

  • Umiejętności matematyczne kilka tysięcy lat temu były znaczne – dodawania ułamków (zapewne jako wycinki kół rysowanych patykiem na piasku), obliczania objętości piramid, przeliczania receptur produkcji piwa itd.



Komentarz dydaktyczny

  • Wykład jest trudny, jako że nie ogranicza się do typowych przy tych okazjach dywagacjach na temat „magicznych” własności liczby pi, ale prowadzi do argumentów bardzo trudnych, jak związek Eulera.

  • Wykład był ilustrowany różnymi aktywnościami interaktywnymi, z udziałem uczniów. Niektóre z nich wzorowane są na opracowaniach kolegów dydaktyków matematyki (np. z Uniwersytetu w Trento), inne zostały przygotowane oryginalnie dla tego wykład

  • Potrzebne rekwizyty to np. pomarańcza, sznurek, owalny talerz, pokrywka do smażenia jajek w kuchence mikrofalowej, stożkowe kieliszki, a w końcu też imadło i ciężki młotek.

  • W takim ujęciu, matematyka wraca jako nauka doświadczalna, indukcyjna, interaktywna, i prosta.

  • Reportaż z wykładu jest zawarty w oddzielnym materiale internetowym.



Einstein: „Dobry Pan Bóg…”

  • Dobry Pan Bóg wymyślił liczby naturalne: 1,2,3, dziesięć, sto, tysiąc i jeszcze większe, np.:

  • „do kroćset kroci tysięcy fur beczek furgonów, milijonów (diabłów!, bo jakem Maciej)”

  • Jabłka, kamienie, atomy, liczy się w liczbach naturalnych.

  • W matematyce rzymskiej nie było zera (bo jak czegoś nie ma , to nie ma).

  • I wszystko szło dobrze, do czasów niejakiego Pitagorasa (VI wiek przed n.e.)

  • Ale zacznijmy od początku…



Już 4 tysiące lat temu…

  • W starożytnym Egipcie (i na pewno też w Mezopotamii) ludzie wymyślili matematykę: trzeba było sprawiedliwie dzielić poletka wzdłuż Nilu (i obliczać podatki)



Papirus Rhind (~1550 p.n.e)



Papirus moskiewski (1850 p.n.e.)



Pitagoras z Samos „Liczba jest istotą wszystkich rzeczy” [wiki.pl]

  • Pitagoras zajmował się dwoma zagadnieniami:

  • 1) muzyką (i tu szło dobrze)

  • 2) kwadratami (i tu pojawiły się poważne kłopoty)



Jak narysować koło? A jak kwadrat?



Pitagoras: odkrycie bardzo proste

  • 9 + 16 = 25

  • 3x3 + 4x4 = 5x5



Pitagoras: wstrząsające odkrycie

  • Nie wszystkie liczby dadzą się zapisać jak (egipskie) ułamki



Liczba „niewymierna”

  • Jest tylko jedna liczba, która pomnożona przez siebie daje 2

  • Nazwiemy ją „pierwiastek” √2

  • P1 = 2 = √2∙√2

  • Niestety, nie daje się przedstawić

  • jako ułamek

  • √2= 1,4142135…

  • √2= 1.4142135623730950488…

  • Dlatego nazywamy ją niewymierną

  • („nie-racjonalną”, po angielsku)



Ale to też już znali Babilończycy…

  • 1+ 24/60 + 51/602 + 10/603 = 30547/21600 ≈1,41421(296)

  • Dziś znamy √2 z dokładością do tryliona cyfr…



Ile kawałków ma pomarańcza?



Możemy więc, zrobić z koła kwadrat – ale jak?







Archimedes (287-212 a.C.) Syrakuza



Archimedes



Rozwinięcie okręgu (Archimedes, Kochański 1685)



Srinivasa Ramanujan (1914)



Sposoby na obliczenie liczby pi

  • π = 4 – 4/3 + 4/5 – 4/7 + 4/9 – 4/11 + 4/13 - …

  • π = 3 + 4/(2∙3∙4) – 4/(4∙5∙6) + 4/(6∙7∙8) – 4/(8∙9∙10) + …

  • π2/6 = 1/12 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + …

  • π/2 = 2/1 ∙ 2/3 ∙ 4/3 ∙ 4/5 ∙ 6/5 ∙ 6/7 ∙ 8/7 ∙ 8/9 ∙ …

  • π = 2 ∙ 2/√2 ∙ 2/ √(2+√2) ∙ 2/ √[2+√(2+√2)] ∙ … (Viète)

  • 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 7067



Wyścig trwa

  • 31 grudnia 2009 r. Fabrice Bellard ogłosił, że udało mu się obliczyć π z dokładnością do 2 700 miliardów cyfr. Obliczenia ze sprawdzeniem zajęły 131 dni, do obliczeń użyto komputera z procesorem Intel Core i7 (2,93 GHz) i 6 GB RAM. Sam zapis binarny liczby zajmuje około 1,12 TB[3].

  • W roku 2010 obliczono cyfrę będącą na 2 000 000 000 000 000 miejscu po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby pi i wynosi ona zero. Obliczenia trwały 23 dni na 1000 maszynach[4].

  • W październiku 2011 Alexander J. Yee i Shigeru Kondo uzyskali dokładność ok. 10 bilionów (1013) miejsc po przecinku[5]. Obliczenia zajęły 371 dni.

  • W październiku 2014 anonimowa osoba o nicku houkouonchi uzyskała dokładność ok. 13,3 bilionów miejsc po przecinku. Obliczenia zajęły 208 dni, a sprawdzanie 182 godziny[6].

  • W listopadzie 2016 Peter Trueb uzyskał dokładność ok. 22,5 bilionów miejsc po przecinku przy pomocy programu y-cruncher [1]. Obliczenia zajęły 105 dni, a sama liczba zajęła ok. 120 TB miejsca. [6]



Archimedes: objętość kuli



Archimedes: objętość kuli



Najważniejszy wzór geometrii (3D)

  • Pole powierzchni kuli P = 4πR2



Archimedes vs. Penrose



J. Barrow: „Numerologia”

  • Tutaj spoczywa Jan Gula

  • Karabinowa dosięgła go kula.

  • Naprawdę nazywał się Orzeł,

  • Lecz Orzeł nie rymuje się z kula,

  • A z Gula rymować się może.



Trójkąt Pascala (Tartagli)



Ciąg Fibonacciego (1170-1250)



Złota proporcja



Matematyka piękna



Złota spirala



Spirala „logarytmiczna”



Spirala „logarytmiczna”: liczba e



Wzrost/ spadek eksponencjalny



Najpiękniejszy wzór matematyki

  • Jeszcze jedna dziwna liczba i = √-1



Najpiękniejszy wzór fizyki



Dante Aligheri

  • Paradiso, XXXIII, 133-135

  • „Qual è ‘l geomètra che tutto s’affige  per misurar lo cerchio, e non ritrova,  pensando, quel principio ond’elli indige,” 

  • „jak geometra, który wciąż się trudzi,

  • by zmierzyć koło, a nic znajduje,

  • myśląc, o prawie, tam gdzie go szuka” 

  • (tłum. GK)



Co dalej z matematyką?

  • To co zawsze: pozostają królową nauk



Literatura

  • Inż.Stefan Jeleński Lilivati i Śladami Pitagorasa (PWN 1970)

  • Joaquín Navarro, Tajemnice liczby π. Dlaczego niemożliwa jest kwadratura koła? Świat jest matematyczny, RBA, Barcelona, 2010

  • Fernando Corbalán. Złota proporcja. Matematyczny język piękna. RBA, 2010

  • i inne 24 pozycje z tej serii

  • John D. Barrow, Stałe natury. O liczbach skrywających najgłębsze tajemnice wszechświata. Copernicus Center, Kraków, 2017

  • https://pl.wikipedia.org/wiki/Pi

  • https://en.wikipedia.org/wiki/Pi

  • https://areeweb.polito.it/didattica/polymath/ICT/Htmls/Interventi/Articoli/Italia/PiCorgnier/PiCorgnier.html

  • http://www.angio.net/pi/piquery.html - tu możesz sprawdzić, czy zadana przez ciebie sekwencja występuje w rozwinięciu dzisiętnym liczby pi.



Yüklə 2,65 Mb.

Dostları ilə paylaş:




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə